4.5 Tangenslikninger | Matematikk R2

Løse likninger med tangens.

45 min

21 oppgaver

TangenslikningGenerell løsningPeriode π

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.2Enhetssirkelen og trigonometriske definisjoner

Kva er ei tangenslikning?

Ei tangenslikning er ei likning der den ukjende $x$ står i argumentet til ein tangensfunksjon.

Døme på tangenslikningar:
- $\tan(x) = 1$
- $\tan(2x) = \sqrt{3}$
- $\displaystyle \tan(x - \frac{\pi}{4}) = -1$

I dette kapitlet skal vi lære korleis vi løyser slike likningar og finn alle løysingane.

📊Grafen til tangensfunksjonen

Studer grafen til $y = \tan(x)$ . Legg merke til periodisiteten og dei vertikale asymptotane.

📜Løysing av tan(x) = a

For likninga

\tan(x) = a

der

a

er eit reelt tal:

$x = \arctan(a) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Sidan tangens har periode $\pi$ , får vi ei ny løysing for kvar $\pi$ vi legg til.

Dette er enklare enn for sinus og cosinus, der vi måtte finne to løysingar per periode!

✏️Døme 1: Enkel tangenslikning

Løys likninga $\tan(x) = 1$ .

Vi veit at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{4}) = 1

Den generelle løysinga er:
$x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Dei første positive løysingane:
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$
- $n = 2$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 1

Løys likninga $\tan(x) = 0$ . Gi den generelle løysinga.

✏️Døme 2: Tangenslikning med sqrt(3)

Løys likninga $\tan(x) = \sqrt{3}$ .

Vi veit at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}

(frå den likesida trekanten).

Den generelle løysinga er:
$x = \frac{\pi}{3} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{3} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 2

Løys likninga $\displaystyle \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Gi den generelle løysinga.

Tangenslikningar med negative verdiar

Når $\tan(x) = -a$ (negativ verdi), bruker vi at:
$\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$

Dette betyr at dersom $\tan(\theta) = a$ , så er $\tan(-\theta) = -a$ .

✏️Døme 3: Negativ tangensverdi

Løys likninga $\tan(x) = -1$ .

Vi veit at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{4}) = 1

, så

\displaystyle \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1

Alternativt kan vi bruke $\displaystyle \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$ (i andre kvadrant).

Den generelle løysinga er:
$x = -\frac{\pi}{4} + n\pi = \frac{3\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Begge uttrykk gir dei same løysingane!

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ eller $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + n\pi$

📝Oppgave 3

Løys likninga $\tan(x) = -\sqrt{3}$ . Gi den generelle løysinga.

Bruk av kalkulator for arctan

Når tangensverdien ikkje er ein "pen" verdi, bruker vi kalkulator:

$x = \arctan(a) + n\pi$

Viktig: Kalkulatoren gir berre éin verdi (hovudverdien) i intervallet $\displaystyle (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ . Vi må leggje til $n\pi$ for å få alle løysingar.

✏️Døme 4: Bruk av arctan på kalkulator

Løys likninga $\tan(x) = 2{,}5$ .

Med kalkulator finn vi:

\arctan(2{,}5) \approx 1{,}19 \text{ rad}

Den generelle løysinga er:
$x \approx 1{,}19 + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Løysingar i intervallet $[0, 2\pi]$ :
- $n = 0$ : $x \approx 1{,}19$
- $n = 1$ : $x \approx 1{,}19 + \pi \approx 4{,}33$

Svar: $x \approx 1{,}19 + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4

Løys likninga $\tan(x) = 3$ . Finn den generelle løysinga og alle løysingar i $[0, 2\pi]$ .

📜Løysing av tan(kx + c) = a

For likninga

\tan(kx + c) = a

Framgangsmåte:
1. Sett $u = kx + c$
2. Løys $\tan(u) = a$ og få $u = \arctan(a) + n\pi$
3. Løys for $x$ : $kx + c = \arctan(a) + n\pi$
4. $\displaystyle x = \frac{\arctan(a) + n\pi - c}{k}$

Generell formel:
$x = \frac{\arctan(a) - c + n\pi}{k}, \quad n \in \mathbb{Z}$

✏️Døme 5: Tangenslikning med koeffisient framfor x

Løys likninga $\tan(2x) = 1$ .

Steg 1: Sett

u = 2x

\tan(u) = 1

Steg 2: Løys for $u$
$u = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Steg 3: Tilbake til $x$
$2x = \frac{\pi}{4} + n\pi$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$ , der $n \in \mathbb{Z}$

Løysingar i $[0, 2\pi]$ :
$\displaystyle x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$

📝Oppgave 5

Løys likninga $\tan(3x) = \sqrt{3}$ . Finn den generelle løysinga.

