1.10 Potensar og potensreglar

Potensreglane utleidde frå definisjonen, negative og rasjonale eksponentar, forenkling, samanlikning av tal, eksponentiallikningar med same grunntal og potensmodellar.

55 min

15 oppgaver

PotensreglarNegative eksponentarRasjonale eksponentarEksponentiallikningarPotensmodellar

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Potensar

Potensar blir brukte overalt i S1: i vekstmodellar, i potensfunksjonar, i derivasjonsregelen for $x^n$ og som grunnlag for logaritmane. I dette delkapittelet utleier vi potensreglane, utvidar dei til negative og rasjonale eksponentar og bruker dei til å forenkle uttrykk, samanlikne tal og løyse eksponentiallikningar med same grunntal.

Potens

a

Utleiing av produktregelen

Vi gongar saman $a^3$ og $a^4$ og tel faktorane:

$a^3 \cdot a^4 = (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a \cdot a) = a^7 = a^{3+4}$

Det same gjeld for alle positive heiltal $m$ og $n$ : $m$ faktorar og $n$ faktorar gir til saman $m + n$ faktorar.

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Divisjon fungerer på same måten. I $\dfrac{a^5}{a^2}$ kan vi forkorte bort to faktorar:

$\frac{a^5}{a^2} = \frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a} = a^3 = a^{5-2}$

Null, negative og rasjonale eksponentar

Vi vil at regelen $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ skal gjelde også når $m \le n$ . Det avgjer kva $a^0$ og $a^{-n}$ må tyde ( $a \neq 0$ ):

$a^0 = a^{n-n} = \frac{a^n}{a^n} = 1$

$a^{-n} = a^{0-n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n}$

På same måten avgjer regelen $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ kva ein brøk i eksponenten må tyde. For $a > 0$ er

$\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$

$\displaystyle a^{\frac{1}{2}}$ er altså det positive talet som gir $a$ når det blir kvadrert, det vil seie $\sqrt{a}$ . Generelt er $\displaystyle a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ og $\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ .

📜Potensreglane

Reglane følgjer av definisjonen av $a^n$ som gjenteken multiplikasjon. Dei to første er utleidde over; dei andre er oppgåve 1.10.4 og 1.10.5. For $a, b > 0$ og alle rasjonale $m$ og $n$ :

Regel
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
$a^0 = 1$	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$	$\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Ingen regel for summar

Potensreglane gjeld produkt og brøkar, ikkje summar. $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ og $a^m + a^n \neq a^{m+n}$ . Moteksempel: $(1 + 1)^2 = 4$ , men $1^2 + 1^2 = 2$ .

Forenkling av potensuttrykk

Når eit uttrykk skal forenklast, skriv vi først kvar parentes utan parentes med regelen $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ , og samlar deretter like grunntal. Negative eksponentar er tillatne undervegs; svaret blir skrive med positive eksponentar.

✏️Døme 1: Forenkle eit potensuttrykk

Forenkle uttrykket

$\frac{\left(3a^{-1}b^2\right)^2 \cdot \left(a^3 b\right)^{-1}}{3a^{-4}b}$

\frac{\left(3a^{-1}b^2\right)^2 \cdot \left(a^3 b\right)^{-1}}{3a^{-4}b} = \frac{9a^{-2}b^4 \cdot a^{-3}b^{-1}}{3a^{-4}b}

$= \frac{9a^{-5}b^3}{3a^{-4}b}$

$= 3a^{-5-(-4)}b^{3-1}$

$= 3a^{-1}b^2$

$= \frac{3b^2}{a}$

Svar: $\dfrac{3b^2}{a}$

✏️Døme 2: Røter skrivne som potensar

Skriv som éin potens.

a) $\displaystyle \dfrac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}}{x^{\frac{1}{6}}}$

b) $\sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt{a}$

$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}}{x^{\frac{1}{6}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}} = x^{\frac{3 + 4 - 1}{6}} = x^1 = x$

Svar: $x$

$\sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4}} = a^{\frac{5}{4}}$

Svar: $\displaystyle a^{\frac{5}{4}}$

Samanlikne tal utan hjelpemiddel

To potensar kan samanliknast når dei har same eksponent eller same grunntal:

- Same eksponent $n > 0$ : størst grunntal gir størst potens.
- Same grunntal $a > 1$ : størst eksponent gir størst potens.

Ofte må vi skrive om med $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ først. Tal med logaritmar i eksponenten blir skrivne om med $e^{\ln a} = a$ og $10^{\lg a} = a$ (sjå delkapittel 2.4 Logaritmefunksjonar).

✏️Døme 3: Sorter tala

Sorter tala i stigande rekkjefølgje utan hjelpemiddel.

a) $2^{60}$ , $\;3^{36}$ , $\;5^{24}$

b) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}$ , $\;e^{2\ln 3}$ , $\;\sqrt{17}$ , $\displaystyle \;16^{\frac{3}{4}}$

a) Eksponentane 60, 36 og 24 er alle delelege med 12.

