1.3 Likninger og ulikheter | Matematikk S1

Løse polynomlikninger og rasjonale likninger.

60 min

17 oppgaver

PolynomlikningerRasjonale likningerUlikheterFortegnslinje

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Rasjonale uttrykk

Brukes videre i

1.4Rasjonale uttrykk

Polynomlikningar

Ei polynomlikning har forma $P(x) = 0$ der $P(x)$ er eit polynom.

Løysingsmetodar:
1. Faktorisering (ved hjelp av nullpunkta)
2. Polynomdivisjon (når eitt nullpunkt er kjent)
3. ABC-formelen (for andregradslikningar)

Nullpunktsmetoden

P(x) = (x - a_1)(x - a_2) \cdots (x - a_n) = 0

✏️Eksempel 1: Tredjegradslikning

Løys likninga $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Løysing:

Steg 1: Finn eitt nullpunkt ved å prøve divisorar av 6
$P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ ✓

Steg 2: Polynomdivisjon
$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \div (x - 1) = x^2 - x - 6$

Steg 3: Faktoriser resten
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

Steg 4: Fullstendig faktorisering
$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2) = 0$

Løysingar: $x = 1$ , $x = 3$ , $x = -2$

📝Oppgave 1

Løys likninga $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$ .

📝Oppgave 2

Løys likninga $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ .

📝Oppgave 3

Løys likninga $2x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0$ .

Rasjonale likningar

Ei rasjonal likning inneheld rasjonale uttrykk.

Løysingsmetode:
1. Finn fellesnemnar
2. Multipliser heile likninga med fellesnemnaren
3. Løys polynomlikninga
4. Sjekk at løysingane ikkje gjev null i nemnaren

✏️Eksempel 2: Rasjonal likning

Løys likninga $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{2}{x-1} = 3$ .

Løysing:

Fellesnemnar: $x(x-1)$

Multipliser med fellesnemnar:
$\displaystyle \frac{x(x-1)}{x} + \frac{2x(x-1)}{x-1} = 3x(x-1)$
$(x-1) + 2x = 3x(x-1)$
$3x - 1 = 3x^2 - 3x$
$0 = 3x^2 - 6x + 1$

ABC-formelen:
$\displaystyle x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Sjekk: Ingen av løysingane gjev $x = 0$ eller $x = 1$ .

Løysingar: $\displaystyle x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$ og $\displaystyle x = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$

📝Oppgave 4

Løys likninga $\displaystyle \frac{3}{x-2} = \frac{x}{x-2} + 1$ .

📝Oppgave 5

Løys likninga $\displaystyle \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1} = 0$ .

📝Oppgave 6

Løys likninga $\displaystyle \frac{x}{x-3} = \frac{3}{x-3} + 2$ .

Ulikskapar med polynom

For å løyse polynomulikskapar bruker vi forteiknsskjema (forteiknslinje).

Metode:
1. Flytt alt til éi side slik at høgre side blir 0
2. Faktoriser venstre side
3. Finn nullpunkta
4. Teikn forteiknslinje for kvar faktor
5. Kombiner forteikna

✏️Eksempel 3: Polynomulikskap

Løys ulikskapen $(x - 1)(x + 2) > 0$ .

Løysing:

Nullpunkt: $x = 1$ og $x = -2$

Forteiknslinje:

          -2        1
    ────────┼────────┼────────
x - 1:   -    -    -  |  +
x + 2:   -    |    +    +
────────────────────────────
Produkt: +    |    -  |  +

Analyse:
- For $x < -2$ : $(-)(-) = +$ (positiv)
- For $-2 < x < 1$ : $(-)(+) = -$ (negativ)
- For $x > 1$ : $(+)(+) = +$ (positiv)

Løysing: $x < -2$ eller $x > 1$

I intervallnotasjon: $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$

📝Oppgave 7

Løys ulikskapen $x^2 - 4x + 3 < 0$ .

📝Oppgave 8

Løys ulikskapen $x^2 - 2x - 8 \geq 0$ .

Rasjonale ulikskapar

For rasjonale ulikskapar må vi òg ta omsyn til kvar nemnaren er null.

Viktig: Vi kan ikkje multiplisere med eit uttrykk som kan vere negativt utan å snu ulikskapsteiknet!

✏️Eksempel 4: Rasjonal ulikskap

Løys ulikskapen $\displaystyle \frac{x + 1}{x - 2} > 0$ .

Løysing:

Kritiske punkt:
- Teljar = 0: $x = -1$
- Nemnar = 0: $x = 2$ (ikkje definert)

Forteiknslinje:

         -1        2
    ──────┼────────┼────────
x + 1:  -    |    +     +
x - 2:  -        -   |   +
────────────────────────────
Brøk:   +   |    -   |   +

Brøken er positiv når teljar og nemnar har same forteikn.

Løysing: $x < -1$ eller $x > 2$

I intervallnotasjon: $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$

📝Oppgave 9

Løys ulikskapen $\displaystyle \frac{x - 3}{x + 1} \leq 0$ .

📝Oppgave 10

Løys ulikskapen $\displaystyle \frac{2x - 1}{x + 3} \geq 1$ .

📝Oppgave 11

Løys ulikskapen $\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x} > 0$ .

📝Oppgave 12

Finn alle heiltalsløysingar til ulikskapen $\displaystyle \frac{(x-2)(x+3)}{(x-1)(x+1)} < 0$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Polynomlikningar: Flytt alt over på éi side, faktoriser, og bruk nullpunktsmetoden: eit produkt er null når minst éin faktor er null.
- Rasjonale likningar: Multipliser med fellesnemnaren, løys polynomlikninga — og kontroller at løysingane ikkje gjer nokon nemnar til null.
- Polynomulikskapar: Faktoriser og lag forteiknslinje. Les av kvar uttrykket er positivt eller negativt.
- Rasjonale ulikskapar: Samle alt på éi side med felles nemnar. IKKJE multipliser med uttrykk som kan skifte forteikn. Hugs at nullpunkt i nemnaren aldri er med i løysinga.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Nullpunktsmetoden	$a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0$ eller $b = 0$
Forteiknslinje	Oversikt over forteiknet til kvar faktor og produktet
Falsk løysing	Løysing som gjer ein nemnar til null

Viktige formlar

- abc-formelen:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

- Forteiknsskifte skjer berre i nullpunkt til teljar eller nemnar

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.