4.8 Trigonometriske funksjoner og grafer

Verden svinger

Lukk øynene og lytt til verden: tidevannet som stiger og faller to ganger i døgnet, temperaturen som vandrer fra januarmørke til julivarme og tilbake, kammertonen A som får luften til å skjelve 440 ganger i sekundet, vekselstrømmen som pulserer i stikkontakten, pendelen som tikker i et gammelt klokketårn. Alle disse fenomenene har én ting felles: de gjentar seg med jevne mellomrom. De er periodiske.

Og naturen har gitt oss et perfekt matematisk språk for slike fenomener: de trigonometriske funksjonene. Grafen til $\sin x$ er selve urbildet av en svingning — en jevn bølge som ruller evig videre. Men virkelighetens bølger er sjelden så pene som standardkurven. Tidevannet svinger ikke mellom $-1$ og $1$ meter, og det har ikke periode $2\pi$ timer. Skal sinuskurven beskrive virkeligheten, må den kunne strekkes, klemmes, løftes og forskyves.

Det er nøyaktig dette kapitlet handler om. Først blir vi godt kjent med grunngrafene til $\sin x$, $\cos x$ og $\tan x$ — deres perioder, nullpunkter, ekstremalpunkter og symmetrier. Deretter lærer vi den generelle formen $f(x) = A\sin(Bx + C) + D$ og hva hver av de fire parametrene gjør med grafen. Så snur vi prosessen: fra en graf eller en beskrivelse finner vi funksjonsuttrykket. Og til slutt setter vi alt i arbeid og modellerer tidevann, pariserhjul, lyd og daglengde.

De tre grunngrafene

Sinusfunksjonen $f(x) = \sin x$ er definert for alle reelle tall, med $x$ målt i radianer. Grafen bølger mellom $-1$ og $1$ — verdimengden er $[-1, 1]$ — og gjentar seg med periode $2\pi$. Nullpunktene ligger i $x = n\pi$, toppene ($\sin x = 1$) i $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ og bunnene ($\sin x = -1$) i $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Funksjonen er odde: $\sin(-x) = -\sin x$, så grafen er symmetrisk om origo.

Cosinusgrafen er sinusens tvilling. Den deler definisjonsmengde, verdimengde og periode, men starter på toppen: maksimum i $x = 2\pi n$, minimum i $x = \pi + 2\pi n$, og nullpunkter i $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$. Sammenhengen er presis: $\displaystyle \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ — cosinuskurven er sinuskurven forskjøvet $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ til venstre. Du kan sjekke selv: $\cos 0 = 1$ og $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\displaystyle \cos\frac{\pi}{2} = 0$ og $\sin\pi = 0$. Cosinus er dessuten like: $\cos(-x) = \cos x$, symmetrisk om $y$-aksen.

Tangens danser til en annen rytme. Som brøken $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ er den udefinert der nevneren er null, altså i $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, hvor grafen har loddrette asymptoter. Når $x$ nærmer seg $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ fra venstre, går $\sin x$ mot $1$ mens $\cos x$ kryper mot null fra positiv side — og brøken skyter mot $+\infty$. Mellom to asymptoter løper tangens gjennom alle reelle verdier; verdimengden er hele $\mathbb{R}$. Perioden er bare $\pi$, halvparten av søsknenes, nullpunktene ligger i $x = n\pi$, og funksjonen er odde som sinus. Verdiene $\tan 0 = 0$, $\displaystyle \tan\frac{\pi}{4} = 1$ og $\displaystyle \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ følger rett fra brøken.

Fire skruer å skru på: $A\sin(Bx + C) + D$

For å tilpasse sinuskurven til virkeligheten har vi fire parametre, hver med sin presise jobb i $f(x) = A\sin(Bx + C) + D$.