$2^{60} = \left(2^5\right)^{12} = 32^{12}$

$3^{36} = \left(3^3\right)^{12} = 27^{12}$

$5^{24} = \left(5^2\right)^{12} = 25^{12}$

$25 < 27 < 32$

Svar: $5^{24} < 3^{36} < 2^{60}$

$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$

$e^{2\ln 3} = \left(e^{\ln 3}\right)^2 = 3^2 = 9$

$\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}, \text{ så } 4 < \sqrt{17} < 5$

$16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8$

Svar: $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} < \sqrt{17} < 16^{\frac{3}{4}} < e^{2\ln 3}$

Eksponentiallikningar med same grunntal

For $a > 0$ og $a \neq 1$ er $a^x$ anten veksande ( $a > 1$ ) eller minkande ( $0 < a < 1$ ). To ulike eksponentar gir difor to ulike verdiar:

$a^x = a^y \;\Rightarrow\; x = y \qquad (a > 0,\ a \neq 1)$

Kravet $a \neq 1$ er nødvendig: $1^2 = 1^5$ , men $2 \neq 5$ .

Kan begge sider skrivast som potensar med same grunntal, set vi eksponentane like. Står $a^{2x}$ og $a^x$ i same likning, set vi $u = a^x$ og får ei andregradslikning. Sidan $a^x > 0$ , forkastar vi negative løysingar for $u$ . Andre eksponentiallikningar blir løyste med logaritmar (delkapittel 2.4).

✏️Døme 4: Same grunntal

Løys likningane utan hjelpemiddel.

a) $5^{2x+1} + 4 = 129$

b) $4^x = 8^{x-1}$

$5^{2x+1} + 4 = 129$

$5^{2x+1} = 125$

$5^{2x+1} = 5^3$

$2x + 1 = 3$

$x = 1$

Svar: $x = 1$

$4^x = 8^{x-1}$

$\left(2^2\right)^x = \left(2^3\right)^{x-1}$

$2^{2x} = 2^{3x-3}$

$2x = 3x - 3$

$x = 3$

Svar: $x = 3$

✏️Døme 5: Substitusjon

Løys likninga $4^x - 2^{x+1} = 8$ utan hjelpemiddel.

4^x = \left(2^x\right)^2 \quad \text{og} \quad 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x

Vi set $u = 2^x$ .

$u^2 - 2u - 8 = 0$

$(u - 4)(u + 2) = 0$

$u = 4 \quad \text{eller} \quad u = -2$

$u = -2$ blir forkasta fordi $2^x > 0$ .

$2^x = 4 = 2^2$

$x = 2$

Kontroll: $4^2 - 2^3 = 16 - 8 = 8$

Svar: $x = 2$

Potensmodellar: kva skjer når $x$ blir dobla?

Ein potensmodell har forma $f(x) = a \cdot x^b$ . Når $x$ blir dobla, er

$f(2x) = a \cdot (2x)^b = 2^b \cdot a \cdot x^b = 2^b \cdot f(x)$

Funksjonsverdien blir alltid multiplisert med $2^b$ , same kva $x$ vi startar frå. På same måten gir $x$ multiplisert med $k$ funksjonsverdien multiplisert med $k^b$ .

✏️Døme 6: Energibehov og kroppsvekt

Kleibers lov seier at energibehovet $E$ til eit pattedyr i kvile er tilnærma proporsjonalt med $m^{0{,}75}$ , der $m$ er kroppsmassen.

a) Kor mange prosent større er energibehovet til eit dyr som veg dobbelt så mykje som eit anna?

b) Kor mange gonger tyngre må eit dyr vere for å ha dobbelt så stort energibehov?

$E = c \cdot m^{0{,}75}$

$\frac{E(2m)}{E(m)} = 2^{0{,}75} \approx 1{,}682$

Svar: Energibehovet er omtrent 68 % større.

$k^{0{,}75} = 2$

$k = 2^{\frac{1}{0{,}75}} = 2^{\frac{4}{3}} \approx 2{,}52$

Svar: Dyret må vere omtrent 2,5 gonger så tungt.

I GeoGebra CAS kan du kontrollere ei forenkling med Forenkle((3a^(-1) b^2)^2 (a^3 b)^(-1) / (3a^(-4) b)) og ei likning med Løys(4^x - 2^(x+1) = 8). På Del 1 skal rekninga visast for hand.

Oppgåver

📝Oppgave 1.10.1

Rekn ut utan hjelpemiddel.

2^{-3}

\displaystyle 16^{\frac{1}{2}}

\displaystyle 27^{\frac{2}{3}}

\displaystyle 8^{-\frac{2}{3}}

\displaystyle \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.10.2

Skriv som éin potens eller så enkelt som mogleg.

\dfrac{a^3 \cdot a^5}{a^2}

\left(x^2\right)^3 \cdot x

\dfrac{(2a)^3}{4a}

b^{-2} \cdot b^5

📝Oppgave 1.10.3

Skriv som potens av $x$ .

\sqrt{x}

\sqrt[3]{x^2}

\dfrac{1}{\sqrt{x}}

x\sqrt{x}

📝Oppgave 1.10.4

Vis potensreglane ut frå definisjonen $a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ ( $n$ faktorar). La $m$ og $n$ vere positive heiltal.

