4.8 Trigonometriske funksjoner og grafer

Grafer til sin, cos og tan, transformasjoner og modellering av periodiske fenomener.

55 min

22 oppgaver

Trigonometriske graferAmplitudePeriodeFaseforskyvningPeriodiske fenomener

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 22 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.7Trigonometriske funksjoner og grafer

Brukes videre i

4.9Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Introduksjon til trigonometriske funksjonar

Trigonometriske funksjonar er sentrale i matematikk og har mange bruksområde i fysikk, teknikk og andre fagfelt. Dei er spesielt nyttige for å skildre periodiske fenomen - altså fenomen som gjentek seg med jamne mellomrom.

Døme på periodiske fenomen:
- Tidvatn (flo og fjøre)
- Temperatursvingingar gjennom året
- Lydbølgjer og musikalske tonar
- Vekselstraum i elektriske kretsar
- Pendelrørsle

I dette kapitlet skal vi studere grafane til sinusfunksjonen, cosinusfunksjonen og tangensfunksjonen, og lære korleis vi kan transformere desse for å modellere verkelege fenomen.

Grafen til $\sin(x)$

Sinusfunksjonen $f(x) = \sin(x)$ er definert for alle reelle tal $x$ . Når vi teiknar grafen, måler vi $x$ i radianar.

Viktige eigenskapar ved $\sin(x)$ :

- Definisjonsmengd: $D_f = \mathbb{R}$ (alle reelle tal)
- Verdimengd: $V_f = [-1, 1]$
- Periode: $2\pi$ (grafen gjentek seg for kvar $2\pi$ )
- Nullpunkt: $x = n\pi$ der $n \in \mathbb{Z}$
- Maksimum: $\sin(x) = 1$ når $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
- Minimum: $\sin(x) = -1$ når $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
- Symmetri: Odde funksjon, $\sin(-x) = -\sin(x)$

📊Grafen til sin(x)

Utforsk korleis sinusfunksjonen ser ut. Legg merke til perioden og verdimengda.

✏️Døme 1: Avlesing frå sinusgrafen

Bruk grafen til $f(x) = \sin(x)$ til å bestemme:

a) $\sin(0)$
b) $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$
c) $\sin(\pi)$
d) $\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)$
e) $\sin(2\pi)$

Løysing:

Vi les av verdiane frå einingssirkelen eller grafen:

a) $\sin(0) = 0$

b) $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ (maksimumspunkt)

c) $\sin(\pi) = 0$ (nullpunkt)

d) $\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ (minimumspunkt)

e) $\sin(2\pi) = 0$ (vi er tilbake der vi starta)

Merk at $\sin(2\pi) = \sin(0)$ fordi sinusfunksjonen har periode $2\pi$ .

Grafen til $\cos(x)$

Cosinusfunksjonen $f(x) = \cos(x)$ har mange av dei same eigenskapane som sinusfunksjonen.

Viktige eigenskapar ved $\cos(x)$ :

- Definisjonsmengd: $D_f = \mathbb{R}$
- Verdimengd: $V_f = [-1, 1]$
- Periode: $2\pi$
- Nullpunkt: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ der $n \in \mathbb{Z}$
- Maksimum: $\cos(x) = 1$ når $x = 2\pi n$
- Minimum: $\cos(x) = -1$ når $x = \pi + 2\pi n$
- Symmetri: Like funksjon, $\cos(-x) = \cos(x)$

Samanhengen mellom sinus og cosinus:

$\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Dette tyder at cosinusgrafen er sinusgrafen forskyvd $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ til venstre.

📊Samanlikning av sin(x) og cos(x)

Sjå korleis sinus- og cosinusgrafane forheld seg til kvarandre.

✏️Døme 2: Samanlikning av sinus og cosinus

Vis at $\displaystyle \cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ ved å samanlikne verdiar for:

a) $x = 0$
b) $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$
c) $x = \pi$

Løysing:

Vi reknar ut begge sider og samanliknar:

a) For $x = 0$ :
- $\cos(0) = 1$
- $\displaystyle \sin\left(0 + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ ✓

b) For $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ :
- $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
- $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) = 0$ ✓

c) For $x = \pi$ :
- $\cos(\pi) = -1$
- $\displaystyle \sin\left(\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ ✓

Verdiane stemmer overeins, noko som stadfestar samanhengen.

