5.5 Areal og volum med vektorar | Matematikk R2

Rekne ut areal og volum ved hjelp av vektorprodukt.

55 min

15 oppgaver

ArealVolumParallellogramParallellpipedum

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.4Kryssproduktet

Areal og volum med vektorar

Vektorrekning gjev oss elegante metodar for å rekne ut areal og volum av geometriske figurar i rommet. I dette kapittelet lærer vi korleis kryssproduktet og trippelproduktet blir brukte til slike utrekningar.

Arealet av eit parallellogram

Eit parallellogram utspent av vektorane $\vec{a}$ og $\vec{b}$ har eit areal som kan reknast ut ved hjelp av kryssproduktet.

📜Arealet av eit parallellogram

Arealet

A

av parallellogrammet utspent av

\vec{a}

\vec{b}

er:

$A = |\vec{a} \times \vec{b}|$

Forklaring: Frå formelen $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ ser vi at dette er grunnlinje ganga med høgd, som er formelen for arealet av eit parallellogram.

✏️Døme 1: Areal av parallellogram

Finn arealet av parallellogrammet utspent av $\vec{a} = [1, 2, 0]$ og $\vec{b} = [3, 0, 4]$ .

Løysing:

Rekn ut kryssproduktet:
$\vec{a} \times \vec{b} = [2 \cdot 4 - 0 \cdot 0, \, 0 \cdot 3 - 1 \cdot 4, \, 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3]$
$= [8, -4, -6]$

Finn lengda:
$\begin{aligned} |\vec{a} \times \vec{b}| &= \sqrt{8^2 + (-4)^2 + (-6)^2} \\ &= \sqrt{64 + 16 + 36} \\ &= \sqrt{116} \\ &= 2\sqrt{29} \end{aligned}$

Svar: Arealet er $2\sqrt{29} \approx 10{,}77$ .

Arealet av ein trekant

Ein trekant er halvparten av eit parallellogram, så vi får ein enkel formel.

📜Arealet av ein trekant

Arealet

A

av trekanten med hjørne

A

B

C

er:

$A = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$

Alternativt kan vi bruke kva som helst to sidevektorar frå same hjørne.

✏️Døme 2: Areal av trekant i rommet

Finn arealet av trekanten med hjørne $A = (1, 0, 0)$ , $B = (0, 2, 0)$ og $C = (0, 0, 3)$ .

Løysing:

Finn sidevektorane frå $A$ :
$\overrightarrow{AB} = [-1, 2, 0]$
$\overrightarrow{AC} = [-1, 0, 3]$

Rekn ut kryssproduktet:
$\begin{aligned} &\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ = {}&[2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, \\ &\quad 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3, \\ &\quad (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1)] \end{aligned}$
$= [6, 3, 2]$

Finn lengda og del på 2:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$

$A = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3{,}5$

Svar: Arealet av trekanten er $3{,}5$ .

Volumet av eit parallellepiped

Eit parallellepiped er ein tredimensjonal figur der alle seks sideflatene er parallellogram. Tenk på det som ein "skeiv boks" utspent av tre vektorar.

Det skalare trippelproduktet

\vec{a}

📜Volumet av eit parallellepiped

Volumet

V

av parallellepipedet utspent av

\vec{a}

\vec{b}

\vec{c}

er:

$V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$

Merk: Vi tek absoluttverdien fordi trippelproduktet kan vere negativt (avhengig av orienteringa av vektorane).

✏️Døme 3: Volum av parallellepiped

Finn volumet av parallellepipedet utspent av $\vec{a} = [1, 0, 0]$ , $\vec{b} = [1, 2, 0]$ og $\vec{c} = [1, 2, 3]$ .

Løysing:

Rekn ut $\vec{b} \times \vec{c}$ :
$\begin{aligned} \vec{b} \times \vec{c} &= [2 \cdot 3 - 0 \cdot 2, \, 0 \cdot 1 - 1 \cdot 3, \, 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1] \\ &= [6, -3, 0] \end{aligned}$

Rekn ut skalarproduktet $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ :
$\vec{a} \cdot [6, -3, 0] = 1 \cdot 6 + 0 \cdot (-3) + 0 \cdot 0 = 6$

Ta absoluttverdien:
$V = |6| = 6$

Svar: Volumet er $6$ .

Volumet av eit tetraeder

Eit tetraeder er ein pyramide med fire trekantflater. Volumet er ein sjettedel av det tilsvarande parallellepipedet.

📜Volumet av eit tetraeder

Eit tetraeder med hjørne

A

B

C

D

har volum:

$V = \frac{1}{6}|\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})|$

Dette følgjer av at eit tetraeder har volum $\displaystyle \frac{1}{3}$ av eit trekanta prisme med same grunnflate og høgd, og at prismet har volum $\displaystyle \frac{1}{2}$ av parallellepipedet. Altså er $\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ av volumet til parallellepipedet.

✏️Døme 4: Volum av tetraeder

Finn volumet av tetraederet med hjørne $A = (0, 0, 0)$ , $B = (1, 0, 0)$ , $C = (0, 1, 0)$ og $D = (0, 0, 1)$ .

Løysing:

Finn kantvektorane frå $A$ :
$\overrightarrow{AB} = [1, 0, 0]$
$\overrightarrow{AC} = [0, 1, 0]$
$\overrightarrow{AD} = [0, 0, 1]$

Rekn ut $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}$ :
$\begin{aligned} \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} &= [1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, \, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, \, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0] \\ &= [1, 0, 0] \end{aligned}$

Rekn ut trippelproduktet:
$\overrightarrow{AB} \cdot [1, 0, 0] = 1$

Finn volumet:
$V = \frac{1}{6}|1| = \frac{1}{6}$

Svar: Volumet av tetraederet er $\displaystyle \frac{1}{6}$ .

