4.3 Sinuslikningar

Løyse likningar med sinus.

55 min

35 oppgaver

SinuslikningGenerell løysingPeriodisitet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 35 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Radianer og enhetssirkelen

Sinuslikningar

Sinuslikningar er likningar der den ukjente $x$ står som argument i ein sinusfunksjon. Slike likningar dukkar opp i mange praktiske samanhengar, som bølgjefenomen, periodiske svingingar og lydanalyse.

Kva skal vi lære?
- Løyse grunnleggjande likningar av typen $\sin x = a$
- Finne den generelle løysinga med $n \in \mathbb{Z}$
- Løyse meir samansette likningar som $\sin(kx + c) = a$
- Tolke løysingane grafisk
- Finne antal løysingar i eit gjeve intervall
- Nytte sinuslikningar på praktiske problem

Sinuslikning av typen sin(x) = a

\sin x = a

Spesielle verdiar

Nokre sinusverdiar bør du kunne utanåt:

$x$	$\sin x$
$0$	$0$
$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$1$
$\pi$	$0$
$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$	$-1$
$2\pi$	$0$

Desse verdiane følgjer frå einingssirkelen og standardtrekantane (sjå delkapittel 4.1).

📜Generell løysing av sin(x) = a

Dersom

-1 \leq a \leq 1

\sin v = a

for ein vinkel

v

, så har likninga

\sin x = a

den generelle løysinga:

$x = v + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - v + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Forklaring: Sinusfunksjonen har periode $2\pi$ , og for kvar verdi $a$ (unntatt $\pm 1$ ) finst det to vinklar i $[0, 2\pi\rangle$ med same sinusverdi. Desse ligg symmetrisk om $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ .

Framgangsmåte for å løyse $\sin x = a$ :

1. Sjekk om $|a| \leq 1$ . Viss ikkje, har likninga inga løysing.
2. Finn ein vinkel $v$ slik at $\sin v = a$ . Bruk kalkulator eller kjende verdiar.
3. Skriv opp begge løysingsgreinene:
- $x = v + 2\pi n$
- $x = (\pi - v) + 2\pi n$
4. Viss du skal finne løysingar i eit bestemt intervall, set inn verdiar for $n$ (typisk $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$ ).

✏️Eksempel 1: Grunnleggjande sinuslikning

Løys likninga $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ .

Sjekk løysbarheit.

\displaystyle \frac{1}{2}

ligg mellom

-1

1

, så likninga har løysing.

Finn ein vinkel $v$ slik at $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$ .
Frå tabellen veit vi at $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ , så $\displaystyle v = \frac{\pi}{6}$ .

Skriv opp den generelle løysinga.
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.31

Løys likninga $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ og oppgi den generelle løysinga.

✏️Eksempel 2: Negativ sinusverdi

Løys likninga $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Sjekk løysbarheit.

\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}707

ligg mellom

-1

1

. \checkmark

Finn ein vinkel $v$ slik at $\displaystyle \sin v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Vi veit at $\displaystyle \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Sidan vi treng ein negativ verdi, bruker vi $\displaystyle v = -\frac{\pi}{4}$ .

Skriv opp den generelle løysinga.
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Alternativ form: Vi kan også skrive løysingane som:
$x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4.32

Løys likninga $\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}$ og oppgi den generelle løysinga.

✏️Eksempel 3: Ekstremverdiar

Løys likninga $\sin x = 1$ .

Sjekk om likninga har løysing.

1

er maksimalverdien til sinusfunksjonen, så likninga har løysing.

Finn vinkelen.
$\sin x = 1$ berre når $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ .

Generell løysing.
Sidan dette er ein ekstremverdi, får vi berre éi løysingsgrei:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Ved $a = 1$ fell dei to løysingsgrenene saman fordi $\displaystyle \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ .

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4.33

Løys likninga $\sin x = -1$ .

✏️Eksempel 4: Inga løysing

Løys likninga $\sin x = 2$ .

Sjekk om likninga kan ha løysingar.
$2 > 1$ , så verdien ligg utanfor verdimengda til sinusfunksjonen.

Svar: Likninga har inga løysing sidan $\sin x \in [-1, 1]$ for alle $x$ .

Vanleg feil

Hugs å sjekke at $|a| \leq 1$ for likninga har løysing. Mange gløymer dette og forsøkjer å løyse likningar som $\sin x = 1{,}5$ eller $\sin x = -3$ , som ikkje har løysingar.