Grafen til $\tan(x)$

Tangensfunksjonen er definert som:

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Viktige eigenskapar ved $\tan(x)$ :

- Definisjonsmengd: $\displaystyle D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + n\pi : n \in \mathbb{Z}\right\}$

(Alle $x$ unnateke der $\cos(x) = 0$ )

- Verdimengd: $V_f = \mathbb{R}$ (alle reelle tal)
- Periode: $\pi$ (halv periode samanlikna med sinus og cosinus)
- Nullpunkt: $x = n\pi$ der $n \in \mathbb{Z}$
- Vertikale asymptotar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
- Symmetri: Odde funksjon, $\tan(-x) = -\tan(x)$

📊Grafen til tan(x)

Sjå korleis tangensfunksjonen oppfører seg, spesielt ved asymptotane.

✏️Døme 3: Eigenskapar ved tangensfunksjonen

a) Forklar kvifor $\tan(x)$ ikkje er definert for $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ .

b) Rekn ut $\tan(0)$ , $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$ og $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)$ .

c) Kva skjer med $\tan(x)$ når $\displaystyle x \to \frac{\pi}{2}^-$ ?

Løysing:

a) $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{0}$

Divisjon med null er ikkje definert, så $\tan(x)$ har ein vertikal asymptote ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ .

b) Utrekningar:
- $\displaystyle \tan(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$

- $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

- $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

c) Når $\displaystyle x \to \frac{\pi}{2}^-$ (frå venstre):
- $\sin(x) \to 1$
- $\cos(x) \to 0^+$ (nærmar seg 0 frå positive verdiar)
- Derfor $\displaystyle \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \to +\infty$

Grafen går mot uendeleg når vi nærmar oss asymptoten frå venstre.

Amplitude, periode og den generelle forma

For å modellere periodiske fenomen bruker vi ofte funksjonar på forma:

$f(x) = A\sin(Bx + C) + D$

eller tilsvarande med cosinus.

Tydinga til parametrane:

Parameter	Namn	Effekt
$A$	Amplitude	Bestemmer høgda på svingingane
$B$	Frekvensparameter	Påverkar perioden: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{\|B\|}$
$C$	Faseforskyving	Horisontalt skift: $\displaystyle -\frac{C}{B}$ einingar
$D$	Vertikalt skift	Flyttar heile grafen opp/ned

Amplitude

f(x) = A\sin(Bx + C) + D

Periode

f(x) = A\sin(Bx + C) + D

✏️Døme 4: Bestemme amplitude og periode

Bestem amplitude og periode for følgjande funksjonar:

a) $f(x) = 3\sin(2x)$
b) $\displaystyle g(x) = 2\cos\left(\frac{x}{3}\right)$
c) $h(x) = -4\sin(\pi x)$

Løysing:

a) $f(x) = 3\sin(2x)$
- Amplitude: $|A| = |3| = 3$
- Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$

b) $\displaystyle g(x) = 2\cos\left(\frac{x}{3}\right)$
- Amplitude: $|A| = |2| = 2$
- Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$

c) $h(x) = -4\sin(\pi x)$
- Amplitude: $|A| = |-4| = 4$
- Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$

Merk: Det negative forteiknet i c) speglar grafen om $x$ -aksen, men påverkar ikkje amplituden.

Faseforskyving

Faseforskyvinga skildrar kor mykje grafen er forskyvd horisontalt.

For $f(x) = A\sin(Bx + C) + D$ kan vi skrive:

$f(x) = A\sin\left(B\left(x + \frac{C}{B}\right)\right) + D$

Grafen er forskyvd $\displaystyle -\frac{C}{B}$ einingar langs $x$ -aksen:
- Viss $C > 0$ og $B > 0$ : Forskyvast til venstre
- Viss $C < 0$ og $B > 0$ : Forskyvast til høgre

✏️Døme 5: Faseforskyving

Bestem faseforskyvinga for:

a) $\displaystyle f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
b) $g(x) = \cos(2x + \pi)$
c) $\displaystyle h(x) = 3\sin\left(4x - \frac{\pi}{2}\right)$

Løysing:

a) $\displaystyle f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Her er $B = 1$ og $\displaystyle C = -\frac{\pi}{4}$ .

Faseforskyving: $\displaystyle -\frac{C}{B} = -\frac{-\frac{\pi}{4}}{1} = \frac{\pi}{4}$

Grafen er forskyvd $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ til høgre.

b) $g(x) = \cos(2x + \pi)$

Her er $B = 2$ og $C = \pi$ .