✏️Døme 6: Tangenslikning med faseforskyving

Løys likninga $\displaystyle \tan(x - \frac{\pi}{4}) = 1$ .

Steg 1: Sett

\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}

\tan(u) = 1

Steg 2: Løys for $u$
$u = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Steg 3: Tilbake til $x$
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + n\pi$
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 6

Løys likninga $\displaystyle \tan(x + \frac{\pi}{6}) = -1$ . Finn den generelle løysinga.

✏️Døme 7: Kombinert transformasjon

Løys likninga $\displaystyle \tan(2x + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ .

Steg 1: Sett

\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}

\tan(u) = \sqrt{3}

Steg 2: Løys for $u$
$u = \frac{\pi}{3} + n\pi$

Steg 3: Tilbake til $x$
$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + n\pi$
$2x = n\pi$
$x = \frac{n\pi}{2}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{n\pi}{2}$ , der $n \in \mathbb{Z}$

Løysingar i $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$

📝Oppgave 7

Løys likninga $\displaystyle \tan(2x - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{3}$ . Finn alle løysingar i $[0, \pi]$ .

Definisjonsmengd for tangens

Tangensfunksjonen er ikkje definert når cosinus er null:

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \text{ er udefinert når } \cos(x) = 0$

Dette skjer for:
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Når du løyser tangenslikningar, må du alltid sjekke at løysingane ikkje fell på desse punkta!

✏️Døme 8: Sjekk av definisjonsmengd

Løys likninga $\displaystyle \tan(x) = \tan(\frac{\pi}{2})$ .

Denne likninga har inga løysing!

$\displaystyle \tan(\frac{\pi}{2})$ er udefinert, så vi kan ikkje ha ei likning der tangens skal vere lik denne verdien.

Ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ har tangensfunksjonen ein vertikal asymptote.

📝Oppgave 8

Forklar kvifor likninga $\displaystyle \tan(2x) = \tan(\frac{\pi}{2})$ ikkje har noka løysing.

Samanlikning med sinus- og cosinuslikningar

Eigenskap	Sinus/Cosinus	Tangens
Periode	$2\pi$	$\pi$
Løysingar per periode	2 (vanlegvis)	1
Generell løysing	$x = \alpha + 2n\pi$ og $x = \pi - \alpha + 2n\pi$	$x = \alpha + n\pi$
Verdimengd	$[-1, 1]$	$\mathbb{R}$
Definisjonsmengd	$\mathbb{R}$	$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$

Fordel med tangenslikningar: Vi får berre éin "type" løysing, ikkje to som for sinus og cosinus!

✏️Døme 9: Samanlikning av løysingsmetodar

Samanlikn løysingane av:
a) $\displaystyle \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
b) $\tan(x) = 1$

a) Sinuslikning:

\displaystyle \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Løysingar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}$ (2 løysingar)

b) Tangenslikning:
$\tan(x) = 1$

Løysing: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$ (2 løysingar)

Merk: Begge har 2 løysingar i $[0, 2\pi]$ , men tangenslikninga har enklare generell form!

📝Oppgave 9

Finn alle løysingar i $[0, 2\pi]$ for: a) $\displaystyle \cos(x) = \frac{1}{2}$ b) $\displaystyle \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Samanlikn talet på løysingar.

Likningar som kan omformast til tangenslikningar

Nokre likningar som inneheld sinus og cosinus kan omformast til tangenslikningar:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = a \quad \Rightarrow \quad \tan(x) = a$

Dette er nyttig når vi har brøkar med sinus og cosinus.

✏️Døme 10: Omforming til tangenslikning

Løys likninga $\sin(x) = \cos(x)$ .

Metode: Del på

\cos(x)

(føresett at

\cos(x) \neq 0

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1$
$\tan(x) = 1$

Løysing: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Sjekk: Er $\displaystyle \cos(\frac{\pi}{4} + n\pi) = 0$ ? Nei, så løysingane er gyldige.

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 10

Løys likninga $\sin(x) = \sqrt{3}\cos(x)$ .

✏️Døme 11: Meir kompleks omforming

Løys likninga $2\sin(x) + 3\cos(x) = 0$ .

