4.5 Tangenslikningar

Løyse likningar med tangens.

45 min

21 oppgaver

TangenslikningGenerell løysingPeriode π

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Radianer og enhetssirkelen

Kva er ei tangenslikning?

Ei tangenslikning er ei likning der den ukjende $x$ står i argumentet til ein tangensfunksjon.

Døme på tangenslikningar:
- $\tan(x) = 1$
- $\tan(2x) = \sqrt{3}$
- $\displaystyle \tan(x - \frac{\pi}{4}) = -1$

I dette kapitlet skal vi lære korleis vi løyser slike likningar og finn alle løysingane.

Gjør dette i GeoGebra

Grafen til tangensfunksjonen

Studer grafen til

y = \tan(x)

. Legg merke til periodisiteten og dei vertikale asymptotane.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = tan(x)
ZoomIn(-2*pi, -5, 2*pi, 5)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📜Løysing av tan(x) = a

For likninga

\tan(x) = a

der

a

er eit reelt tal:

$x = \tan^{-1}(a) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Sidan tangens har periode $\pi$ , får vi ei ny løysing for kvar $\pi$ vi legg til.

Dette er enklare enn for sinus og cosinus, der vi måtte finne to løysingar per periode!

✏️Døme 1: Enkel tangenslikning

Løys likninga $\tan(x) = 1$ .

Vi veit at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{4}) = 1

Den generelle løysinga er:
$x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Dei første positive løysingane:
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$
- $n = 2$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 1

Løys likninga $\tan(x) = 0$ . Gi den generelle løysinga.

✏️Døme 2: Tangenslikning med sqrt(3)

Løys likninga $\tan(x) = \sqrt{3}$ .

Vi veit at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}

(frå den likesida trekanten).

Den generelle løysinga er:
$x = \frac{\pi}{3} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{3} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 2

Løys likninga $\displaystyle \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Gi den generelle løysinga.

Tangenslikningar med negative verdiar

Når $\tan(x) = -a$ (negativ verdi), bruker vi at:
$\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$

Dette betyr at dersom $\tan(\theta) = a$ , så er $\tan(-\theta) = -a$ .

✏️Døme 3: Negativ tangensverdi

Løys likninga $\tan(x) = -1$ .

Vi veit at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{4}) = 1

, så

\displaystyle \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1

Alternativt kan vi bruke $\displaystyle \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$ (i andre kvadrant).

Den generelle løysinga er:
$x = -\frac{\pi}{4} + n\pi = \frac{3\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Begge uttrykk gir dei same løysingane!

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ eller $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + n\pi$

📝Oppgave 3

Løys likninga $\tan(x) = -\sqrt{3}$ . Gi den generelle løysinga.

Bruk av kalkulator for $\tan^{-1}$

Når tangensverdien ikkje er ein "pen" verdi, bruker vi kalkulator:

$x = \tan^{-1}(a) + n\pi$

Viktig: Kalkulatoren gir berre éin verdi (hovudverdien) i intervallet $\displaystyle \left\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right\rangle$ . Vi må leggje til $n\pi$ for å få alle løysingar.

✏️Eksempel 4: Bruk av tan⁻¹ på kalkulator

Løys likninga $\tan(x) = 2{,}5$ .

Med kalkulator finn vi:

\tan^{-1}(2{,}5) \approx 1{,}19 \text{ rad}

Den generelle løysinga er:
$x \approx 1{,}19 + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Løysingar i intervallet $[0, 2\pi]$ :
- $n = 0$ : $x \approx 1{,}19$
- $n = 1$ : $x \approx 1{,}19 + \pi \approx 4{,}33$

Svar: $x \approx 1{,}19 + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4

Løys likninga $\tan(x) = 3$ . Finn den generelle løysinga og alle løysingar i $[0, 2\pi]$ .