Faseforskyving: $\displaystyle -\frac{C}{B} = -\frac{\pi}{2}$

Grafen er forskyvd $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ til venstre.

c) $\displaystyle h(x) = 3\sin\left(4x - \frac{\pi}{2}\right)$

Her er $B = 4$ og $\displaystyle C = -\frac{\pi}{2}$ .

Faseforskyving: $\displaystyle -\frac{C}{B} = -\frac{-\frac{\pi}{2}}{4} = \frac{\pi}{8}$

Grafen er forskyvd $\displaystyle \frac{\pi}{8}$ til høgre.

Vertikalt skift

Parameteren $D$ i $f(x) = A\sin(Bx + C) + D$ bestemmer det vertikale skiftet.

- Viss $D > 0$ : Grafen flyttast opp $D$ einingar
- Viss $D < 0$ : Grafen flyttast ned $|D|$ einingar

Linja $y = D$ blir kalla likevektslinja eller nullinja for funksjonen.

✏️Døme 6: Komplett transformasjon

Gitt funksjonen $\displaystyle f(x) = 2\sin\left(3x - \frac{\pi}{2}\right) + 1$ .

Bestem:
a) Amplitude
b) Periode
c) Faseforskyving
d) Vertikalt skift
e) Maksimums- og minimumsverdiar

Løysing:

Vi identifiserer parametrane: $A = 2$ , $B = 3$ , $\displaystyle C = -\frac{\pi}{2}$ , $D = 1$ .

a) Amplitude: $|A| = |2| = 2$

b) Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{3}$

c) Faseforskyving: $\displaystyle -\frac{C}{B} = -\frac{-\frac{\pi}{2}}{3} = \frac{\pi}{6}$

Grafen er forskyvd $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ til høgre.

d) Vertikalt skift: $D = 1$

Grafen er forskyvd 1 eining opp.

e) Maksimum og minimum:
- Maksverdi: $D + |A| = 1 + 2 = 3$
- Minverdi: $D - |A| = 1 - 2 = -1$

📊Utforsk transformasjonar

Endre parametrane A, B, C og D og observer korleis grafen endrar seg.

Å bestemme funksjonsuttrykket frå ein graf

Når vi skal finne funksjonsuttrykket til ein sinuslikande graf, følgjer vi desse stega:

1. Finn amplitude $|A|$ : Mål avstanden frå likevektslinja til toppen
2. Finn vertikal forskyving $D$ : Finn likevektslinja (midten mellom maks og min)
3. Finn perioden $T$ : Mål avstanden mellom to påfølgjande topp- eller botnpunkt
4. Rekn ut $B$ : Bruk $\displaystyle B = \frac{2\pi}{T}$
5. Finn faseforskyving: Sjå kvar grafen kryssar likevektslinja med positiv stiging

✏️Døme 7: Frå graf til funksjonsuttrykk

Ein sinuslikande graf har følgjande eigenskapar:
- Maksimumsverdi: 5
- Minimumsverdi: 1
- Periode: 4
- Grafen har eit maksimum i $x = 1$

Finn eit funksjonsuttrykk på forma $f(x) = A\sin(Bx + C) + D$ .

Løysing:

Steg 1: Finn amplitude og vertikalt skift

Amplitude: $\displaystyle |A| = \frac{\text{maks} - \text{min}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Vertikalt skift: $\displaystyle D = \frac{\text{maks} + \text{min}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Steg 2: Finn $B$ frå perioden

$\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = 4 \Rightarrow |B| = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

Vi vel $\displaystyle B = \frac{\pi}{2}$ .

Steg 3: Finn faseforskyving

Sinusfunksjonen har normalt maksimum ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2B} = \frac{\pi}{2 \cdot \frac{\pi}{2}} = 1$ .

Grafen vår har maksimum ved $x = 1$ , som stemmer!

Dette tyder $C = 0$ (inga ekstra faseforskyving).

Steg 4: Bestem forteiknet til $A$

Sidan grafen har eit maksimum (ikkje minimum) ved $x = 1$ , bruker vi $A = 2$ (positiv).

