5.2 Vektorkoordinatar og rekning | Matematikk R2

Addisjon, subtraksjon og skalarmultiplikasjon.

50 min

15 oppgaver

VektoraddisjonSubtraksjonSkalarmultiplikasjonAvstand

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Vektorer i tre dimensjoner

Brukes videre i

5.3Skalarproduktet 5.7Linjer i rommet

Rekning med vektorar i rommet

Vektorrekning i tre dimensjonar fungerer på same måte som i to dimensjonar. Vi utfører operasjonane komponent for komponent. I dette kapittelet ser vi på dei grunnleggjande rekneoperasjonane: addisjon, subtraksjon og skalarmultiplikasjon.

Addisjon av vektorar

Når vi adderer to vektorar, legg vi saman tilsvarande komponentar.

Addisjon av vektorar

\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]

✏️Eksempel 1: Addisjon av vektorar

Lat $\vec{a} = [2, -1, 3]$ og $\vec{b} = [1, 4, -2]$ . Finn $\vec{a} + \vec{b}$ .

Løysing:

Vi adderer komponent for komponent:

$\vec{a} + \vec{b} = [2+1, -1+4, 3+(-2)] = [3, 3, 1]$

Svar: $\vec{a} + \vec{b} = [3, 3, 1]$

Subtraksjon av vektorar

Subtraksjon fungerer analogt med addisjon.

Subtraksjon av vektorar

\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]

✏️Eksempel 2: Subtraksjon av vektorar

Lat $\vec{a} = [5, 2, -1]$ og $\vec{b} = [3, -1, 4]$ . Finn $\vec{a} - \vec{b}$ og $\vec{b} - \vec{a}$ .

Løysing:

$\vec{a} - \vec{b} = [5-3, 2-(-1), -1-4] = [2, 3, -5]$

$\vec{b} - \vec{a} = [3-5, -1-2, 4-(-1)] = [-2, -3, 5]$

Merk at $\vec{b} - \vec{a} = -(\vec{a} - \vec{b})$ , akkurat som venta.

Svar: $\vec{a} - \vec{b} = [2, 3, -5]$ og $\vec{b} - \vec{a} = [-2, -3, 5]$

Skalarmultiplikasjon

Når vi multipliserer ein vektor med eit tal (ein skalar), multipliserer vi kvar komponent med dette talet.

Skalarmultiplikasjon

\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]

✏️Eksempel 3: Skalarmultiplikasjon

Lat $\vec{v} = [2, -3, 1]$ . Finn:
a) $3\vec{v}$
b) $-2\vec{v}$
c) $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v}$

Løysing:

a) $3\vec{v} = 3[2, -3, 1] = [6, -9, 3]$

Svar: a) $3\vec{v} = [6, -9, 3]$

b) $-2\vec{v} = -2[2, -3, 1] = [-4, 6, -2]$

Svar: b) $-2\vec{v} = [-4, 6, -2]$

c) $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v} = \frac{1}{2}[2, -3, 1] = \left[1, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right]$

Svar: c) $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v} = \left[1, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right]$

📜Reknereglar for vektorar

For vektorar $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ og skalarar $k$ , $m$ gjeld:

Addisjon:
1. $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (kommutativ)
2. $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ (assosiativ)
3. $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ (nullvektor)
4. $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$ (motsett vektor)

Skalarmultiplikasjon:
5. $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ (distributiv)
6. $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$ (distributiv)
7. $k(m\vec{a}) = (km)\vec{a}$ (assosiativ)
8. $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

✏️Eksempel 4: Kombinerte operasjonar

Lat $\vec{a} = [1, 2, -1]$ og $\vec{b} = [3, 0, 2]$ . Rekn ut $2\vec{a} - 3\vec{b}$ .

Løysing:

Først reknar vi ut kvar del:
$2\vec{a} = 2[1, 2, -1] = [2, 4, -2]$
$3\vec{b} = 3[3, 0, 2] = [9, 0, 6]$

Så subtraherer vi:
$\begin{aligned} 2\vec{a} - 3\vec{b} &= [2, 4, -2] - [9, 0, 6] \\ &= [2-9, 4-0, -2-6] \\ &= [-7, 4, -8] \end{aligned}$

Svar: $2\vec{a} - 3\vec{b} = [-7, 4, -8]$

Lineærkombinasjonar

Ein lineærkombinasjon av vektorar er ein sum der kvar vektor er multiplisert med ein skalar.

Lineærkombinasjon

\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n

✏️Eksempel 5: Lineærkombinasjon

Skriv vektoren $\vec{w} = [7, 5, 3]$ som ein lineærkombinasjon av $\vec{u} = [1, 1, 1]$ og $\vec{v} = [2, 1, 0]$ .