$A$ — amplituden. $|A|$ er avstanden fra likevektslinjen til topp og bunn: maksverdien er $D + |A|$, minverdien $D - |A|$. Negativt $A$ speiler grafen om likevektslinjen, men amplituden er fortsatt $|A|$ — derfor har $h(x) = -4\sin(\pi x)$ amplitude $4$.

$B$ — frekvensparameteren. Den klemmer eller strekker grafen vannrett, og perioden blir $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|}$. For $f(x) = 3\sin(2x)$ er perioden $\pi$; for $\displaystyle g(x) = 2\cos\left(\frac{x}{3}\right)$ er den hele $6\pi$.

$C$ — faseforskyvningen. Skriver vi $\displaystyle A\sin\left(B\left(x + \frac{C}{B}\right)\right) + D$, ser vi at grafen er forskjøvet $\displaystyle -\frac{C}{B}$ enheter vannrett: positiv $C$ (med $B > 0$) skyver mot venstre, negativ mot høyre. For $\displaystyle \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ er forskyvningen $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ mot høyre; for $\displaystyle 3\sin\left(4x - \frac{\pi}{2}\right)$ er den $\displaystyle \frac{\pi}{8}$ mot høyre, siden vi deler på $B = 4$.

$D$ — det vertikale skiftet. Hele grafen løftes $D$ enheter, og linjen $y = D$ kalles likevektslinjen.

Et samlet eksempel: $\displaystyle f(x) = 2\sin\left(3x - \frac{\pi}{2}\right) + 1$ har amplitude $2$, periode $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$, faseforskyvning $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ mot høyre og likevektslinje $y = 1$, slik at maksverdien er $1 + 2 = 3$ og minverdien $1 - 2 = -1$. Fire skruer — og full kontroll over enhver sinusformet kurve.

Detektivarbeidet: fra graf til uttrykk

Ofte går oppgaven motsatt vei: du får en bølgende graf — eller noen nøkkeltall fra en måling — og skal finne funksjonsuttrykket. Da jobber du som detektiv, og sporene leses i fast rekkefølge.

Først amplituden og likevektslinjen, som begge gjemmer seg i maks- og minverdiene: $\displaystyle |A| = \frac{\text{maks} - \text{min}}{2}$ og $\displaystyle D = \frac{\text{maks} + \text{min}}{2}$. Deretter perioden: mål avstanden mellom to påfølgende toppunkter (eller bunnpunkter), og regn ut $\displaystyle B = \frac{2\pi}{T}$. Til slutt faseforskyvningen: finn et kjennetegn du kan navigere etter — gjerne der grafen krysser likevektslinjen på vei opp, for der er $Bx + C = 0$, altså $\displaystyle x = -\frac{C}{B}$.

La oss prøve. En graf har maksimum $5$, minimum $1$, periode $4$, og toppunkt i $x = 1$. Amplituden blir $\displaystyle \frac{5-1}{2} = 2$ og likevektslinjen $\displaystyle D = \frac{5+1}{2} = 3$. Perioden gir $\displaystyle B = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. En ren sinus $\displaystyle 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 3$ har toppunkt der $\displaystyle \frac{\pi}{2}x = \frac{\pi}{2}$, altså i $x = 1$ — akkurat som grafen vår, så $C = 0$ og svaret er $\displaystyle f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 3$.

Et eksempel til, nå med fase: maks $10$, min $2$, periode $\pi$, og oppovervendt kryssing av likevektslinjen i $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$. Vi får $|A| = 4$, $D = 6$ og $\displaystyle B = \frac{2\pi}{\pi} = 2$. Kryssingsbetingelsen $\displaystyle -\frac{C}{B} = \frac{\pi}{6}$ gir $\displaystyle C = -\frac{\pi}{3}$, og dermed $\displaystyle f(x) = 4\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 6$. Kontrollér gjerne: maksimum inntreffer når $\displaystyle 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$, i $\displaystyle x = \frac{5\pi}{12}$, der $f = 4 + 6 = 10$. Detektivarbeidet stemmer.

