1.11 Matematiske resonnement og prov

Påstandar som er sanne eller usanne, moteksempel, implikasjon og ekvivalens, og direkte prov med bokstavar.

50 min

16 oppgaver

PåstandarMoteksempelImplikasjon og ekvivalensDirekte prov

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Påstandar og grunngivingar

På eksamen i S1 møter du oppgåver av typen «Avgjer om påstanden er sann eller usann. Grunngi svaret.» Påstandane handlar om alt i faget: potensar, logaritmar, funksjonar, derivasjon og kombinatorikk. Dette delkapittelet viser korleis eit slikt svar blir bygd opp, og korleis du skriv eit kort prov med matematisk symbolspråk.

Påstand, prov og moteksempel

n

Døme provar ingenting generelt

At ein påstand stemmer for $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ , viser ikkje at han stemmer for alle $x$ . Vil du vise at påstanden er sann, treng du eit argument med bokstavar som gjeld alle tilfelle. Vil du vise at han er usann, er eitt moteksempel nok.

Føring av påstandsoppgåver

Eit fullstendig svar har tre delar:

- konklusjonen: «Påstanden er sann» eller «Påstanden er usann»
- grunngivinga: eit prov (sann) eller eit moteksempel med utrekning (usann)
- utrekninga skriven med symbol, éin overgang per linje

Er påstanden usann, kan du ofte i tillegg seie kva som er rett, til dømes kva for ein føresetnad som manglar.

✏️Døme 1: Moteksempel

Avgjer om påstanden er sann eller usann: « $x^2 > x$ for alle reelle tal $x$ .»

Moteksempel:

x = \dfrac{1}{2}

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$

Svar: Påstanden er usann. Han sviktar for alle $x$ mellom 0 og 1 og for $x = 0$ og $x = 1$ .

Implikasjon og ekvivalens

Symbol	Blir lese	Tyder
$A \Rightarrow B$	$A$ medfører $B$	Når $A$ er sann, er også $B$ sann.
$A \Leftarrow B$	$A$ følgjer av $B$	Når $B$ er sann, er også $A$ sann.
$A \Leftrightarrow B$	$A$ er ekvivalent med $B$	Begge pilene gjeld.

A \Rightarrow B

seier ingenting om den motsette vegen. Når vi løyser likningar, skriv vi berre

\Leftrightarrow

mellom linjene dersom kvar overgang kan gjerast begge vegar. Kvadrering er ikkje ein slik overgang:

x = 3 \Rightarrow x^2 = 9

, men

x^2 = 9

gir også

x = -3

✏️Døme 2: Rett pil

Set inn $\Rightarrow$ , $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ mellom utsegnene.

a) $x = 3 \quad \square \quad x^2 = 9$

b) $2x + 1 = 7 \quad \square \quad x = 3$

c) $x^2 = 4x \quad \square \quad x = 4$

a) $x^2 = 9$ gir $x = -3$ eller $x = 3$ , så berre den eine vegen gjeld.

Svar: $x = 3 \Rightarrow x^2 = 9$

b) $2x + 1 = 7$ har berre løysinga $x = 3$ , og $x = 3$ oppfyller likninga.

Svar: $2x + 1 = 7 \Leftrightarrow x = 3$

c) $x^2 = 4x \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = 4$ . Likninga har også løysinga $x = 0$ .

Svar: $x^2 = 4x \Leftarrow x = 4$

Direkte prov med bokstavar

I eit direkte prov skriv vi dei tala påstanden handlar om, med bokstavar, og reknar oss fram til det som skal visast.

Tal	Blir skrive
eit partal	$2n$ , der $n$ er eit heilt tal
eit oddetal	$2n + 1$
tre påfølgjande heile tal	$n - 1$ , $\;n$ , $\;n + 1$
eit tal deleleg med 3	$3n$

To ulike tal skal ha ulike bokstavar: to partal er

2m

2n

, ikkje

2n

2n

✏️Døme 3: Tre påfølgjande tal

Vis at summen av tre påfølgjande heile tal alltid er deleleg med 3.

Dei tre tala er

n - 1

n

n + 1

, der

n

er eit heilt tal.

$(n - 1) + n + (n + 1) = 3n$

$3n$ er deleleg med 3 fordi $n$ er eit heilt tal.

Svar: Summen er $3n$ og dermed alltid deleleg med 3.

✏️Døme 4: Påstand om vekstfart

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^2 - 3x$ .

Påstand: «Den gjennomsnittlege vekstfarten til $f$ mellom $x = a$ og $x = b$ er lik den momentane vekstfarten midt mellom $a$ og $b$ .»

Avgjer om påstanden er sann eller usann.

Gjennomsnittleg vekstfart:

$\begin{aligned} &\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \\ = {}&\frac{b^2 - 3b - a^2 + 3a}{b - a} \\ = {}&\frac{(b - a)(b + a) - 3(b - a)}{b - a} \\ = {}&a + b - 3 \end{aligned}$

Momentan vekstfart i $x = \dfrac{a + b}{2}$ :

$f'(x) = 2x - 3$

$f'\left(\frac{a + b}{2}\right) = 2 \cdot \frac{a + b}{2} - 3 = a + b - 3$

Svar: Påstanden er sann for alle $a \neq b$ .

✏️Døme 5: Påstand om tredjegradsfunksjonar

Avgjer om påstanden er sann eller usann: «Grafen til ein tredjegradsfunksjon har alltid eit ekstremalpunkt.»

