5.5 Areal og volum med vektorer

Å måle det skjeve

Et solseil på en satellitt spennes ut mellom to bommer som peker i hver sin retning fra samme feste. Hvor stort blir seilet? Et lasterom i en romstasjon har form som en skjev boks — et parallellepiped — utspent av tre kantvektorer. Hvor mye får du plass til? Vanlige formler som «lengde ganger bredde» bryter sammen når figurene står skjevt i rommet og hjørnene har tre koordinater hver.

Men vektorregningen har allerede gjort grovarbeidet. I forrige kapittel så vi at lengden av kryssproduktet, $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$, er nøyaktig arealet av parallellogrammet som $\vec{a}$ og $\vec{b}$ spenner ut. I dette kapitlet høster vi gevinsten: arealer av parallellogrammer og trekanter i rommet faller ut av et kryssprodukt og en lengdeberegning — uansett hvor skjevt figuren ligger.

Og så går vi en dimensjon opp. Ved å kombinere de to produktene våre — først kryss, så prikk — får vi trippelproduktet $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$, et tall hvis absoluttverdi er volumet av parallellepipedet de tre vektorene spenner ut. Derfra er veien kort til volumet av et tetraeder (en sjettedel av boksen), og til en elegant test: tre vektorer ligger i samme plan — er koplanare — nøyaktig når trippelproduktet er null, for da er «boksen» klemt helt flat.

Geometri blir regning: det er fortellingen i dette kapitlet.

Arealer: parallellogram og trekant

La oss begynne med solseilet. De to bommene peker langs $\vec{a} = [1, 2, 0]$ og $\vec{b} = [3, 0, 4]$, og seilet fyller parallellogrammet mellom dem. Arealet er

$$A = |\vec{a} \times \vec{b}|$$

— det er hele formelen. Begrunnelsen kjenner du fra forrige kapittel: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$, og $|\vec{b}|\sin\theta$ er nettopp høyden i parallellogrammet når $|\vec{a}|$ er grunnlinjen — grunnlinje ganger høyde, pakket inn i ett kryssprodukt.

Vi regner: $\vec{a} \times \vec{b} = [2 \cdot 4 - 0 \cdot 0, \; 0 \cdot 3 - 1 \cdot 4, \; 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3] = [8, -4, -6]$, og lengden er $\sqrt{64 + 16 + 36} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} \approx 10{,}77$. Det er seilarealet — ingen vinkelmåling, ingen høydekonstruksjon.

Trekanter følger med på kjøpet, for en trekant er et halvt parallellogram. Trekanten med hjørner $A$, $B$ og $C$ har areal

$$A = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|$$

og du kan velge hvilke som helst to sidevektorer fra samme hjørne. Prøv med $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 2, 0)$ og $C = (0, 0, 3)$ — en trekant som henger skjevt mellom de tre aksene. Sidevektorene er $\overrightarrow{AB} = [-1, 2, 0]$ og $\overrightarrow{AC} = [-1, 0, 3]$, kryssproduktet blir $[6, 3, 2]$, og lengden $\sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$. Arealet er $\displaystyle \frac{7}{2} = 3{,}5$. En figur det ville vært et mareritt å måle med linjal, falt på tre regnelinjer.

Trippelproduktet og volumet av den skjeve boksen

Nå til lasterommet. Et parallellepiped er en «skjev boks» der alle seks sideflater er parallellogrammer, utspent av tre vektorer $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$ fra samme hjørne. Volumet burde være grunnflate ganger høyde — og se hvor pent verktøyene våre samarbeider: grunnflaten er $|\vec{b} \times \vec{c}|$, og høyden er komponenten av $\vec{a}$ langs normalen $\vec{b} \times \vec{c}$, som skalarproduktet plukker ut. Begge deler i ett uttrykk:

$$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$$

Tallet $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ kalles trippelproduktet av de tre vektorene, ofte skrevet $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$. Det kan også beregnes direkte som en $3 \times 3$-determinant med vektorene som rader, og det har en nyttig symmetri: $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ — kryss og prikk kan bytte plass. Absoluttverdien trengs fordi trippelproduktet kan bli negativt; fortegnet avslører bare orienteringen av vektortrioen (høyre- eller venstrehånds), mens volumet alltid er positivt.