Løysingar i eit bestemt intervall

Ofte blir vi bedne om å finne alle løysingar i eit gitt intervall, til dømes $[0, 2\pi\rangle$ eller $[-\pi, \pi]$ .

Framgangsmåte:
1. Finn den generelle løysinga
2. Set inn ulike verdiar for $n$ ( $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$ )
3. Behald berre dei løysingane som ligg i det angitte intervallet

✏️Eksempel 5: Løysingar i [0, 2π⟩

Finn alle løysingar av $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i intervallet $[0, 2\pi\rangle$ .

Finn den generelle løysinga.
Vi veit at

\displaystyle \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Finn løysingar i $[0, 2\pi\rangle$ .

For $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}79$ \checkmark (i intervallet)
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi \approx 7{,}07$ (utanfor)
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} - 2\pi \approx -5{,}50$ (utanfor)

For $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} \approx 2{,}36$ \checkmark (i intervallet)
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \approx 8{,}64$ (utanfor)
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi \approx -3{,}93$ (utanfor)

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}$

📝Oppgave 4.34

Finn alle løysingar av $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ i intervallet $[0, 2\pi\rangle$ .

✏️Eksempel 6: Løysingar i [-pi, pi]

Finn alle løysingar av $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ i intervallet $[-\pi, \pi]$ .

Finn den generelle løysinga.
Vi bruker

\displaystyle v = -\frac{\pi}{3}

sidan

\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

\begin{aligned} &x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \\ &\text{eller}\; x = \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n \\ = {}&\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \end{aligned}

Finn løysingar i $[-\pi, \pi]$ .

For $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} \approx -1{,}05$ \checkmark

For $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}19$ (utanfor, $> \pi$ )
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} \approx -2{,}09$ \checkmark

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle x = -\frac{2\pi}{3}$

📝Oppgave 4.35

Finn alle løysingar av $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ i intervallet $[-\pi, \pi]$ .

Grafisk tolking

Å løyse $\sin x = a$ grafisk betyr å finne skjeringspunkta mellom grafen til $y = \sin x$ og den horisontale linja $y = a$ .

Viktige observasjonar:
- Sinusgrafen svingar mellom $-1$ og $1$ med periode $2\pi$
- For $-1 < a < 1$ skjer linja $y = a$ sinusgrafen to gonger per periode
- For $a = \pm 1$ skjer linja sinusgrafen ein gong per periode (i topp/botnpunkta)
- For $|a| > 1$ skjer linja aldri sinusgrafen

Denne grafiske forståinga hjelper oss å:
1. Raskt avgjere om ei likning har løysing
2. Finne antal løysingar i eit gjeve intervall
3. Estimere løysingane visuelt

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk sinuslikningar grafisk

Dra glidaren for å endre verdien av

a

og sjå kvar linja

y = a

skjer sinusgrafen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = sin(x)
a = 0.5
g(x) = a
Intersect(f, g, -10, 10)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Eksempel 7: Talet på løysingar grafisk

Kor mange løysingar har likninga $\sin x = 0{,}3$ i intervallet $[0, 4\pi]$ ?

Grafisk resonnement:
Linja

y = 0{,}3

skjer sinusgrafen to gonger per periode (

2\pi

Intervallet $[0, 4\pi]$ inneheld $\displaystyle \frac{4\pi}{2\pi} = 2$ fulle periodar.

Tal på løysingar: $2 \times 2 = 4$ løysingar.

Kontroll med rekning:
$\sin^{-1}(0{,}3) \approx 0{,}305$ radianar.
Løysingane er omtrent:
- $x \approx 0{,}305$ (1. periode, stigande)
- $x \approx \pi - 0{,}305 \approx 2{,}837$ (1. periode, synkande)
- $x \approx 0{,}305 + 2\pi \approx 6{,}588$ (2. periode, stigande)
- $x \approx 2{,}837 + 2\pi \approx 9{,}120$ (2. periode, synkande)

Alle fire ligg i $[0, 4\pi] \approx [0, 12{,}57]$ .

Svar: Likninga har 4 løysingar i $[0, 4\pi]$ .

📝Oppgave 4.36

Kor mange løysingar har likninga $\sin x = 0{,}7$ i intervallet $[0, 6\pi]$ ?

📜Talet på løysingar i eit intervall

For likninga $\sin x = a$ der $-1 < a < 1$ :

I eit halvope intervall $[c, c + 2\pi k\rangle$ , som inneheld nøyaktig $k$ fulle periodar, er talet på løysingar lik $2k$ .

