Tilbake
4.3
Sinuslikninger

4.3 Sinuslikninger

Alle fag for VG3

Løse likninger med sinus.

55 min
35 oppgaver
SinuslikningGenerell løsningPeriodisitet
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 35 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Sinuslikningar

Sinuslikningar er likningar der den ukjende xx står som argument i ein sinusfunksjon. Slike likningar dukkar opp i mange praktiske samanhengar, som bølgjefenomen, periodiske svingingar og lydanalyse.

Kva skal vi lære?
- Løyse grunnleggjande likningar av typen sin⁡x=a\sin x = a
- Finne den generelle løysinga med n∈Zn \in \mathbb{Z}
- Løyse meir samansette likningar som sin⁡(kx+c)=a\sin(kx + c) = a
- Tolke løysingane grafisk
- Finne talet på løysingar i eit gitt intervall
- Bruke sinuslikningar på praktiske problem

Kvifor er dette viktig?
Sinusfunksjonen skildrar periodiske fenomen overalt i naturen: havbølgjer, lydbølgjer, vekselstraum, pendelrørsler og mykje meir. Å kunne løyse sinuslikningar er difor essensielt for å forstå og modellere slike fenomen.

Sinuslikning av typen sin(x) = a

Ei sinuslikning er ei likning på forma sin⁡x=a\sin x = a der aa er ein konstant.

Løysbarheit: Likninga sin⁡x=a\sin x = a har løysing viss og berre viss −1≤a≤1-1 \leq a \leq 1.

Viss ∣a∣>1|a| > 1, har likninga inga løysing sidan sinusfunksjonen berre tek verdiar i intervallet [−1,1][-1, 1].

Spesielle verdiar

Nokre sinusverdiar bør du kunne utanåt:

xx00π6\displaystyle \frac{\pi}{6}π4\displaystyle \frac{\pi}{4}π3\displaystyle \frac{\pi}{3}π2\displaystyle \frac{\pi}{2}π\pi3π2\displaystyle \frac{3\pi}{2}2π2\pi
sin⁡x\sin x0012\displaystyle \frac{1}{2}22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}1100−1-100

Desse verdiane følgjer frå einingssirkelen og dei likesida trekantane du kjenner frå R1.
📜Generell løysing av sin(x) = a
Viss −1≤a≤1-1 \leq a \leq 1 og sin⁡v=a\sin v = a for ein vinkel vv, så har likninga sin⁡x=a\sin x = a den generelle løysinga:

x=v+2πnellerx=π−v+2πn,n∈Zx = v + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - v + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Dette kan òg skrivast som:
x=v+2πnogx=(π−v)+2πn,n∈Zx = v + 2\pi n \quad \text{og} \quad x = (\pi - v) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Forklaring: Sinusfunksjonen har periode 2π2\pi, og for kvar verdi aa (unnateke ±1\pm 1) finst det to vinklar i [0,2π)[0, 2\pi) med same sinusverdi. Desse ligg symmetrisk om π2\displaystyle \frac{\pi}{2}.

✏️Eksempel 1: Grunnleggjande sinuslikning

Løys likninga sin⁡x=12\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}.

Steg 1: Sjekk løysbarheit.
12\displaystyle \frac{1}{2} ligg mellom −1-1 og 11, så likninga har løysing.

Steg 2: Finn ein vinkel vv slik at sin⁡v=12\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}.
Frå tabellen veit vi at sin⁡π6=12\displaystyle \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, så v=π6\displaystyle v = \frac{\pi}{6}.

Steg 3: Skriv opp den generelle løysinga.
x=π6+2πnellerx=π−π6+2πnx = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n
x=π6+2πnellerx=5π6+2πn,n∈Zx = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Svar: x=π6+2πn\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n eller x=5π6+2πn\displaystyle x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n der n∈Zn \in \mathbb{Z}.

📝Oppgave 4.31

Løys likninga sin⁡x=32\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} og oppgi den generelle løysinga.

✏️Eksempel 2: Negativ sinusverdi

Løys likninga sin⁡x=−22\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Steg 1: Sjekk løysbarheit.
−22≈−0.707\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 ligg mellom −1-1 og 11. \checkmark

Steg 2: Finn ein vinkel vv slik at sin⁡v=−22\displaystyle \sin v = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Vi veit at sin⁡π4=22\displaystyle \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Sidan vi treng ein negativ verdi, bruker vi v=−π4\displaystyle v = -\frac{\pi}{4}.