📜Løysing av tan(kx + c) = a

For likninga

\tan(kx + c) = a

Framgangsmåte:
1. Set $u = kx + c$
2. Løys $\tan(u) = a$ og få $u = \tan^{-1}(a) + n\pi$
3. Løys for $x$ : $kx + c = \tan^{-1}(a) + n\pi$
4. $\displaystyle x = \frac{\tan^{-1}(a) + n\pi - c}{k}$

Generell formel:
$x = \frac{\tan^{-1}(a) - c + n\pi}{k}, \quad n \in \mathbb{Z}$

✏️Døme 5: Tangenslikning med koeffisient framfor x

Løys likninga $\tan(2x) = 1$ .

Sett

u = 2x

\tan(u) = 1

Løys for $u$
$u = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Tilbake til $x$
$2x = \frac{\pi}{4} + n\pi$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$ , der $n \in \mathbb{Z}$

Løysingar i $[0, 2\pi]$ :
$\displaystyle x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$

📝Oppgave 5

Løys likninga $\tan(3x) = \sqrt{3}$ . Finn den generelle løysinga.

✏️Døme 6: Tangenslikning med faseforskyving

Løys likninga $\displaystyle \tan(x - \frac{\pi}{4}) = 1$ .

Sett

\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}

\tan(u) = 1

Løys for $u$
$u = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Tilbake til $x$
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + n\pi$
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 6

Løys likninga $\displaystyle \tan(x + \frac{\pi}{6}) = -1$ . Finn den generelle løysinga.

✏️Døme 7: Kombinert transformasjon

Løys likninga $\displaystyle \tan(2x + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ .

Sett

\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}

\tan(u) = \sqrt{3}

Løys for $u$
$u = \frac{\pi}{3} + n\pi$

Tilbake til $x$
$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + n\pi$
$2x = n\pi$
$x = \frac{n\pi}{2}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{n\pi}{2}$ , der $n \in \mathbb{Z}$

Løysingar i $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$

📝Oppgave 7

Løys likninga $\displaystyle \tan(2x - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{3}$ . Finn alle løysingar i $[0, \pi]$ .

Definisjonsmengd for tangens

Tangensfunksjonen er ikkje definert når cosinus er null:

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \text{ er udefinert når } \cos(x) = 0$

Dette skjer for:
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Når du løyser tangenslikningar, må du alltid sjekke at løysingane ikkje fell på desse punkta!

✏️Døme 8: Sjekk av definisjonsmengd

Løys likninga $\displaystyle \tan(x) = \tan(\frac{\pi}{2})$ .

Denne likninga har inga løysing!

$\displaystyle \tan(\frac{\pi}{2})$ er udefinert, så vi kan ikkje ha ei likning der tangens skal vere lik denne verdien.

Ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ har tangensfunksjonen ein vertikal asymptote.

Svar: Likninga har inga løysing.

📝Oppgave 8

Forklar kvifor likninga $\displaystyle \tan(2x) = \tan(\frac{\pi}{2})$ ikkje har noka løysing.

Samanlikning med sinus- og cosinuslikningar

Eigenskap	Sinus	Cosinus	Tangens
Periode	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
Løysingar per periode	2 (vanlegvis)	2 (vanlegvis)	1
Generell løysing	$x = \alpha + 2n\pi$ eller $x = \pi - \alpha + 2n\pi$	$x = \pm\alpha + 2n\pi$	$x = \alpha + n\pi$
Verdimengd	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$	$\mathbb{R}$
Definisjonsmengd	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$

Her er

\alpha

ei løysing vi har funne, til dømes med

\sin^{-1}

\cos^{-1}

eller

\tan^{-1}

.
Fordel med tangenslikningar: Vi får berre éin løysingsfamilie, ikkje to som for sinus og cosinus.