Spesialtilfelle:
- Viss $a = 1$ eller $a = -1$ : $k$ løysingar
- Viss $|a| > 1$ : $0$ løysingar

Merk: I eit lukka intervall $[c, c + 2\pi k]$ kan òg endepunkta vere løysingar. Til dømes har $\sin x = 0$ fem løysingar i $[0, 4\pi]$ : $0$ , $\pi$ , $2\pi$ , $3\pi$ og $4\pi$ . For lukka intervall og intervall som ikkje inneheld heile periodar, må vi difor finne dei eksakte løysingane og telje dei.

Samansette sinuslikningar: $\sin(kx + c) = a$

Når sinusfunksjonen har eit meir komplisert argument, som $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3})$ eller $\sin(3x - 1)$ , bruker vi substitusjon.

Strategi:
1. Set $u = kx + c$ (det indre uttrykket)
2. Løys $\sin u = a$ for $u$
3. Løys for $x$ frå $u = kx + c$

Viktig: Hugs at perioden til $\sin(kx)$ er $\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}$ , ikkje $2\pi$ !

✏️Eksempel 8: Likning med dobbelt argument

Løys likninga $\displaystyle \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Set

u = 2x

.
Likninga blir

\displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}}{2}

Løys for $u$ .
$u = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Løys for $x$ .
Frå $u = 2x$ får vi $\displaystyle x = \frac{u}{2}$ :
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Perioden er halvert frå $2\pi$ til $\pi$ fordi koeffisienten framfor $x$ er $2$ .

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{\pi}{3} + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4.37

Løys likninga $\displaystyle \sin(3x) = \frac{1}{2}$ .

✏️Eksempel 9: Likning med faseforskyving

Løys likninga $\displaystyle \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Set

\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}

.
Likninga blir

\displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{2}}{2}

Løys for $u$ .
$u = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Løys for $x$ frå $\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}$ , altså $\displaystyle x = u + \frac{\pi}{4}$ :
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ eller $x = \pi + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.38

Løys likninga $\displaystyle \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ .

✏️Eksempel 10: Generell samansetjing

Løys likninga $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ .

Set

\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}

.
Likninga blir

\displaystyle \sin u = -\frac{1}{2}

Løys for $u$ .
Vi bruker $\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ :
$\begin{aligned} &u = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \\ &\text{eller}\; u = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n \\ = {}&\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \end{aligned}$

Løys for $x$ frå $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = u$ :
$2x = u - \frac{\pi}{3}$
$x = \frac{u}{2} - \frac{\pi}{6}$

For $\displaystyle u = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ :
$x = \frac{-\frac{\pi}{6} + 2\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{12} + \pi n - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

For $\displaystyle u = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ :
$x = \frac{\frac{7\pi}{6} + 2\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{12} + \pi n - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12} + \pi n$

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.39

Løys likninga $\displaystyle \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og finn alle løysingar i $[0, 2\pi\rangle$ .

Hugseregel for $\sin(kx + c) = a$ :

Når du har funne den generelle løysinga for $u$ , deler du $2\pi n$ -leddet på $k$ for å få rett periode for $x$ .

Til dømes: Viss $u = v + 2\pi n$ og $u = kx + c$ , då blir:
$x = \frac{v - c}{k} + \frac{2\pi n}{k}$

Perioden til løysinga er $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ , ikkje $2\pi$ .

Fleire teknikkar

Nokre sinuslikningar krev ekstra manipulasjon før dei kan løysast. Her ser vi på nokre vanlege situasjonar.

✏️Eksempel 11: Likning med kalkulator

Løys likninga $\sin x = 0{,}4$ og finn alle løysingar i $[0, 2\pi\rangle$ . Oppgi svara med tre desimalar.

Bruk kalkulator til å finne

\sin^{-1}

v = \sin^{-1}(0{,}4) \approx 0{,}412

radianar.

Den generelle løysinga er:
$\begin{aligned} &x \approx 0{,}412 + 2\pi n \\ &\text{eller}\; x \approx \pi - 0{,}412 + 2\pi n \\ \approx {}&2{,}730 + 2\pi n \end{aligned}$

I $[0, 2\pi\rangle$ :
- $x \approx 0{,}412$
- $x \approx 2{,}730$

Svar: $x \approx 0{,}412$ og $x \approx 2{,}730$ .