Steg 3: Skriv opp den generelle løysinga.
x=−π4+2πnellerx=π−(−π4)+2πnx = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n
x=−π4+2πnellerx=5π4+2πn,n∈Zx = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Alternativ form: Vi kan òg skrive løysingane som:
x=7π4+2πnellerx=5π4+2πn,n∈Zx = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

📝Oppgave 4.32

Løys likninga sin⁡x=−12\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2} og oppgi den generelle løysinga.

✏️Eksempel 3: Ekstremverdiar

Løys likninga sin⁡x=1\sin x = 1.

Steg 1: Sjekk løysbarheit.
11 er maksimalverdien til sinusfunksjonen, så likninga har løysing.

Steg 2: Finn vinkelen.
sin⁡x=1\sin x = 1 berre når x=π2\displaystyle x = \frac{\pi}{2}.

Steg 3: Generell løysing.
Sidan dette er ein ekstremverdi, får vi berre éi løysingsgrein:
x=π2+2πn,n∈Zx = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Merk: Ved a=1a = 1 fell dei to løysingsgreinene saman fordi π−π2=π2\displaystyle \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.

📝Oppgave 4.33

Løys likninga sin⁡x=−1\sin x = -1.

✏️Eksempel 4: Inga løysing

Løys likninga sin⁡x=2\sin x = 2.

Steg 1: Sjekk løysbarheit.
2>12 > 1, så verdien ligg utanfor verdiområdet til sinusfunksjonen.

Konklusjon: Likninga har inga løysing sidan sin⁡x∈[−1,1]\sin x \in [-1, 1] for alle xx.

Løysingar i eit bestemt intervall

Ofte blir vi bedne om å finne alle løysingar i eit gitt intervall, til dømes [0,2π)[0, 2\pi) eller [−π,π][-\pi, \pi].

Framgangsmåte:
1. Finn den generelle løysinga
2. Set inn ulike verdiar for nn (n=0,±1,±2,...n = 0, \pm 1, \pm 2, ...)
3. Behald berre dei løysingane som ligg i det oppgitte intervallet

✏️Eksempel 5: Løysingar i [0, 2pi)

Finn alle løysingar av sin⁡x=22\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} i intervallet [0,2π)[0, 2\pi).

Steg 1: Finn den generelle løysinga.
Vi veit at sin⁡π4=22\displaystyle \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
x=π4+2πnellerx=3π4+2πn,n∈Zx = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Steg 2: Finn løysingar i [0,2π)[0, 2\pi).

For x=π4+2πn\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n:
- n=0n = 0: x=π4≈0.79\displaystyle x = \frac{\pi}{4} \approx 0.79 \checkmark (i intervallet)
- n=1n = 1: x=π4+2π≈7.07\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi \approx 7.07 (utanfor)
- n=−1n = -1: x=π4−2π≈−5.50\displaystyle x = \frac{\pi}{4} - 2\pi \approx -5.50 (utanfor)

For x=3π4+2πn\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n:
- n=0n = 0: x=3π4≈2.36\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} \approx 2.36 \checkmark (i intervallet)
- n=1n = 1: x=3π4+2π≈8.64\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \approx 8.64 (utanfor)
- n=−1n = -1: x=3π4−2π≈−3.93\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi \approx -3.93 (utanfor)

Svar: x=π4\displaystyle x = \frac{\pi}{4} og x=3π4\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}

📝Oppgave 4.34

Finn alle løysingar av sin⁡x=12\displaystyle \sin x = \frac{1}{2} i intervallet [0,2π)[0, 2\pi).

✏️Eksempel 6: Løysingar i [-pi, pi]

Finn alle løysingar av sin⁡x=−32\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} i intervallet [−π,π][-\pi, \pi].

Steg 1: Finn den generelle løysinga.
Vi bruker v=−π3\displaystyle v = -\frac{\pi}{3} sidan sin⁡(−π3)=−32\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
x=−π3+2πnellerx=π−(−π3)+2πn=4π3+2πnx = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n

Steg 2: Finn løysingar i [−π,π][-\pi, \pi].