✏️Døme 9: Samanlikning av løysingsmetodar

Samanlikn løysingane av:
a) $\displaystyle \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
b) $\tan(x) = 1$

a) Sinuslikning:

\displaystyle \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Løysingar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}$ (2 løysingar)

b) Tangenslikning:
$\tan(x) = 1$

Løysing: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$ (2 løysingar)

Merk: Begge har 2 løysingar i $[0, 2\pi]$ , men tangenslikninga har enklare generell form!

Svar: a) $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}$ b) $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$ . Begge har 2 løysingar i $[0, 2\pi]$ .

📝Oppgave 9

Finn alle løysingar i $[0, 2\pi]$ for: a) $\displaystyle \cos(x) = \frac{1}{2}$ b) $\displaystyle \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Samanlikn talet på løysingar.

Likningar som kan omformast til tangenslikningar

Nokon likningar som inneheld sinus og cosinus kan omformast til tangenslikningar:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = a \quad \Rightarrow \quad \tan(x) = a$

Dette er nyttig når vi har brøkar med sinus og cosinus.

✏️Døme 10: Omforming til tangenslikning

Løys likninga $\sin(x) = \cos(x)$ .

Metode: Del på

\cos(x)

(føresett at

\cos(x) \neq 0

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1$
$\tan(x) = 1$

Løysing: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Sjekk: Er $\displaystyle \cos(\frac{\pi}{4} + n\pi) = 0$ ? Nei, så løysingane er gyldige.

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 10

Løys likninga $\sin(x) = \sqrt{3}\cos(x)$ .

✏️Døme 11: Meir kompleks omforming

Løys likninga $2\sin(x) + 3\cos(x) = 0$ .

Metode: Flytt og del på

\cos(x)

$2\sin(x) = -3\cos(x)$
$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\frac{3}{2}$
$\tan(x) = -\frac{3}{2}$

Med kalkulator: $\displaystyle \tan^{-1}(-\frac{3}{2}) \approx -0{,}98$ rad

Løysing: $x \approx -0{,}98 + n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $x \approx 2{,}16$ og $x \approx 5{,}30$

Svar: $x \approx -0{,}98 + n\pi$ (i $[0, 2\pi]$ : $x \approx 2{,}16$ og $x \approx 5{,}30$ )

📝Oppgave 11

Løys likninga $3\sin(x) - 4\cos(x) = 0$ . Finn alle løysingar i $[0, 2\pi]$ .

Praktiske bruksområde

Tangenslikningar dukkar opp i mange praktiske samanhengar:

- Helningsvinklar: $\displaystyle \tan(\theta) = \frac{\text{motståande}}{\text{hosliggjande}}$
- Vinklar i fysikk: Rørsle i skråplan, prosjektilrørsle
- Optikk: Brewsters vinkel for polarisering
- Navigasjon: Berekning av kursvinklar

✏️Døme 12: Helningsvinkel

Ein veg har ei stigning på 15 %. Finn helningsvinkelen.

15 % stigning betyr at vegen stig 15 meter per 100 meter horisontalt.

$\tan(\theta) = \frac{15}{100} = 0{,}15$

$\theta = \tan^{-1}(0{,}15) \approx 8{,}5°$

Svar: Helningsvinkelen er ca. $8{,}5°$ .

📝Oppgave 12

Ei trapp har trinn som er 17 cm høge og 28 cm djupe. Finn helningsvinkelen til trappa.

✏️Døme 13: Prosjektilrørsle

Ein ball blir kasta med startfart $v_0 = 20$ m/s i vinkelen $\theta$ med horisontalplanet. Fartskomponentane i starten er $v_x = 20\cos\theta$ (horisontalt) og $v_y = 20\sin\theta$ (vertikalt).

Finn $\theta$ når den vertikale komponenten er $0{,}75$ gonger så stor som den horisontale, altså $v_y = 0{,}75\,v_x$ .