La oss måle et lasterom med kantvektorer $\vec{a} = [1, 0, 0]$, $\vec{b} = [1, 2, 0]$ og $\vec{c} = [1, 2, 3]$. Først grunnflatens normal: $\vec{b} \times \vec{c} = [2 \cdot 3 - 0 \cdot 2, \; 0 \cdot 1 - 1 \cdot 3, \; 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1] = [6, -3, 0]$. Så prikker vi: $\vec{a} \cdot [6, -3, 0] = 6$. Volumet er $|6| = 6$ kubikkenheter. Tre vektorer inn, ett tall ut — den skjeve boksen er målt.

Tetraederet — og testen for flate bokser

Ikke alle romlegemer er bokser. Et tetraeder — pyramiden med fire trekantflater — er den enkleste av alle romlige figurer, og dukker opp overalt fra molekylstrukturer til dataspillgrafikk, der alle 3D-modeller bygges av nettopp tetraedre og trekanter. Volumet henter vi fra parallellepipedet: en pyramide har $\displaystyle \frac{1}{3}$ av volumet til prismet med samme grunnflate, og trekantprismet er halve parallellepipedet, så til sammen

$$V = \frac{1}{6}\left|\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})\right|$$

for tetraederet med hjørner $A$, $B$, $C$ og $D$. Standardeksemplet er hjørnetetraederet $A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (0,1,0)$, $D = (0,0,1)$: kantvektorene er enhetsvektorene selv, $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = [1, 0, 0]$, trippelproduktet blir $1$, og volumet $\displaystyle \frac{1}{6}$.

Trippelproduktet har én hemmelighet til. Hva betyr det hvis $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$? Da har parallellepipedet volum null — boksen er klemt helt flat. Det skjer nøyaktig når de tre vektorene ligger i samme plan, altså er koplanare:

$$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text{ koplanare} \iff \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$$

Test vektorene $\vec{a} = [1, 2, 3]$, $\vec{b} = [4, 5, 6]$ og $\vec{c} = [7, 8, 9]$: $\vec{b} \times \vec{c} = [45 - 48, \; 42 - 36, \; 32 - 35] = [-3, 6, -3]$, og $\vec{a} \cdot [-3, 6, -3] = -3 + 12 - 9 = 0$. Koplanare! Og ser du nøye etter, skjønner du hvorfor: differansene $\vec{b} - \vec{a}$ og $\vec{c} - \vec{b}$ er begge $[3, 3, 3]$ — vektorene ligger på rekke i samme plan. Et tall som er null, og en hel geometrisk sannhet følger med.

Oppsummering

Solseilet og det skjeve lasterommet viste hvordan vektorproduktene måler det som er vrient å måle for hånd. Arealet av et parallellogram utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $A = |\vec{a} \times \vec{b}|$ — kryssproduktets lengde er grunnlinje ganger høyde i én operasjon. Trekanten, som halvt parallellogram, fikk formelen $\displaystyle A = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$, og den skjeve trekanten mellom aksene falt på tre regnelinjer med svar $3{,}5$.

I tre dimensjoner kombinerte vi produktene til trippelproduktet $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ — beregnbart også som determinant, med symmetrien at kryss og prikk kan bytte plass. Absoluttverdien er volumet av parallellepipedet: $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$, der kryssproduktet leverer grunnflaten og skalarproduktet plukker ut høyden. Fortegnet forteller bare om orienteringen.

Tetraederet — geometriens minste byggekloss — fikk volumet $\displaystyle V = \frac{1}{6}|\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})|$, en sjettedel av boksen. Og trippelproduktets nullpunkt viste seg å være en geometrisk lakmustest: tre vektorer er koplanare — ligger i samme plan — hvis og bare hvis trippelproduktet er null, for da er boksen klemt flat.

Mønsteret i kapitlet er verdt å ta med videre: lengde, areal og volum i rommet er ikke tre ulike teorier, men én — skalarprodukt, kryssprodukt og kombinasjonen av dem, anvendt med stadig større dybde.