Løysing:

Vi søkjer $a$ og $b$ slik at $a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{w}$ :

$a[1, 1, 1] + b[2, 1, 0] = [7, 5, 3]$
$[a + 2b, a + b, a] = [7, 5, 3]$

Frå tredje komponent: $a = 3$

Frå andre komponent: $3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$

Kontroll: $3[1, 1, 1] + 2[2, 1, 0] = [3, 3, 3] + [4, 2, 0] = [7, 5, 3]$ ✓

Svar: $\vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v}$

Parallelle vektorar

To vektorar er parallelle dersom den eine er eit skalarmultiplum av den andre.

Parallelle vektorar

\vec{a}

✏️Eksempel 6: Avgjere om vektorar er parallelle

Undersøk om følgjande vektorpar er parallelle:
a) $\vec{a} = [2, 4, 6]$ og $\vec{b} = [1, 2, 3]$
b) $\vec{c} = [3, -1, 2]$ og $\vec{d} = [6, -2, 5]$

Løysing:

a) Vi sjekkar om $\vec{a} = k\vec{b}$ for eit tal $k$ :
$[2, 4, 6] = k[1, 2, 3]$

Frå første komponent: $2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2$

Sjekk: $2 \cdot [1, 2, 3] = [2, 4, 6] = \vec{a}$ ✓

Ja, $\vec{a} \parallel \vec{b}$ med $k = 2$ .

b) Vi sjekkar om $\vec{c} = k\vec{d}$ :
- Frå første komponent: $\displaystyle 3 = 6k \Rightarrow k = \frac{1}{2}$
- Frå andre komponent: $\displaystyle -1 = -2k \Rightarrow k = \frac{1}{2}$
- Frå tredje komponent: $\displaystyle 2 = 5k \Rightarrow k = \frac{2}{5}$

Sidan $k$ -verdiane ikkje er like, er vektorane ikkje parallelle.

Svar: a) $\vec{a} \parallel \vec{b}$ , med $\vec{a} = 2\vec{b}$ . b) $\vec{c}$ og $\vec{d}$ er ikkje parallelle.

Deling av linjestykke

Ved hjelp av vektorrekning kan vi finne punkt som deler eit linjestykke i eit gitt forhold.

📜Delingspunkt på linjestykke

Lat

A

B

vere to punkt. Punktet

P

som deler

AB

i forholdet

m:n

(der

|AP|:|PB| = m:n

) har posisjonsvektor:

$\vec{OP} = \frac{n \cdot \vec{OA} + m \cdot \vec{OB}}{m + n}$

Utleiing: $P$ ligg på $AB$ , og $|AP|$ er $\displaystyle \frac{m}{m+n}$ av $|AB|$ . Då er
$\vec{OP} = \vec{OA} + \frac{m}{m+n}\vec{AB} = \vec{OA} + \frac{m}{m+n}(\vec{OB} - \vec{OA})$
$\vec{OP} = \frac{(m+n)\vec{OA} - m\vec{OA} + m\vec{OB}}{m+n} = \frac{n \cdot \vec{OA} + m \cdot \vec{OB}}{m + n}$
Vekta $n$ hamnar på $\vec{OA}$ : di mindre $m$ er i høve til $n$ , di nærare ligg $P$ punktet $A$ .

Spesialtilfelle: Midtpunktet $M$ (der $m = n = 1$ ):
$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

✏️Eksempel 7: Midtpunkt og delingspunkt

Lat $A = (1, 3, 5)$ og $B = (7, -1, 2)$ .

a) Finn midtpunktet $M$ på $AB$ .
b) Finn punktet $P$ som deler $AB$ i forholdet $2:1$ .

Løysing:

a) Midtpunktet har koordinatar:
$M = \left(\frac{1+7}{2}, \frac{3+(-1)}{2}, \frac{5+2}{2}\right) = \left(4, 1, \frac{7}{2}\right)$

Svar: a) $\displaystyle M = \left(4, 1, \frac{7}{2}\right)$

b) For forholdet $2:1$ (med $m = 2$ og $n = 1$ ):
$\vec{OP} = \frac{1 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB}}{2 + 1} = \frac{[1, 3, 5] + 2[7, -1, 2]}{3}$
$= \frac{[1, 3, 5] + [14, -2, 4]}{3} = \frac{[15, 1, 9]}{3} = [5, \frac{1}{3}, 3]$

Svar: b) $\displaystyle P = \left(5, \frac{1}{3}, 3\right)$

Oppgåver

📝Oppgave 5.2.1

Lat $\vec{a} = [3, -1, 2]$ og $\vec{b} = [1, 4, -3]$ . Rekn ut:

\vec{a} + \vec{b}

\vec{a} - \vec{b}

\vec{b} - \vec{a}

2\vec{a} + 3\vec{b}

📝Oppgave 5.2.2

Lat $\vec{u} = [2, 0, -1]$ , $\vec{v} = [-1, 3, 2]$ og $\vec{w} = [0, 1, 1]$ . Rekn ut:

\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}

2\vec{u} - \vec{v}

\vec{u} - 2\vec{v} + 3\vec{w}

📝Oppgave 5.2.3

Undersøk om følgjande vektorpar er parallelle:

\vec{a} = [4, -2, 6]

\vec{b} = [2, -1, 3]

\vec{c} = [1, 2, 3]

\vec{d} = [2, 4, 5]

\vec{e} = [3, -6, 9]

\vec{f} = [-1, 2, -3]

📝Oppgave 5.2.4

Finn $x$ , $y$ og $z$ slik at $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ når:

\vec{a} = [x, 2, 3]

\vec{b} = [1, y, -1]

\vec{c} = [4, 5, z]

\vec{a} = [2x, 1, -2]

\vec{b} = [3, y-1, z]

\vec{c} = [7, 4, 1]

📝Oppgave 5.2.5

Finn midtpunktet $M$ på linjestykket $AB$ når:

A = (2, 4, 6)

B = (8, 2, 4)

A = (-1, 3, 5)

B = (5, -1, 3)

A = (0, 0, 0)

B = (4, -2, 6)

📝Oppgave 5.2.6

Skriv vektoren $\vec{w} = [5, 4, 7]$ som ein lineærkombinasjon av $\vec{u} = [1, 0, 1]$ og $\vec{v} = [1, 1, 2]$ .

Sett opp likningssystemet.

Løys systemet og skriv svaret.

📝Oppgave 5.2.7

Punkta $A = (1, 2, 3)$ og $B = (7, 5, 9)$ er gitt. Finn punktet $P$ som deler $AB$ i forholdet:

1:2

(frå

A

)

2:1

(frå

A

)

📝Oppgave 5.2.8

I ein trekant $ABC$ har vi $A = (1, 0, 2)$ , $B = (3, 4, 0)$ og $C = (5, 2, 6)$ . Tyngdepunktet $T$ i trekanten er gjennomsnittet av hjørna.

Finn koordinatane til tyngdepunktet $T$ .

Vis at $\overrightarrow{TA} + \overrightarrow{TB} + \overrightarrow{TC} = \vec{0}$ .

📝Oppgave 5.2.9

Vektorane $\vec{a} = [2, -1, 3]$ , $\vec{b} = [1, 2, -1]$ og $\vec{c} = [k, 5, 1]$ er gitt. Finn verdien av $k$ slik at $\vec{c}$ kan skrivast som ein lineærkombinasjon av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Sett opp likningssystemet $s\vec{a} + t\vec{b} = \vec{c}$ .

Løys for $s$ og $t$ frå likning (2) og (3).

Finn $k$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.2.10

Eit parallellogram $ABCD$ har hjørne $A = (1, 2, 3)$ , $B = (4, 3, 5)$ og $C = (6, 7, 8)$ . Finn koordinatane til $D$ .

Bruk at $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ til å finne $D$ .

Stadfest at $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Addisjon og subtraksjon: Komponentvis: $\vec{u} \pm \vec{v} = [u_1 \pm v_1,\ u_2 \pm v_2,\ u_3 \pm v_3]$ .
- Skalarmultiplikasjon: $t\vec{u} = [tu_1, tu_2, tu_3]$ .
- Lineærkombinasjon: $a\vec{u} + b\vec{v}$ — koeffisientane finn ein ved å løyse likningssett.
- Parallelle vektorar: $\vec{u} \parallel \vec{v}$ dersom $\vec{u} = t\vec{v}$ for eit tal $t \neq 0$ .
- Midtpunkt og delingspunkt: Midtpunktet av $AB$ har koordinatar $\displaystyle \frac{1}{2}(A + B)$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Komponentvis rekning	Addisjon/subtraksjon koordinat for koordinat
Skalarmultiplikasjon	Kvar komponent blir ganga med talet
Lineærkombinasjon	$a\vec{u} + b\vec{v}$
Parallelle vektorar	Den eine er eit multiplum av den andre

Viktige formlar

\vec{u} + \vec{v} = [u_1+v_1,\ u_2+v_2,\ u_3+v_3]

\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} = t\vec{v}

- Midtpunkt:

\displaystyle M = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.