20\sin\theta = 0{,}75 \cdot 20\cos\theta

\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 0{,}75

\tan\theta = 0{,}75

$\theta = \tan^{-1}(0{,}75) + n \cdot 180° \approx 36{,}9° + n \cdot 180°$

Ein utkastvinkel over horisontalplanet ligg mellom $0°$ og $90°$ , så berre $n = 0$ passar.

Kontroll: $v_x = 20\cos 36{,}87° = 16$ m/s og $v_y = 20\sin 36{,}87° = 12$ m/s, og $\displaystyle \frac{12}{16} = 0{,}75$ .

Svar: Ballen blir kasta med vinkelen $\theta \approx 36{,}9°$ .

📝Oppgave 13

Eit tårn er 50 m høgt. Frå toppen av tårnet ser ein eit punkt på bakken med synsvinkel $30°$ . Kor langt frå tårnfoten ligg punktet?

✏️Døme 14: Periodisk løysing i praksis

Ein pendel svingar slik at vinkelen

\theta

(i radianar) frå vertikalen er gitt ved:

\theta(t) = 0{,}1 \sin(2t)

Finn alle tidspunkt $t > 0$ der $\tan(\theta) = 0{,}05$ .

\tan(\theta) = 0{,}05

\theta = \tan^{-1}(0{,}05) \approx 0{,}049958

$0{,}1\sin(2t) = 0{,}049958$
$\sin(2t) = 0{,}49958$

$\begin{aligned} &2t \approx 0{,}52312 + 2n\pi \\ &\text{eller}\; 2t \approx \pi - 0{,}52312 + 2n\pi \end{aligned}$
$t \approx 0{,}2616 + n\pi \quad \text{eller} \quad t \approx 1{,}3092 + n\pi$

Dei første positive tidspunkta: $t \approx 0{,}26$ s, $t \approx 1{,}31$ s, $t \approx 3{,}40$ s, $t \approx 4{,}45$ s, …

Kontroll: For små vinklar er $\tan(\theta) \approx \theta$ , som gir $\sin(2t) \approx 0{,}5$ og $\displaystyle t \approx \frac{\pi}{12} + n\pi$ eller $\displaystyle t \approx \frac{5\pi}{12} + n\pi$ — nesten dei same tala.

Svar: $t \approx 0{,}26 + n\pi$ eller $t \approx 1{,}31 + n\pi$ (sekund), der $n = 0, 1, 2, \ldots$

Samandrag: Tangenslikningar

\tan(x) = a \quad \Rightarrow \quad x = \tan^{-1}(a) + n\pi

Ekstraoppgåver

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Tangensfunksjonen: $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ er definert for $\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ og har periode $\pi$ .
- Generell løysing: $\tan x = a$ har løysinga $x = v + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ , der $\tan v = a$ . Likninga har alltid nøyaktig éi løysing per periode.
- Samansett argument: For $\tan(kx + c) = a$ løyser du først for $kx + c$ og deler så på $k$ ; perioden blir $\displaystyle \frac{\pi}{k}$ .
- Omforming: Likningar som $\sin x = \cos x$ kan delast på $\cos x$ og bli tangenslikningar.
- Anvendingar: Tangens beskriv stigning og helningsvinkel: stigningstall $= \tan v$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Tangensfunksjonen	$\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , periode $\pi$
Vertikal asymptote	$\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ , der $\cos x = 0$
Generell løysing	$x = v + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$
Helningsvinkel	Vinkelen $v$ med $\tan v =$ stigningstallet

Viktige formlar

\tan x = a \Rightarrow x = \tan^{-1} a + \pi n

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Kva er ei tangenslikning?

Grafen til tangensfunksjonen

Tangenslikningar med negative verdiar

Bruk av kalkulator for tan⁡−1\tan^{-1}tan−1

Samanlikning med sinus- og cosinuslikningar

Likningar som kan omformast til tangenslikningar

Praktiske bruksområde

Oppsummering

Nøkkelomgrep

Viktige formlar

Bruk av kalkulator for $\tan^{-1}$