Metode: Flytt og del på

\cos(x)

$2\sin(x) = -3\cos(x)$
$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\frac{3}{2}$
$\tan(x) = -\frac{3}{2}$

Med kalkulator: $\displaystyle \arctan(-\frac{3}{2}) \approx -0{,}98$ rad

Løysing: $x \approx -0{,}98 + n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $x \approx 2{,}16$ og $x \approx 5{,}30$

Svar: $x \approx -0{,}98 + n\pi$ eller $x \approx 2{,}16 + n\pi$

📝Oppgave 11

Løys likninga $3\sin(x) - 4\cos(x) = 0$ . Finn alle løysingar i $[0, 2\pi]$ .

Praktiske bruksområde

Tangenslikningar dukkar opp i mange praktiske samanhengar:

- Helningsvinklar: $\displaystyle \tan(\theta) = \frac{\text{motståande}}{\text{hosliggjande}}$
- Vinklar i fysikk: Rørsle i skråplan, prosjektilrørsle
- Optikk: Brewsters vinkel for polarisering
- Navigasjon: Berekning av kursvinklar

✏️Døme 12: Helningsvinkel

Ein veg har ei stigning på 15 %. Finn helningsvinkelen.

15 % stigning betyr at vegen stig 15 meter per 100 meter horisontalt.

$\tan(\theta) = \frac{15}{100} = 0{,}15$

$\theta = \arctan(0{,}15) \approx 8{,}5°$

Svar: Helningsvinkelen er ca. $8{,}5°$ .

📝Oppgave 12

Ei trapp har trinn som er 17 cm høge og 28 cm djupe. Finn helningsvinkelen til trappa.

✏️Døme 13: Prosjektilrørsle

Ein ball blir kasta med utgangsfart $v_0 = 20$ m/s. Ved kva vinkel $\theta$ frå horisontalplanet når ballen ei maksimal horisontal rekkjevidd på 30 m?

Formelen for horisontal rekkjevidd er: $\displaystyle R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Med

R = 30

v_0 = 20

m/s og

g = 10

m/s²:

$30 = \frac{20^2 \sin(2\theta)}{10}$
$30 = \frac{400 \sin(2\theta)}{10}$
$30 = 40 \sin(2\theta)$
$\sin(2\theta) = 0{,}75$

$2\theta = \arcsin(0{,}75) \approx 48{,}6°$ eller $2\theta \approx 131{,}4°$

$\theta \approx 24{,}3°$ eller $\theta \approx 65{,}7°$

Svar: Ballen kan kastast med vinkel ca. $24{,}3°$ eller $65{,}7°$ .

📝Oppgave 13

Eit tårn er 50 m høgt. Frå toppen av tårnet ser ein eit punkt på bakken med synsvinkel $30°$ . Kor langt frå tårnfoten ligg punktet?

✏️Døme 14: Periodisk løysing i praksis

Ein pendel svingar slik at vinkelen

\theta

(i radianar) frå vertikalen er gitt ved:

\theta(t) = 0{,}1 \sin(2t)

Finn alle tidspunkt $t > 0$ der $\tan(\theta) = 0{,}05$ .

For små vinklar er

\tan(\theta) \approx \theta

(i radianar).

Så vi løyser omtrent: $0{,}1 \sin(2t) = 0{,}05$

$\sin(2t) = 0{,}5$
$2t = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{eller} \quad 2t = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$

$t = \frac{\pi}{12} + n\pi \quad \text{eller} \quad t = \frac{5\pi}{12} + n\pi$

Dei første positive tidspunkta:
$t \approx 0{,}26$ s, $t \approx 1{,}31$ s, $t \approx 3{,}40$ s, ...

Svar: $\displaystyle t = \frac{\pi}{12} + n\pi$ eller $\displaystyle t = \frac{5\pi}{12} + n\pi$ , der $n \geq 0$

Samandrag: Tangenslikningar

\tan(x) = a \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(a) + n\pi

Ekstraoppgåver

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Tangensfunksjonen: $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ er definert for $\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ og har periode $\pi$ .
- Generell løysing: $\tan x = a$ har løysinga $x = v + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ , der $\tan v = a$ . Likninga har alltid nøyaktig éi løysing per periode.
- Samansett argument: For $\tan(kx + c) = a$ løyser du først for $kx + c$ og deler så på $k$ ; perioden blir $\displaystyle \frac{\pi}{k}$ .
- Omforming: Likningar som $\sin x = \cos x$ kan delast på $\cos x$ og bli tangenslikningar.
- Bruksområde: Tangens skildrar stigning og helningsvinkel: stigingstal $= \tan v$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Tangensfunksjonen	$\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , periode $\pi$
Vertikal asymptote	$\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ , der $\cos x = 0$
Generell løysing	$x = v + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$
Helningsvinkel	Vinkelen $v$ med $\tan v =$ stigingstalet

Viktige formlar

\tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + \pi n

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.