📝Oppgave 4.310

Løys likninga $\sin x = 0{,}6$ og finn alle løysingar i $[0, 2\pi\rangle$ . Oppgi svara med tre desimalar.

✏️Eksempel 12: Likning som krev omforming

Løys likninga $2\sin x + 1 = 0$ .

Isoler sinusleddet.

2\sin x = -1

\sin x = -\frac{1}{2}

Løys den enkle sinuslikninga.
Vi veit at $\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ .
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

Alternativ form: $\displaystyle x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4.311

Løys likninga $4\sin x - 2 = 0$ .

✏️Eksempel 13: Likning med sin x = 0

Løys likninga $\sin x = 0$ i intervallet $[-2\pi, 2\pi]$ .

Løysing av $\sin x = 0$ :
Sinusfunksjonen er null når

x

er eit heiltalsmultiplum av

\pi

x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}

I intervallet $[-2\pi, 2\pi]$ :
- $n = -2$ : $x = -2\pi$
- $n = -1$ : $x = -\pi$
- $n = 0$ : $x = 0$
- $n = 1$ : $x = \pi$
- $n = 2$ : $x = 2\pi$

Svar: $x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi$ (5 løysingar).

📝Oppgave 4.312

Løys likninga $\sin(2x) = 0$ i intervallet $[0, 2\pi\rangle$ .

Praktiske bruksområde

Sinuslikningar dukkar opp i mange praktiske situasjonar der vi modellerer periodiske fenomen. Her er nokre typiske eksempel.

✏️Eksempel 14: Tidvatn

Vasstanden i ei hamn kan modellerast med funksjonen

h(t) = 2 + 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)

der

h

er vassdjupna i meter og

t

er tida i timar etter midnatt.

a) Når er vasstanden nøyaktig 2,75 meter i løpet av det første døgnet?
b) I kva tidsperiodar er vasstanden over 3 meter?

a) Finn når $h(t) = 2{,}75$ :

2 + 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 2{,}75

\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 0{,}5

Set $\displaystyle u = \frac{\pi}{6}t$ :
$\sin u = 0{,}5 \Rightarrow u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \text{ eller } u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Løys for $t$ :
$t = \frac{6u}{\pi} = 1 + 12n \text{ eller } t = 5 + 12n$

I det første døgnet ( $0 \leq t < 24$ ):
- $t = 1$ time (kl. 01:00)
- $t = 5$ timar (kl. 05:00)
- $t = 13$ timar (kl. 13:00)
- $t = 17$ timar (kl. 17:00)

Svar a): Vasstanden er 2,75 m kl. 01:00, 05:00, 13:00 og 17:00.

b) Finn når $h(t) > 3$ :
$2 + 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > 3$
$\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > \frac{2}{3}$

$\displaystyle \sin^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 0{,}7297$ rad.
Sinusfunksjonen er større enn $\displaystyle \frac{2}{3}$ når:
$0{,}7297 + 2\pi n < \frac{\pi}{6}t < (\pi - 0{,}7297) + 2\pi n$

$\frac{6 \cdot 0{,}7297}{\pi} + 12n < t < \frac{6(\pi - 0{,}7297)}{\pi} + 12n$

For $n = 0$ : $1{,}39 < t < 4{,}61$

For $n = 1$ : $13{,}39 < t < 16{,}61$

Svar b): Vasstanden er over 3 meter frå ca. kl. 01:24 til 04:36 og frå ca. kl. 13:24 til 16:36.

📝Oppgave 4.313

Temperaturen i eit rom varierer gjennom døgnet og kan skildrast med

T(t) = 20 + 3\sin\left(\frac{\pi}{12}(t - 6)\right)

der

T

er temperaturen i grader Celsius og

t

er tida i timar etter midnatt.

Når i løpet av døgnet er temperaturen nøyaktig 21,5 grader?