For x=−π3+2πn\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n:
- n=0n = 0: x=−π3≈−1.05\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} \approx -1.05 \checkmark

For x=4π3+2πn\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n:
- n=0n = 0: x=4π3≈4.19\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19 (utanfor, >π> \pi)
- n=−1n = -1: x=4π3−2π=−2π3≈−2.09\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} \approx -2.09 \checkmark

Svar: x=−π3\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} og x=−2π3\displaystyle x = -\frac{2\pi}{3}

📝Oppgave 4.35

Finn alle løysingar av sin⁡x=−22\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} i intervallet [−π,π][-\pi, \pi].

Grafisk tolking

Å løyse sin⁡x=a\sin x = a grafisk tyder å finne skjeringspunkta mellom grafen til y=sin⁡xy = \sin x og den horisontale linja y=ay = a.

Viktige observasjonar:
- Sinusgrafen svingar mellom −1-1 og 11 med periode 2π2\pi
- For −1<a<1-1 < a < 1 skjer linja y=ay = a sinusgrafen to gonger per periode
- For a=±1a = \pm 1 skjer linja sinusgrafen éin gong per periode (i topp/botnpunkta)
- For ∣a∣>1|a| > 1 skjer linja aldri sinusgrafen

Denne grafiske forståinga hjelper oss å:
1. Raskt avgjere om ei likning har løysing
2. Finne talet på løysingar i eit gitt intervall
3. Estimere løysingane visuelt

📊Utforsk sinuslikningar grafisk

Dra glidaren for å endre verdien av aa og sjå kvar linja y=ay = a skjer sinusgrafen.

✏️Eksempel 7: Talet på løysingar grafisk

Kor mange løysingar har likninga sin⁡x=0.3\sin x = 0.3 i intervallet [0,4π][0, 4\pi]?

Grafisk resonnement:
Linja y=0.3y = 0.3 skjer sinusgrafen to gonger per periode (2π2\pi).

Intervallet [0,4π][0, 4\pi] inneheld 4π2π=2\displaystyle \frac{4\pi}{2\pi} = 2 fulle periodar.

Talet på løysingar: 2×2=42 \times 2 = 4 løysingar.

Verifisering med rekning:
sin⁡−1(0.3)≈0.305\sin^{-1}(0.3) \approx 0.305 radianar.
Løysingane er omtrent:
- x≈0.305x \approx 0.305 (1. periode, stigande)
- x≈π−0.305≈2.837x \approx \pi - 0.305 \approx 2.837 (1. periode, søkkjande)
- x≈0.305+2π≈6.588x \approx 0.305 + 2\pi \approx 6.588 (2. periode, stigande)
- x≈2.837+2π≈9.120x \approx 2.837 + 2\pi \approx 9.120 (2. periode, søkkjande)

Alle fire ligg i [0,4π]≈[0,12.57][0, 4\pi] \approx [0, 12.57].

📝Oppgave 4.36

Kor mange løysingar har likninga sin⁡x=0.7\sin x = 0.7 i intervallet [0,6π][0, 6\pi]?

📜Talet på løysingar i eit intervall

For likninga sin⁡x=a\sin x = a der −1<a<1-1 < a < 1:

I eit intervall som inneheld nn fulle periodar (lengd 2πn2\pi n), er talet på løysingar lik 2n2n.

Spesialtilfelle:
- Viss a=1a = 1 eller a=−1a = -1: nn løysingar
- Viss ∣a∣>1|a| > 1: 00 løysingar

Merk: For intervall som ikkje inneheld heile periodar, må ein telje meir nøyaktig ved å finne dei eksakte løysingane.

Samansette sinuslikningar: sin⁡(kx+c)=a\sin(kx + c) = a

Når sinusfunksjonen har eit meir komplisert argument, som sin⁡(2x+π3)\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3}) eller sin⁡(3x−1)\sin(3x - 1), bruker vi substitusjon.

Strategi:
1. Set u=kx+cu = kx + c (det indre uttrykket)
2. Løys sin⁡u=a\sin u = a for uu
3. Løys for xx frå u=kx+cu = kx + c

Viktig: Hugs at perioden til sin⁡(kx)\sin(kx) er 2π∣k∣\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}, ikkje 2π2\pi!

✏️Eksempel 8: Likning med dobbelt argument

Løys likninga sin⁡(2x)=32\displaystyle \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Steg 1: Set u=2xu = 2x.
Likninga blir sin⁡u=32\displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Steg 2: Løys for uu.
u=π3+2πnelleru=2π3+2πnu = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n

Steg 3: Løys for xx.
Frå u=2xu = 2x får vi x=u2\displaystyle x = \frac{u}{2}:
x=π6+πnellerx=π3+πn,n∈Zx = \frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Merk: Perioden er halvert frå 2π2\pi til π\pi fordi koeffisienten framføre xx er 22.