Koplanare vektorar

Tre vektorar er koplanare dersom dei alle ligg i same plan. Dette skjer når trippelproduktet er null.

📜Test for koplanaritet

Tre vektorar

\vec{a}

\vec{b}

\vec{c}

er koplanare dersom og berre dersom:

$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$

Geometrisk tolking: Dersom vektorane er koplanare, har parallellepipedet volum null - det er "flatt".

✏️Døme 5: Undersøkje koplanaritet

Undersøk om vektorane $\vec{a} = [1, 2, 3]$ , $\vec{b} = [4, 5, 6]$ og $\vec{c} = [7, 8, 9]$ er koplanare.

Løysing:

Vi reknar ut trippelproduktet:

Finn $\vec{b} \times \vec{c}$ :
$\vec{b} \times \vec{c} = [5 \cdot 9 - 6 \cdot 8, \, 6 \cdot 7 - 4 \cdot 9, \, 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7]$
$= [45 - 48, 42 - 36, 32 - 35] = [-3, 6, -3]$

Finn $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ :
$[1, 2, 3] \cdot [-3, 6, -3] = -3 + 12 - 9 = 0$

Sidan trippelproduktet er 0, er vektorane koplanare.

Det stemmer: $2\vec{b} - \vec{a} = [8 - 1, 10 - 2, 12 - 3] = [7, 8, 9] = \vec{c}$ , så $\vec{c}$ ligg i planet utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Svar: Vektorane er koplanare.

Oppgåver

📝Oppgave 5.5.1

Finn arealet av parallellogrammet utspent av vektorane:

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 2, 0]

\vec{a} = [3, 0, 0]

\vec{b} = [0, 0, 4]

\vec{a} = [1, 1, 0]

\vec{b} = [0, 1, 1]

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.5.2

Finn arealet av trekanten med hjørne:

A = (0, 0, 0)

B = (1, 0, 0)

C = (0, 1, 0)

A = (1, 1, 1)

B = (2, 1, 1)

C = (1, 2, 1)

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.5.3

Finn arealet av trekanten med hjørne $A = (1, 2, 3)$ , $B = (4, 0, 5)$ og $C = (2, 1, 0)$ .

Finn $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ .

Rekn ut $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .

Finn arealet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.5.4

Finn volumet av parallellepipedet utspent av:

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 1, 0]

\vec{c} = [0, 0, 1]

\vec{a} = [2, 0, 0]

\vec{b} = [0, 3, 0]

\vec{c} = [0, 0, 4]

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.5.5

Finn volumet av tetraederet med hjørne $A = (0, 0, 0)$ , $B = (2, 0, 0)$ , $C = (0, 3, 0)$ og $D = (0, 0, 4)$ .

Finn kantvektorane frå $A$ .

Rekn ut trippelproduktet.

Finn volumet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.5.6

Undersøk om vektorane er koplanare:

\vec{a} = [1, 0, 1]

\vec{b} = [0, 1, 1]

\vec{c} = [1, 1, 2]

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 1, 0]

\vec{c} = [1, 1, 1]

📝Oppgave 5.5.7

Eit parallellogram har hjørne $A = (1, 0, 2)$ , $B = (3, 1, 1)$ , $C$ og $D = (2, 2, 3)$ , der $ABCD$ er eit parallellogram (i den rekkjefølgja).

Finn koordinatane til $C$ .

Finn arealet av parallellogrammet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.5.8

Vis at arealet av trekanten med hjørne $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ og $(x_3, y_3)$ i $xy$ -planet er $\displaystyle \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ .

Skriv hjørna som 3D-punkt med $z = 0$ .

Finn kryssproduktet $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .

Utvid og forenkle $z$ -komponenten.

📝Oppgave 5.5.9

Finn volumet av tetraederet med hjørne $A = (1, 1, 1)$ , $B = (2, 3, 1)$ , $C = (1, 2, 3)$ og $D = (3, 1, 2)$ .

Finn kantvektorane frå $A$ .

Rekn ut trippelproduktet.

Finn volumet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.5.10

Fire punkt $A = (0, 0, 0)$ , $B = (1, 0, 0)$ , $C = (0, 1, 0)$ og $D = (a, b, c)$ dannar eit tetraeder med volum $\displaystyle \frac{1}{3}$ . Finn ein samanheng mellom $a$ , $b$ og $c$ .

Sett opp volumformelen.

Løys for samanhengen.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Parallellogramareal: $A = |\vec{u} \times \vec{v}|$ .
- Trekantareal: $\displaystyle A = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$ .
- Trippelproduktet: $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ — eit tal som har absoluttverdi lik volumet av parallellepipedet.
- Tetraedervolum: $\displaystyle V = \frac{1}{6}|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$ .
- Koplanaritet: Tre vektorar ligg i same plan dersom og berre dersom trippelproduktet er 0.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Parallellogramareal	$\|\vec{u} \times \vec{v}\|$
Trekantareal	Halve parallellogramarealet
Trippelprodukt	$(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$
Koplanare vektorar	Trippelproduktet er 0

Viktige formlar

\displaystyle A_{\text{trekant}} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|

V_{\text{parallellepiped}} = |(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|

\displaystyle V_{\text{tetraeder}} = \frac{1}{6}|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.