Vis at $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ når $m > n$ .

Vis at $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$ .

Vis at $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ .

📝Oppgave 1.10.5

Regelen $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ skal også gjelde når $m \le n$ ( $a > 0$ ).

Bruk regelen med $m = n$ til å vise at $a^0 = 1$ .

Bruk regelen med $m = 0$ til å vise at $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ .

Forklar ved hjelp av $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ kvifor $\displaystyle a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$ .

📝Oppgave 1.10.6

Forenkle uttrykka. Svaret skal ha positive eksponentar.

\left(2a^{-2}b^3\right)^2 \cdot \left(ab^2\right)^{-1}

\dfrac{\left(x^3y^{-1}\right)^2}{\left(x^{-1}y\right)^3}

\left(\dfrac{a}{2b}\right)^{-2} \cdot (ab)^2

📝Oppgave 1.10.7

Skriv som éin potens.

\dfrac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}}

\left(\sqrt[3]{a^2}\right)^3 \cdot a^{-1}

\sqrt{a^3 \cdot \sqrt{a}}

📝Oppgave 1.10.8

Sorter tala i stigande rekkjefølgje utan hjelpemiddel.

2^{45}

\;3^{30}

\;6^{15}

\displaystyle 32^{\frac{3}{5}}

\displaystyle \;81^{\frac{3}{4}}

\;e^{3\ln 2}

\;\sqrt[4]{3^3}

📝Oppgave 1.10.9

Løys likningane utan hjelpemiddel.

2^{x+3} = 64

3^{2x-1} = \dfrac{1}{27}

25^x = 5^{x+4}

7 \cdot 2^x - 5 = 51

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.10.10

Rekn ut utan hjelpemiddel. Skriv svaret på standardform.

\left(3 \cdot 10^5\right) \cdot \left(4 \cdot 10^{-2}\right)

\dfrac{6 \cdot 10^8}{1{,}5 \cdot 10^{-3}}

Lyset går $3{,}0 \cdot 10^8$ m per sekund, og eit år er omtrent $3{,}15 \cdot 10^7$ sekund. Kor langt går lyset på eitt år?

📝Oppgave 1.10.11

Ein potensmodell er gitt ved $f(x) = a \cdot x^b$ .

Volumet av ei kule er $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ . Kor mange gonger større blir volumet når radiusen blir dobla?

For ein modell er $b = 1{,}5$ . Kor mange prosent aukar $f(x)$ når $x$ blir dobla?

Vis at $f(3x) = 3^b \cdot f(x)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.10.12

Løys likningane utan hjelpemiddel.

9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0

4^x + 2^x - 6 = 0

e^{2x} - 3e^x + 2 = 0

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.10.13

Avgjer om påstandane er sanne eller usanne. Grunngi svaret.

(a + b)^2 = a^2 + b^2

for alle

a

b

Når $a > 0$ , gir $a^x = a^y$ alltid $x = y$ .

\left(a^2\right)^3 = a^8

for alle

a

e^{k \ln x} = x^k

for alle

x > 0

📝Oppgave 1.10.14

Hjartefrekvensen $f$ til pattedyr i kvile er tilnærma $\displaystyle f = c \cdot m^{-\frac{1}{4}}$ , der $m$ er kroppsmassen i kilogram og $c$ er ein konstant.

Dyr A veg 16 gonger så mykje som dyr B. Korleis er hjartefrekvensane i forhold til kvarandre? Løys utan hjelpemiddel.

Ei mus på 0,02 kg har hjartefrekvens 600 slag per minutt. Bruk modellen til å anslå hjartefrekvensen til ein elefant på 4000 kg.

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.10.15

Løys utan hjelpemiddel.

Bruk at $2^{10} = 1024$ til å vise at $2^{100} > 10^{30}$ .

Kva for eit tal er størst, $3^{40}$ eller $4^{30}$ ?

Oppsummering

- Potensreglane følgjer av at $a^n$ er $n$ like faktorar: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , $(ab)^n = a^nb^n$ .
- $a^0 = 1$ , $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ og $\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ er valde slik at reglane gjeld for alle eksponentar.
- Reglane gjeld produkt og brøkar, ikkje summar.
- Tal blir samanlikna ved å skrive dei med same eksponent eller same grunntal.
- $a^x = a^y$ gir $x = y$ når $a > 0$ og $a \neq 1$ . Likningar med $a^{2x}$ og $a^x$ blir løyste med $u = a^x$ .
- I ein potensmodell $f(x) = ax^b$ gir dobbel $x$ funksjonsverdien multiplisert med $2^b$ .

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

1.10 Potensar og potensreglar

Potensar

Utleiing av produktregelen

Null, negative og rasjonale eksponentar

Forenkling av potensuttrykk

Samanlikne tal utan hjelpemiddel

Eksponentiallikningar med same grunntal

Potensmodellar: kva skjer når xxx blir dobla?

Oppgåver

Oppsummering

Potensmodellar: kva skjer når $x$ blir dobla?