Svar: $\displaystyle f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 3$

✏️Døme 8: Avlesing med faseforskyving

Ein periodisk funksjon har:
- Maksimumsverdi: 10
- Minimumsverdi: 2
- Periode: $\pi$
- Eit nullpunktskryss med positiv stiging ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$

Finn funksjonsuttrykket.

Løysing:

Steg 1: Amplitude og vertikalt skift

$\displaystyle |A| = \frac{10 - 2}{2} = 4$

$\displaystyle D = \frac{10 + 2}{2} = 6$

Steg 2: Finn $B$

$\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = \pi \Rightarrow |B| = 2$

Steg 3: Finn faseforskyving

For $A\sin(Bx + C) + D$ med $A > 0$ , kryssar grafen likevektslinja med positiv stiging når $Bx + C = 0$ , altså når $\displaystyle x = -\frac{C}{B}$ .

Vi har at dette skjer ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ :

$\displaystyle -\frac{C}{B} = \frac{\pi}{6} \Rightarrow -\frac{C}{2} = \frac{\pi}{6} \Rightarrow C = -\frac{\pi}{3}$

Svar: $\displaystyle f(x) = 4\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 6$

Verifisering: Maksimum oppstår når $\displaystyle 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ , dvs. $\displaystyle x = \frac{5\pi}{12}$ .
Då er $\displaystyle f\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 4 \cdot 1 + 6 = 10$ ✓

Modellering med trigonometriske funksjonar

Trigonometriske funksjonar er ideelle for å modellere fenomen som svingar mellom ein maksimums- og minimumsverdi på ein jamn, periodisk måte.

Framgangsmåte for modellering:

1. Identifiser maksimums- og minimumsverdiane
2. Rekn ut amplitude og likevektsverdi
3. Finn perioden (kor lang tid tek éin full syklus?)
4. Bestem starttidspunktet (når blir maksimum/minimum/nullkryssing nådd?)
5. Vel sinus eller cosinus basert på kva som passar best

Tips for val mellom sinus og cosinus:

- Bruk cosinus når du veit når maksimum (eller minimum) blir nådd
- Bruk sinus når du veit når grafen kryssar likevektslinja

Til dømes: Viss temperaturen er på sitt høgaste ved $t = 0$ , er det naturleg å bruke cosinus.

✏️Døme 9: Modellering av tidvatn

I ei hamn varierer vassdjupna mellom 2 meter (lågvatn) og 10 meter (høgvatn). Tida mellom to påfølgjande høgvatn er 12 timar. Kl. 06:00 er det høgvatn.

a) Sett opp ein funksjon $h(t)$ som gjev vassdjupna $t$ timar etter midnatt.
b) Finn vassdjupna kl. 09:00.
c) Når er vassdjupna 8 meter for første gong etter midnatt?

Løysing:

a) Sett opp funksjonen:

Amplitude: $\displaystyle |A| = \frac{10 - 2}{2} = 4$ meter

Likevektslinje: $\displaystyle D = \frac{10 + 2}{2} = 6$ meter

Periode: $T = 12$ timar, så $\displaystyle B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Høgvatn ved $t = 6$ (kl. 06:00). Cosinus har maksimum ved 0, så vi bruker:

$h(t) = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t - 6)\right) + 6$

eller:

$h(t) = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}t - \pi\right) + 6$

b) Vassdjupna kl. 09:00 ( $t = 9$ ):

$\displaystyle h(9) = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}(9 - 6)\right) + 6 = 4\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 6 = 4 \cdot 0 + 6 = 6$ meter

c) Når er $h(t) = 8$ ?

$\displaystyle 4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t - 6)\right) + 6 = 8$

$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{6}(t - 6)\right) = \frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{\pi}{6}(t - 6) = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$t - 6 = \pm 2 + 12n$

$t = 4$ eller $t = 8$ (for $n = 0$ )

Første gong etter midnatt: $t = 4$ , altså kl. 04:00.

✏️Døme 10: Temperatursvingingar gjennom året

Gjennomsnittstemperaturen i ein by varierer gjennom året. Den lågaste månadlege gjennomsnittstemperaturen er $-5°C$ i januar, og den høgaste er $19°C$ i juli.

a) Sett opp ein modell $T(t)$ der $t$ er talet på månader etter 1. januar.
b) Kva er gjennomsnittstemperaturen i april?
c) I kva for månader er gjennomsnittstemperaturen over $15°C$ ?