✏️Eksempel 15: Fjørpendel

Ein fjørpendel bevegar seg opp og ned i samsvar med formelen

s(t) = 4\sin(\pi t)

der

s

er posisjonen i cm frå likevektspunktet og

t

er tida i sekund.

a) Når er fjørpendelen nøyaktig 2 cm over likevektspunktet i dei første 3 sekunda?
b) Kor ofte kryssar fjørpendelen likevektspunktet?

a) Finn når $s(t) = 2$ :

4\sin(\pi t) = 2

\sin(\pi t) = \frac{1}{2}

Set $u = \pi t$ :
$u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \text{ eller } u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$t = \frac{1}{6} + 2n \text{ eller } t = \frac{5}{6} + 2n$

I dei første 3 sekunda ( $0 \leq t \leq 3$ ):
- $\displaystyle t = \frac{1}{6} \approx 0{,}17$ s
- $\displaystyle t = \frac{5}{6} \approx 0{,}83$ s
- $\displaystyle t = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6} \approx 2{,}17$ s
- $\displaystyle t = \frac{5}{6} + 2 = \frac{17}{6} \approx 2{,}83$ s

Svar a): $\displaystyle t = \frac{1}{6}$ s, $\displaystyle t = \frac{5}{6}$ s, $\displaystyle t = \frac{13}{6}$ s og $\displaystyle t = \frac{17}{6}$ s.

b) Kryssing av likevektspunktet:
$s(t) = 0$ når $\sin(\pi t) = 0$ , altså $\pi t = n\pi$ , dvs. $t = n$ sekund.

Svar b): Fjørpendelen kryssar likevektspunktet kvart sekund (ved $t = 0, 1, 2, 3, \ldots$ ).

📝Oppgave 4.314

Ein pendel svingar slik at vinkelen frå vertikalen er gitt ved

\theta(t) = 15\sin(2\pi t)

der

\theta

er vinkelen i grader og

t

er tida i sekund.

a) Når passerer pendelen gjennom stillinga $\theta = 7{,}5$ grader for første gong?
b) Kor ofte står pendelen vertikalt ( $\theta = 0$ )?

✏️Eksempel 16: Lydbølgje

Ei lydbølgje blir skildra av funksjonen

p(t) = 0{,}02\sin(880\pi t)

der

p

er trykket i pascal og

t

er tida i sekund. Dette svarar til tonen A4 (kammertonen).

Kor mange gonger per sekund er trykket nøyaktig null?

Finn når $p(t) = 0$ :

\sin(880\pi t) = 0

880\pi t = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}

t = \frac{n}{880}

Tal på nullpunkt per sekund:
For $t \in [0, 1]$ får vi $n = 0, 1, 2, ..., 880$ .
Det gir 881 nullpunkt (inkludert begge endepunkta).

Viss vi tel tal på gonger trykket passerer gjennom null (ikkje inkludert $t = 0$ ), får vi 880 passeringar per sekund.

Merk: Frekvensen til lyden er $\displaystyle \frac{880}{2} = 440$ Hz, som er kammertonen A4.

Svar: Trykket er null 880 gonger per sekund (kvart $\displaystyle \frac{1}{880}$ sekund).

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Løysbarheit: $\sin x = a$ har løysingar berre når $-1 \leq a \leq 1$ .
- Generell løysing: Dersom $\sin v = a$ , er $x = v + 2\pi n$ eller $x = \pi - v + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .
- Likningar med samansett argument: For $\sin(kx + c) = a$ løyser du først for $kx + c$ , deretter for $x$ . Perioden blir $\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}$ .
- Løysingar i intervall: Set inn heiltalsverdiar av $n$ og behald løysingane som ligg i intervallet.
- Praktisk bruk: Periodiske fenomen som tidvatn og temperatur blir modellerte med sinusfunksjonar, og likningar gir tidspunkta for gitte verdiar.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Sinuslikning	Likning på forma $\sin x = a$
Generell løysing	Alle løysingar, uttrykte med $n \in \mathbb{Z}$
Referanseløysing	$v = \sin^{-1} a$
Periode	$2\pi$ for $\sin x$ , $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ for $\sin(kx)$

Viktige formlar

\sin x = a \Rightarrow x = v + 2\pi n \ \lor\ x = \pi - v + 2\pi n

, der

\sin v = a

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Oppgaver

Lett3 oppgaver

4.315

4.316

4.317

Medium7 oppgaver

4.318

4.319

4.320

4.321

4.322

4.326

4.329

Vanskelig6 oppgaver

4.323

4.324

4.325

4.327

4.328

4.330

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Sinuslikningar

Spesielle verdiar

Løysingar i eit bestemt intervall

Grafisk tolking

Utforsk sinuslikningar grafisk

Samansette sinuslikningar: sin⁡(kx+c)=a\sin(kx + c) = asin(kx+c)=a

Fleire teknikkar

Praktiske bruksområde

Oppsummering

Nøkkelomgrep

Viktige formlar

Oppgaver

Samansette sinuslikningar: $\sin(kx + c) = a$