📝Oppgave 4.37

Løys likninga sin⁡(3x)=12\displaystyle \sin(3x) = \frac{1}{2}.

✏️Eksempel 9: Likning med faseforskyving

Løys likninga sin⁡(x−π4)=22\displaystyle \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Steg 1: Set u=x−π4\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}.
Likninga blir sin⁡u=22\displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Steg 2: Løys for uu.
u=π4+2πnelleru=3π4+2πnu = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n

Steg 3: Løys for xx frå u=x−π4\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}, altså x=u+π4\displaystyle x = u + \frac{\pi}{4}:
x=π4+π4+2πn=π2+2πnx = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
x=3π4+π4+2πn=π+2πnx = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n

Svar: x=π2+2πn\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n eller x=π+2πnx = \pi + 2\pi n der n∈Zn \in \mathbb{Z}.

📝Oppgave 4.38

Løys likninga sin⁡(x+π6)=12\displaystyle \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}.

✏️Eksempel 10: Generell samansetjing

Løys likninga sin⁡(2x+π3)=−12\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}.

Steg 1: Set u=2x+π3\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}.
Likninga blir sin⁡u=−12\displaystyle \sin u = -\frac{1}{2}.

Steg 2: Løys for uu.
Vi bruker sin⁡(−π6)=−12\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}:
u=−π6+2πnelleru=π−(−π6)+2πn=7π6+2πnu = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n

Steg 3: Løys for xx frå 2x+π3=u\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = u:
2x=u−π32x = u - \frac{\pi}{3}
x=u2−π6x = \frac{u}{2} - \frac{\pi}{6}

For u=−π6+2πn\displaystyle u = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n:
x=−π6+2πn2−π6=−π12+πn−π6=−π4+πnx = \frac{-\frac{\pi}{6} + 2\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{12} + \pi n - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n

For u=7π6+2πn\displaystyle u = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n:
x=7π6+2πn2−π6=7π12+πn−π6=5π12+πnx = \frac{\frac{7\pi}{6} + 2\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{12} + \pi n - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12} + \pi n

Svar: x=−π4+πn\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + \pi n eller x=5π12+πn\displaystyle x = \frac{5\pi}{12} + \pi n der n∈Zn \in \mathbb{Z}.

📝Oppgave 4.39

Løys likninga sin⁡(3x−π4)=22\displaystyle \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} og finn alle løysingar i [0,2π)[0, 2\pi).

Fleire teknikkar

Nokre sinuslikningar krev ekstra manipulasjon før dei kan løysast. Her ser vi på nokre vanlege situasjonar.

✏️Eksempel 11: Likning med kalkulator

Løys likninga sin⁡x=0.4\sin x = 0.4 og finn alle løysingar i [0,2π)[0, 2\pi). Oppgi svara med tre desimalar.

Steg 1: Bruk kalkulator til å finne arcsin.
v=sin⁡−1(0.4)≈0.412v = \sin^{-1}(0.4) \approx 0.412 radianar.

Steg 2: Den generelle løysinga er:
x≈0.412+2πnellerx≈π−0.412+2πn≈2.730+2πnx \approx 0.412 + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x \approx \pi - 0.412 + 2\pi n \approx 2.730 + 2\pi n

Steg 3: I [0,2π)[0, 2\pi):
- x≈0.412x \approx 0.412
- x≈2.730x \approx 2.730

Svar: x≈0.412x \approx 0.412 og x≈2.730x \approx 2.730.

📝Oppgave 4.310

Løys likninga sin⁡x=0.6\sin x = 0.6 og finn alle løysingar i [0,2π)[0, 2\pi). Oppgi svara med tre desimalar.

✏️Eksempel 12: Likning som krev omforming

Løys likninga 2sin⁡x+1=02\sin x + 1 = 0.

Steg 1: Isoler sinusleddet.
2sin⁡x=−12\sin x = -1
sin⁡x=−12\sin x = -\frac{1}{2}

Steg 2: Løys den enkle sinuslikninga.
Vi veit at sin⁡(−π6)=−12\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}.
x=−π6+2πnellerx=7π6+2πnx = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n

Alternativ form: x=11π6+2πn\displaystyle x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n eller x=7π6+2πn\displaystyle x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n der n∈Zn \in \mathbb{Z}.