Løysing:

a) Sett opp modellen:

Amplitude: $\displaystyle |A| = \frac{19 - (-5)}{2} = 12$

Likevekt: $\displaystyle D = \frac{19 + (-5)}{2} = 7$

Periode: 12 månader, så $\displaystyle B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Minimum i januar ( $t = 0$ ) og maksimum i juli ( $t = 6$ ).

Med cosinus og negativt $A$ (startar i minimum):

$T(t) = -12\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$

b) April ( $t = 3$ ):

$\displaystyle T(3) = -12\cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot 3\right) + 7 = -12\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 7 = -12 \cdot 0 + 7 = 7°C$

c) Når er $T(t) > 15°C$ ?

$\displaystyle -12\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7 > 15$

$\displaystyle -12\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) > 8$

$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) < -\frac{2}{3}$

$\displaystyle \cos^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right) \approx 2{,}30$ radianar

$\displaystyle \frac{\pi}{6}t > 2{,}30$ eller $\displaystyle \frac{\pi}{6}t < -2{,}30 + 2\pi$

$t > 4{,}4$ eller $t < 7{,}6$

Altså er temperaturen over $15°C$ frå midten av mai til midten av august (ca. $t = 4{,}4$ til $t = 7{,}6$ ).

✏️Døme 11: Lydbølgjer og frekvens

Kammertonen A4 har frekvens 440 Hz (svingingar per sekund). Ei lydbølgje kan skildrast ved trykkvariasjonen:

$p(t) = A\sin(2\pi f t)$

der $f$ er frekvensen og $t$ er tida i sekund.

a) Skriv opp funksjonsuttrykket for kammertonen.
b) Kva er perioden til denne lydbølgja?
c) Ein oktav høgare (A5) har dobbelt så høg frekvens. Korleis endrar dette perioden?

Løysing:

a) Funksjonsuttrykket:

Med $f = 440$ Hz får vi:

$p(t) = A\sin(2\pi \cdot 440 \cdot t) = A\sin(880\pi t)$

(der $A$ er amplituden som avheng av lydstyrken)

b) Perioden:

$\displaystyle T = \frac{1}{f} = \frac{1}{440}$ sekund $\approx 2{,}27$ millisekund

Alternativt: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{880\pi} = \frac{1}{440}$ s

c) A5 med $f = 880$ Hz:

Ny periode: $\displaystyle T = \frac{1}{880}$ s $\approx 1{,}14$ ms

Perioden blir halvert når frekvensen blir dobla. Dette stemmer med formelen $\displaystyle T = \frac{1}{f}$ .

✏️Døme 12: Pendelrørsle

Ein pendel svingar slik at utslaget (i cm) frå likevektsposisjonen er gitt ved:

$x(t) = 15\cos(2t)$

der $t$ er tida i sekund.

a) Kva er amplitude og periode?
b) Kva er det maksimale utslaget?
c) Finn farten $v(t) = x'(t)$ og den maksimale farten.

Løysing:

a) Amplitude og periode:

Amplitude: $|A| = 15$ cm

Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{2} = \pi$ sekund $\approx 3{,}14$ s

b) Maksimalt utslag:

Maksimalt utslag er amplituden: $15$ cm (blir nådd når $\cos(2t) = 1$ )

c) Farten:

$\displaystyle v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}[15\cos(2t)] = 15 \cdot (-\sin(2t)) \cdot 2 = -30\sin(2t)$

Den maksimale farten blir nådd når $|\sin(2t)| = 1$ :

$|v|_{\text{maks}} = 30 \text{ cm/s}$

Merk: Maksimal fart blir nådd når $x = 0$ (i likevektsposisjonen), og farten er null når utslaget er maksimalt.

✏️Døme 13: Pariserhjul

Eit pariserhjul har radius 20 meter og roterer med konstant fart. Lågaste punkt er 2 meter over bakken, og det tek 3 minutt for ein full omdreiing. Ein passasjer startar på lågaste punkt ved $t = 0$ .

a) Sett opp ein funksjon $h(t)$ som gjev høgda over bakken etter $t$ minutt.
b) Kor høgt er passasjeren etter 1 minutt?
c) Når er passasjeren 30 meter over bakken for første gong?