Moteksempel:

f(x) = x^3

$f'(x) = 3x^2$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$f'(x) > 0$ på begge sider av $x = 0$ , så $f'$ skiftar ikkje forteikn. $(0, 0)$ er eit terrassepunkt, ikkje eit ekstremalpunkt.

Svar: Påstanden er usann.

✏️Døme 6: Påstand om grupper

I ein klasse er det 9 elevar. Påstand: «Det kan lagast fleire ulike grupper med 5 elevar enn med 4 elevar.»

\binom{9}{5} = 126 \quad \text{og} \quad \binom{9}{4} = 126

Kvar gruppe på 5 svarar til nøyaktig éi gruppe på 4, nemleg dei 4 elevane som ikkje er med. Difor er $\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$ .

Svar: Påstanden er usann. Det er like mange grupper, 126 av kvar.

Oppgåver

📝Oppgave 1.11.1

Avgjer om påstandane er sanne eller usanne. Gi eit moteksempel når påstanden er usann.

x^2 \ge 0

for alle reelle tal

x

\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}

for alle

a, b \ge 0

2x > x

for alle reelle tal

x

(ab)^2 = a^2b^2

for alle

a

b

📝Oppgave 1.11.2

Set inn $\Rightarrow$ , $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ mellom utsegnene.

x = -2 \quad \square \quad x^2 = 4

3x - 2 = 10 \quad \square \quad x = 4

x(x - 1) = 0 \quad \square \quad x = 1

x > 3 \quad \square \quad x > 1

📝Oppgave 1.11.3

Bruk bokstavar og vis påstandane.

Vis at summen av to partal er eit partal.

Vis at summen av eit partal og eit oddetal er eit oddetal.

📝Oppgave 1.11.4

Kvadrattal som følgjer etter kvarandre.

Vis at $(n + 1)^2 - n^2$ alltid er eit oddetal når $n$ er eit heilt tal.

Bruk resultatet til å rekne ut $50^2 - 49^2$ utan hjelpemiddel.

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.11.5

Vis at $n^2 + n$ er eit partal for alle heile tal $n$ .

📝Oppgave 1.11.6

Avgjer om påstandane er sanne eller usanne for alle $x > 0$ og alle $a, b > 0$ . Grunngi svaret.

\lg\left(x^3\right) = 3\lg x

\lg\left(x^3\right) = (\lg x)^3

\ln(a + b) = \ln a + \ln b

📝Oppgave 1.11.7

Avgjer om påstanden er sann eller usann: «Dersom $f(2) = g(2)$ , så er $f'(2) = g'(2)$ .»

📝Oppgave 1.11.8

Avgjer om påstanden er sann eller usann: «Grafen til ein andregradsfunksjon $f(x) = ax^2 + bx + c$ , $a \neq 0$ , har nøyaktig eitt ekstremalpunkt.»

📝Oppgave 1.11.9

Avgjer om påstanden er sann eller usann: «Grafen til ein femtegradsfunksjon har alltid eit ekstremalpunkt.»

📝Oppgave 1.11.10

Avgjer om påstandane er sanne eller usanne.

Når ein pris aukar med 10 % to år på rad, har han til saman auka med 20 %.

Når ein pris først aukar med 20 % og deretter søkk med 20 %, er han tilbake der han starta.

📝Oppgave 1.11.11

Påstand: «For alle $n \ge 3$ er det fleire måtar å velje 3 av $n$ personar på enn å velje 2 av $n$ personar.»

Avgjer om påstanden er sann eller usann.

For kva for nokre $n$ er $\binom{n}{3} > \binom{n}{2}$ ?

📝Oppgave 1.11.12

Vis at $x^2 - 4x + 5 > 0$ for alle reelle tal $x$ .

📝Oppgave 1.11.13

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = ax^2 + bx + c$ , der $a \neq 0$ . Vis at den gjennomsnittlege vekstfarten til $f$ mellom $x = p$ og $x = q$ er lik $f'\left(\dfrac{p + q}{2}\right)$ .

📝Oppgave 1.11.14

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - k}$ , der $k$ er ein konstant.

Avgjer om påstanden er sann eller usann: «Grafen til $f$ har den vertikale asymptoten $x = k$ for alle verdiar av $k$ .»

For kva for nokre verdiar av $k$ har grafen den vertikale asymptoten $x = k$ ?

📝Oppgave 1.11.15

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 2$ .

Bestem $x$ -koordinaten til vendepunktet.

Påstand: « $f'(2 - h) = f'(2 + h)$ for alle $h$ .» Vis at påstanden er sann.

Vis at det same gjeld for alle tredjegradsfunksjonar $g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ : Er $x_0$ vendepunktet, er $g'(x_0 - h) = g'(x_0 + h)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.11.16

Vis at $\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$ for alle $a, b \ge 0$ , og at likskap gjeld berre når $a = b$ .

Oppsummering

- Svar alltid med konklusjon (sann eller usann) og grunngiving.
- Ein påstand om alle tilfelle blir vist med eit generelt argument med bokstavar.
- Ein påstand om alle tilfelle blir avkrefta med eitt moteksempel, rekna ut.
- $A \Rightarrow B$ tyder at $B$ følgjer av $A$ . $\Leftrightarrow$ krev at begge vegar gjeld.
- Partal blir skrivne $2n$ , oddetal $2n + 1$ og påfølgjande tal $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ .
- Vanlege moteksempel: $x^3$ (terrassepunkt, ingen ekstremalpunkt), $a = 1$ i potensar, tal mellom 0 og 1, negative tal.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.