📝Oppgave 4.311

Løys likninga 4sin⁡x−2=04\sin x - 2 = 0.

✏️Eksempel 13: Likning med sin x = 0

Løys likninga sin⁡x=0\sin x = 0 i intervallet [−2π,2π][-2\pi, 2\pi].

Løysing av sin⁡x=0\sin x = 0:
Sinusfunksjonen er null når xx er eit heiltalsmultiplum av π\pi:
x=nπ,n∈Zx = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}

I intervallet [−2π,2π][-2\pi, 2\pi]:
- n=−2n = -2: x=−2πx = -2\pi
- n=−1n = -1: x=−πx = -\pi
- n=0n = 0: x=0x = 0
- n=1n = 1: x=πx = \pi
- n=2n = 2: x=2πx = 2\pi

Svar: x=−2π,−π,0,π,2πx = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi (5 løysingar).

📝Oppgave 4.312

Løys likninga sin⁡(2x)=0\sin(2x) = 0 i intervallet [0,2π)[0, 2\pi).

Praktiske bruksområde

Sinuslikningar dukkar opp i mange praktiske situasjonar der vi modellerer periodiske fenomen. Her er nokre typiske eksempel.

✏️Eksempel 14: Tidvatn
Vasstanden i ei hamn kan modellerast med funksjonen
h(t)=2+1.5sin⁡(π6t)h(t) = 2 + 1.5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)
der hh er vassdjupna i meter og tt er tida i timar etter midnatt.

a) Når er vasstanden nøyaktig 2.75 meter i løpet av det første døgnet?
b) I kva tidsperiodar er vasstanden over 3 meter?

a) Finn når h(t)=2.75h(t) = 2.75:
2+1.5sin⁡(π6t)=2.752 + 1.5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 2.75
sin⁡(π6t)=0.5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 0.5

Set u=π6t\displaystyle u = \frac{\pi}{6}t:
sin⁡u=0.5⇒u=π6+2πn eller u=5π6+2πn\sin u = 0.5 \Rightarrow u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \text{ eller } u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n

Løys for tt:
t=6uπ=1+12n eller t=5+12nt = \frac{6u}{\pi} = 1 + 12n \text{ eller } t = 5 + 12n

I det første døgnet (0≤t<240 \leq t < 24):
- t=1t = 1 time (kl. 01:00)
- t=5t = 5 timar (kl. 05:00)
- t=13t = 13 timar (kl. 13:00)
- t=17t = 17 timar (kl. 17:00)

b) Finn når h(t)>3h(t) > 3:
2+1.5sin⁡(π6t)>32 + 1.5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > 3
sin⁡(π6t)>23\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > \frac{2}{3}

sin⁡−1(23)≈0.7297\displaystyle \sin^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 0.7297 rad.
Sinusfunksjonen er større enn 23\displaystyle \frac{2}{3} når:
0.7297+2πn<π6t<(π−0.7297)+2πn0.7297 + 2\pi n < \frac{\pi}{6}t < (\pi - 0.7297) + 2\pi n

For n=0n = 0: 1.4<t<5.61.4 < t < 5.6 timar
For n=1n = 1: 13.4<t<17.613.4 < t < 17.6 timar

Svar: Vasstanden er over 3 meter mellom ca. kl. 01:24-05:36 og kl. 13:24-17:36.

📝Oppgave 4.313
Temperaturen i eit rom varierer gjennom døgnet og kan skildrast med
T(t)=20+3sin⁡(π12(t−6))T(t) = 20 + 3\sin\left(\frac{\pi}{12}(t - 6)\right)
der TT er temperaturen i grader Celsius og tt er tida i timar etter midnatt.

Når i løpet av døgnet er temperaturen nøyaktig 21.5 grader?