Løysing:

a) Sett opp funksjonen:

- Lågaste punkt: 2 m (minimumsverdi)
- Høgaste punkt: $2 + 2 \cdot 20 = 42$ m (maksimumsverdi)
- Amplitude: $|A| = 20$ m
- Likevektshøgd: $\displaystyle D = \frac{42 + 2}{2} = 22$ m
- Periode: $T = 3$ min, så $\displaystyle B = \frac{2\pi}{3}$

Sidan passasjeren startar i lågaste punkt, bruker vi cosinus med negativt forteikn:

$h(t) = -20\cos\left(\frac{2\pi}{3}t\right) + 22$

b) Høgd etter 1 minutt:

$\displaystyle h(1) = -20\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + 22 = -20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 22 = 10 + 22 = 32$ m

c) Når er $h(t) = 30$ m?

$\displaystyle -20\cos\left(\frac{2\pi}{3}t\right) + 22 = 30$

$\displaystyle \cos\left(\frac{2\pi}{3}t\right) = -\frac{8}{20} = -0{,}4$

$\displaystyle \frac{2\pi}{3}t = \cos^{-1}(-0{,}4) \approx 1{,}982$

$\displaystyle t = \frac{3 \cdot 1{,}982}{2\pi} \approx 0{,}95$ minutt $\approx 57$ sekund

✏️Døme 14: Vekselstraum

I Noreg har vekselstraumen i stikkontaktar ein frekvens på 50 Hz og ei effektivspenning på 230 V. Toppverdien (amplituden) til spenninga er $230\sqrt{2}$ V.

a) Skriv opp eit uttrykk for spenninga $U(t)$ som funksjon av tida $t$ (i sekund).
b) Kva er perioden?
c) Kor mange gonger per sekund er spenninga null?

Løysing:

a) Spenninga:

$U(t) = 230\sqrt{2} \sin(2\pi \cdot 50 \cdot t) = 230\sqrt{2} \sin(100\pi t)$

b) Perioden:

$\displaystyle T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} = 0{,}02$ sekund = 20 millisekund

c) Talet på nullpunkt per sekund:

I løpet av éin periode ( $T = 0{,}02$ s) passerer sinusfunksjonen gjennom null to gonger (éin gong på veg opp, éin gong på veg ned).

På eitt sekund har vi $\displaystyle \frac{1}{0{,}02} = 50$ periodar.

Talet på nullpunkt per sekund: $50 \cdot 2 = 100$

✏️Døme 15: Daglengd gjennom året

I Oslo varierer daglengda gjennom året. Den lengste dagen er ca. 19 timar (sommarsolverv, ca. 21. juni) og den kortaste er ca. 6 timar (vintersolverv, ca. 21. desember).

a) Sett opp ein modell $L(d)$ for daglengda der $d$ er dagnummer (1. januar = dag 1).
b) Kor lang er dagen 1. mai (dag 121)?
c) I kva for periode av året er daglengda over 16 timar?

Løysing:

a) Sett opp modellen:

Amplitude: $\displaystyle |A| = \frac{19 - 6}{2} = 6{,}5$ timar

Likevekt: $\displaystyle D = \frac{19 + 6}{2} = 12{,}5$ timar

Periode: 365 dagar, så $\displaystyle B = \frac{2\pi}{365}$

Maksimum ved sommarsolverv, ca. dag 172 (21. juni).

$L(d) = 6{,}5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12{,}5$

b) 1. mai (dag 121):

$\displaystyle L(121) = 6{,}5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(121 - 172)\right) + 12{,}5$

$\displaystyle = 6{,}5\cos\left(\frac{2\pi \cdot (-51)}{365}\right) + 12{,}5$

$= 6{,}5\cos(-0{,}878) + 12{,}5$

$= 6{,}5 \cdot 0{,}639 + 12{,}5 \approx 16{,}7$ timar

c) Når er $L(d) > 16$ ?

$\displaystyle 6{,}5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12{,}5 > 16$

$\displaystyle \cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) > \frac{3{,}5}{6{,}5} \approx 0{,}538$

$\displaystyle \frac{2\pi}{365}(d - 172) < \cos^{-1}(0{,}538) \approx 1{,}00$

$\displaystyle |d - 172| < \frac{365 \cdot 1{,}00}{2\pi} \approx 58$

Altså $114 < d < 230$ , som tilsvarar ca. 24. april til 18. august.

Oppgåver

Nedanfor finn du oppgåver som dekkjer heile kapitlet. Start med dei lettare oppgåvene og jobb deg oppover i vanskegrad.