Modellering — bølgene i arbeid

Nå har vi hele verktøykassen, og virkeligheten venter. Oppskriften er alltid den samme: finn maks og min, regn ut amplitude og likevektslinje, finn perioden, og velg sinus eller cosinus etter hva du vet om starttidspunktet — cosinus når du kjenner tidspunktet for maksimum eller minimum, sinus når du kjenner en kryssing av likevektslinjen.

Tidevannet: I en havn varierer dybden mellom $2$ og $10$ meter med $12$ timer mellom høyvannene, og det er høyvann kl. 06. Amplituden er $4$, likevekten $6$, og $\displaystyle B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$. Siden vi kjenner maksimum, velger vi cosinus forskjøvet til $t = 6$: $\displaystyle h(t) = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t - 6)\right) + 6$. Kl. 09 er dybden $\displaystyle 4\cos\frac{\pi}{2} + 6 = 6$ meter, og likningen $h(t) = 8$ gir $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right) = \frac{1}{2}$, med første løsning kl. 04.

Pariserhjulet: Radius $20$ m, laveste punkt $2$ m over bakken, omløpstid $3$ minutter, start nederst. Da er maks $42$, likevekt $22$, og start i minimum gir cosinus med negativt fortegn: $\displaystyle h(t) = -20\cos\left(\frac{2\pi}{3}t\right) + 22$. Etter ett minutt: $\displaystyle -20\cos\frac{2\pi}{3} + 22 = -20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 22 = 32$ meter.

Lyd og strøm: Kammertonen er $p(t) = A\sin(880\pi t)$ med periode $\displaystyle \frac{1}{440}$ s — dobler du frekvensen (en oktav opp), halveres perioden. Norsk vekselstrøm er $U(t) = 230\sqrt{2}\sin(100\pi t)$ med periode $\displaystyle \frac{1}{50}$ s, og siden sinus krysser null to ganger per periode, er spenningen null $100$ ganger i sekundet.

Daglengden i Oslo svinger mellom $6$ og $19$ timer med periode $365$ døgn og maksimum ved sommersolverv (dag 172): $\displaystyle L(d) = 6{,}5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12{,}5$. Samme fire skruer, samme tankegang — fra havnebasseng til himmelmekanikk.

Oppsummering

Vi åpnet med å lytte til en verden som svinger — tidevann, temperatur, toner, strøm og pendler — og fant språket som beskriver det hele: de trigonometriske funksjonene og deres grafer.

Grunngrafene la fundamentet. Sinus og cosinus bølger begge mellom $-1$ og $1$ med periode $2\pi$; cosinus er bare sinus forskjøvet $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ til venstre, $\displaystyle \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Sinus er odde, cosinus like. Tangens skiller seg ut med periode $\pi$, verdimengde $\mathbb{R}$ og loddrette asymptoter i $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, der cosinus i nevneren blir null.

Så kom de fire skruene i $f(x) = A\sin(Bx + C) + D$: amplituden $|A|$ (halve avstanden mellom maks og min), perioden $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|}$, faseforskyvningen $\displaystyle -\frac{C}{B}$ og likevektslinjen $y = D$, med maksverdi $D + |A|$ og minverdi $D - |A|$. Detektivarbeidet fra graf til uttrykk fulgte alltid samme spor: amplitude og likevekt fra maks og min, $B$ fra perioden, og fasen fra et gjenkjennelig punkt på kurven.

Til slutt satte vi modellene i arbeid: tidevannet i havna, pariserhjulet som løftet oss $32$ meter på ett minutt, kammertonens $440$ svingninger i sekundet, vekselstrømmens $100$ nullgjennomganger og daglengden gjennom året. Husk tommelfingerregelen: cosinus når du kjenner et ytterpunkt, sinus når du kjenner en kryssing. Med fire parametre og to søsterfunksjoner kan du nå beskrive nær sagt alt som svinger.