✏️Eksempel 15: Fjørarm
Ein fjørarm rører seg opp og ned i samsvar med formelen
s(t)=4sin⁡(πt)s(t) = 4\sin(\pi t)
der ss er posisjonen i cm frå likevektspunktet og tt er tida i sekund.

a) Når er fjørarmen nøyaktig 2 cm over likevektspunktet i dei første 3 sekunda?
b) Kor ofte kryssar fjørarmen likevektspunktet?

a) Finn når s(t)=2s(t) = 2:
4sin⁡(πt)=24\sin(\pi t) = 2
sin⁡(πt)=12\sin(\pi t) = \frac{1}{2}

Set u=πtu = \pi t:
u=π6+2πn eller u=5π6+2πnu = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \text{ eller } u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n
t=16+2n eller t=56+2nt = \frac{1}{6} + 2n \text{ eller } t = \frac{5}{6} + 2n

I dei første 3 sekunda (0≤t≤30 \leq t \leq 3):
- t=16≈0.17\displaystyle t = \frac{1}{6} \approx 0.17 s
- t=56≈0.83\displaystyle t = \frac{5}{6} \approx 0.83 s
- t=16+2=136≈2.17\displaystyle t = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6} \approx 2.17 s
- t=56+2=176≈2.83\displaystyle t = \frac{5}{6} + 2 = \frac{17}{6} \approx 2.83 s

b) Kryssing av likevektspunktet:
s(t)=0s(t) = 0 når sin⁡(πt)=0\sin(\pi t) = 0, altså πt=nπ\pi t = n\pi, dvs. t=nt = n sekund.

Fjørarmen kryssar likevektspunktet kvart sekund (ved t=0,1,2,3,...t = 0, 1, 2, 3, ...).

📝Oppgave 4.314
Ein pendel svingar slik at vinkelen frå vertikalen er gitt ved
θ(t)=15sin⁡(2πt)\theta(t) = 15\sin(2\pi t)
der θ\theta er vinkelen i grader og tt er tida i sekund.

a) Når passerer pendelen gjennom stillinga θ=7.5\theta = 7.5 grader for første gong?
b) Kor ofte står pendelen vertikalt (θ=0\theta = 0)?

✏️Eksempel 16: Lydbølgje
Ei lydbølgje blir skildra av funksjonen
p(t)=0.02sin⁡(880πt)p(t) = 0.02\sin(880\pi t)
der pp er trykket i pascal og tt er tida i sekund. Dette svarar til tonen A4 (kammertonen).

Kor mange gonger per sekund er trykket nøyaktig null?

Finn når p(t)=0p(t) = 0:
sin⁡(880πt)=0\sin(880\pi t) = 0
880πt=nπ,n∈Z880\pi t = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
t=n880t = \frac{n}{880}

Talet på nullpunkt per sekund:
For t∈[0,1]t \in [0, 1] får vi n=0,1,2,...,880n = 0, 1, 2, ..., 880.
Det gir 881 nullpunkt (inkludert begge endepunkta).

Viss vi tel talet på gonger trykket passerer gjennom null (ikkje inkludert t=0t = 0), får vi 880 passeringar per sekund.

Merk: Frekvensen til lyden er 8802=440\displaystyle \frac{880}{2} = 440 Hz, som er kammertonen A4.

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Løysbarheit: sin⁡x=a\sin x = a har løysingar berre når −1≤a≤1-1 \leq a \leq 1.
- Generell løysing: Viss sin⁡v=a\sin v = a, er x=v+2πnx = v + 2\pi n eller x=π−v+2πnx = \pi - v + 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
- Likningar med samansett argument: For sin⁡(kx+c)=a\sin(kx + c) = a løyser du først for kx+ckx + c, deretter for xx. Perioden blir 2πk\displaystyle \frac{2\pi}{k}.
- Løysingar i intervall: Set inn heiltalsverdiar av nn og behald løysingane som ligg i intervallet.
- Praktisk bruk: Periodiske fenomen som tidvatn og temperatur blir modellerte med sinusfunksjonar, og likningar gir tidspunkta for gitte verdiar.

Nøkkelomgrep


OmgrepForklaring
SinuslikningLikning på forma sin⁡x=a\sin x = a
Generell løysingAlle løysingar, uttrykt med n∈Zn \in \mathbb{Z}
Referanseløysingv=arcsin⁡av = \arcsin a
Periode2π2\pi for sin⁡x\sin x, 2πk\displaystyle \frac{2\pi}{k} for sin⁡(kx)\sin(kx)

Viktige formlar


- sin⁡x=a⇒x=v+2πn ∨ x=π−v+2πn\sin x = a \Rightarrow x = v + 2\pi n \ \lor\ x = \pi - v + 2\pi n, der sin⁡v=a\sin v = a
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Oppgaver

Lett3 oppgaver
4.315
4.316
4.317
Medium7 oppgaver
4.318
4.319
4.320
4.321
4.322
4.326
4.329
Vanskelig6 oppgaver
4.323
4.324
4.325
4.327
4.328
4.330

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.