📝Oppgave 4.7.1

Bestem eksakte verdiar utan kalkulator.

\sin(0)

\cos(\pi)

\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)

\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)

\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)

\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.7.2

Bestem amplitude og periode for kvar funksjon.

f(x) = 5\sin(x)

g(x) = \cos(3x)

h(x) = 2\sin(4x)

\displaystyle p(x) = -3\cos\left(\frac{x}{2}\right)

📝Oppgave 4.7.3

Bestem faseforskyvinga og skildre kva for retning grafen er forskyvd.

\displaystyle f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)

g(x) = \cos(x - \pi)

h(x) = \sin(2x + \pi)

📝Oppgave 4.7.4

For funksjonen $\displaystyle f(x) = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$ , bestem:

Amplitude

Periode

Faseforskyving

Vertikalt skift

Maksimums- og minimumsverdiar

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.7.5

Bruk GeoGebra til å teikne grafane til følgjande funksjonar i same koordinatsystem for $x \in [0, 2\pi]$ :

- $f(x) = \sin(x)$
- $g(x) = 2\sin(x)$
- $h(x) = \sin(2x)$

Skildre korleis grafane til $g$ og $h$ skil seg frå grafen til $f$ .

📝Oppgave 4.7.6

Ein sinuslikande graf har maksimumsverdi 7, minimumsverdi 1, og periode 8. Grafen har eit maksimum ved $x = 2$ .

Finn eit funksjonsuttrykk på forma $f(x) = A\sin(Bx + C) + D$ eller $f(x) = A\cos(Bx + C) + D$ .

📝Oppgave 4.7.7

Betrakt funksjonen $f(x) = \tan(x)$ .

Kva er perioden til $\tan(x)$ ?

For kva for $x$ -verdiar i intervallet $[0, 2\pi]$ er $\tan(x)$ ikkje definert?

Rekn ut $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$ eksakt.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.7.8

I ein fjord varierer vassdjupna med tidvatnet. Den minste djupna er 4 meter og den største er 12 meter. Tida mellom to høgvatn er 12,4 timar. Høgvatn inntreff kl. 02:00.

a) Sett opp ein modell $h(t)$ for vassdjupna $t$ timar etter midnatt.
b) Kva er vassdjupna kl. 08:00?
c) Ein båt treng minst 7 meter djupn. I kva for tidsperiodar kan båten seile?

📝Oppgave 4.7.9

Temperaturen i eit drivhus varierer i løpet av døgnet. Modellen

$T(t) = 8\sin\left(\frac{\pi}{12}t - \frac{\pi}{2}\right) + 22$

gjev temperaturen $T$ i grader Celsius $t$ timar etter midnatt.

a) Kva er maksimums- og minimumstemperaturen?
b) Når på døgnet er temperaturen høgast?
c) Kor mange timar er temperaturen over 26°C?

📝Oppgave 4.7.10

Ei fjør med ei kule svingar slik at posisjonen er gitt ved

$x(t) = 0{,}1\cos(5t)$

der $x$ er i meter og $t$ er i sekund.

a) Kva er amplitude og periode?
b) Finn eit uttrykk for farten $v(t) = x'(t)$ .
c) Finn eit uttrykk for akselerasjonen $a(t) = v'(t)$ .
d) Vis at $a(t) = -25x(t)$ . Kva fortel dette oss?

📝Oppgave 4.7.11

Bruk GeoGebra til å utforske funksjonen

$f(x) = \sin(x) + \frac{1}{3}\sin(3x)$

a) Teikn grafen og skildre forma.
b) Kva er perioden til $f(x)$ ?
c) Samanlikn med $g(x) = \sin(x)$ . Korleis endrar tilleggsleddet grafen?

📝Oppgave 4.7.12

Månadstemperaturen i ein by er gitt i tabellen:

Månad	Jan	Feb	Mar	Apr	Mai	Jun	Jul	Aug	Sep	Okt	Nov	Des
°C	-8	-6	0	6	12	16	18	16	11	5	-1	-6

a) Finn ein sinusmodell

T(m) = A\cos(Bm + C) + D

som passar dataene, der

m

er månadsnummer (januar = 1).
b) Bruk modellen til å anslå temperaturen i slutten av mai (

m = 5{,}5

📝Oppgave 4.7.13

Løys likningane for $x \in [0, 2\pi]$ .

2\sin(x) = 1

\cos(2x) = 0

\tan(x) = \sqrt{3}

📝Oppgave 4.7.14

Gitt $\displaystyle f(x) = 4\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right) - 2$

a) Finn alle nullpunkt i intervallet $[0, 6]$ .
b) Finn alle ekstremalpunkt (maks og min) i intervallet $[0, 6]$ .
c) Teikn ei skisse av grafen.

📝Oppgave 4.7.15

Eit hjarte slår med ein puls på 72 slag per minutt. Blodtrykket kan modellerast som

$P(t) = 20\sin(2{,}4\pi t) + 100$

der $P$ er trykket i mmHg og $t$ er tida i sekund.

a) Kva er systolisk trykk (maksimum) og diastolisk trykk (minimum)?
b) Kva er pulsen i slag per minutt ifølgje modellen?
c) Kor lenge varer eitt hjarteslag?

📝Oppgave 4.7.16

I Bergen er klokkeslettet for soloppgang gjennom året tilnærma gitt ved

$S(d) = 6 - 2\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right)$

der $S$ er klokkeslettet (i timar etter midnatt) og $d$ er dagnummer.

a) Når på året er soloppgangen tidlegast, og kva er klokkeslettet?
b) Når er soloppgangen seinast?
c) Kva er gjennomsnittleg soloppgangstid?
d) Når går sola opp 1. mai (dag 121)?

📝Oppgave 4.7.17

To lydbølgjer med same frekvens men ulik fase blir kombinerte:

$y_1(t) = \sin(2\pi t)$
$y_2(t) = \sin(2\pi t + \phi)$

der $\phi$ er faseforskjellen.

a) Bruk GeoGebra til å utforske $y_1 + y_2$ for ulike verdiar av $\phi$ .
b) Kva skjer når $\phi = 0$ ? Kva blir dette kalla?
c) Kva skjer når $\phi = \pi$ ? Kva blir dette kalla?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Generell sinusfunksjon: $f(x) = A\sin(kx + c) + d$ der $|A|$ er amplituden, $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ er perioden, $\displaystyle -\frac{c}{k}$ er faseforskyvinga og $d$ er likevektslinja.
- Amplitude: Halve avstanden mellom største og minste verdi.
- Periode: Lengda av eitt fullt svingeforløp, $\displaystyle T = \frac{2\pi}{k}$ .
- Frå graf til uttrykk: Les av likevektslinje, amplitude, periode og forskyving for å bestemme $A$ , $k$ , $c$ og $d$ .
- Modellering: Tidvatn, temperatur, lyd, pariserhjul og daglengd kan skildrast med sinus- og cosinusfunksjonar.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Amplitude $\|A\|$	Halve avstanden mellom maks og min
Periode $T$	$\displaystyle \frac{2\pi}{k}$
Faseforskyving	Horisontal forskyving $\displaystyle -\frac{c}{k}$
Likevektslinje $d$	Den vassrette midtlinja

Viktige formlar

f(x) = A\sin(kx + c) + d

\displaystyle T = \frac{2\pi}{k}

\quad f_{\max} = d + |A|

\quad f_{\min} = d - |A|

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

4.8 Trigonometriske funksjoner og grafer

Introduksjon til trigonometriske funksjonar

Grafen til sin⁡(x)\sin(x)sin(x)

Viktige eigenskapar ved sin⁡(x)\sin(x)sin(x):

Grafen til cos⁡(x)\cos(x)cos(x)

Viktige eigenskapar ved cos⁡(x)\cos(x)cos(x):

Samanhengen mellom sinus og cosinus:

Grafen til tan⁡(x)\tan(x)tan(x)

Viktige eigenskapar ved tan⁡(x)\tan(x)tan(x):

Amplitude, periode og den generelle forma

Tydinga til parametrane:

Faseforskyving

Vertikalt skift

Å bestemme funksjonsuttrykket frå ein graf

Modellering med trigonometriske funksjonar

Framgangsmåte for modellering:

Oppgåver

Oppsummering

Nøkkelomgrep

Viktige formlar

Grafen til $\sin(x)$

Viktige eigenskapar ved $\sin(x)$ :

Grafen til $\cos(x)$

Viktige eigenskapar ved $\cos(x)$ :

Grafen til $\tan(x)$

Viktige eigenskapar ved $\tan(x)$ :