4.1 Radianer og vinkelmål | Matematikk R2

Sammenhengen mellom grader og radianer.

45 min

35 oppgaver

RadianerGraderBuelengdeEnhetssirkelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 35 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

4.2Enhetssirkelen og trigonometriske definisjoner

Kvifor radianar?

Til no har du mest sannsynleg brukt grader som vinkelmål. Ei heil omdreiing er $360°$ , ein rett vinkel er $90°$ , og så vidare. Men i høgare matematikk, særleg i kalkulus og trigonometri, er det mykje meir praktisk å bruke eit anna vinkelmål: radianar.

Radianar gjer mange formlar enklare og meir elegante. Til dømes vert derivasjon av trigonometriske funksjonar mykje penare når vi bruker radianar. I dette kapittelet skal vi lære:

- Kva ein radian er
- Korleis vi reknar om mellom grader og radianar
- Viktige vinklar uttrykte i radianar
- Formlar for boglengd og sektorareal
- Einingssirkelen

Radian

s

Intuisjon bak radianar

Tenk deg at du har ein sirkel med radius $r$ . Dersom du "rullar ut" ein bog langs sirkelen som er nøyaktig like lang som radien, så er vinkelen denne bogen spenner over nøyaktig 1 radian.

Sidan omkrinsen til ein sirkel er $2\pi r$ , får vi plass til nøyaktig $2\pi$ slike bogar rundt heile sirkelen. Difor er ei heil omdreiing lik $2\pi$ radianar.

Ein radian er omtrent $57{,}3°$ (meir presist: $\displaystyle \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}2958°$ ).

📊Utforsk: Éin radian på einingssirkelen

Vinkelen på 1 radian spenner over ein sirkelbog som er nøyaktig like lang som radien. Punktet $B = (\cos 1, \sin 1)$ ligg der bogen frå $A$ har lengd 1. Heile omkrinsen svarar til $2\pi$ radianar.

📜Omrekning mellom grader og radianar

Sidan

360° = 2\pi

radianar, har vi:

$180° = \pi \text{ radianar}$

Frå grader til radianar:
$v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

Frå radianar til grader:
$v_{\text{grad}} = v_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}$

Hugseregel: For å gå frå grader til radianar, gangar du med

\displaystyle \frac{\pi}{180}

. For å gå motsett veg, gangar du med

\displaystyle \frac{180}{\pi}

Du kan òg tenkje på det slik: $\pi$ radianar = $180°$ , så brøken $\displaystyle \frac{\pi}{180}$ gjev deg "radianar per grad".

✏️Døme 1: Omrekning frå grader til radianar

Skriv om desse vinklane frå grader til radianar. Gjev eksakt svar.

a) $90°$
b) $45°$
c) $60°$
d) $30°$
e) $120°$

Løysing:

Vi bruker formelen $\displaystyle v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

a) $\displaystyle 90° = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$

b) $\displaystyle 45° = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$

c) $\displaystyle 60° = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$

d) $\displaystyle 30° = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$

e) $\displaystyle 120° = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$

✏️Døme 2: Omrekning frå radianar til grader

Skriv om desse vinklane frå radianar til grader.

a) $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
b) $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$
c) $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$
d) $2\pi$
e) $\displaystyle \frac{7\pi}{4}$

Løysing:

Vi bruker formelen $\displaystyle v_{\text{grad}} = v_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}$

a) $\displaystyle \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{180}{2} = 90°$

b) $\displaystyle \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{3 \cdot 180}{4} = \frac{540}{4} = 135°$

c) $\displaystyle \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{5 \cdot 180}{6} = \frac{900}{6} = 150°$

d) $\displaystyle 2\pi = 2\pi \cdot \frac{180}{\pi} = 2 \cdot 180 = 360°$

e) $\displaystyle \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{7 \cdot 180}{4} = \frac{1260}{4} = 315°$

Viktige vinklar i radianar

Det er nokre vinklar du bør kunne utanåt. Desse dukkar opp att og att i matematikk og fysikk.

Grader	Radianar
$0°$	$0$
$30°$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$
$45°$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
$60°$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$
$90°$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$120°$	$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$
$135°$	$\displaystyle \frac{3\pi}{4}$
$150°$	$\displaystyle \frac{5\pi}{6}$
$180°$	$\pi$
$270°$	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$
$360°$	$2\pi$

Korleis hugse desse?

- $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ svarar til $30°$ , $45°$ , $60°$ , $90°$
- Nemnarane søkk: $6, 4, 3, 2$ medan vinklane i grader aukar
- $\pi = 180°$ er ei halv omdreiing
- $2\pi = 360°$ er ei heil omdreiing

Vinklar i andre kvadrantar kan du finne ved å bruke symmetri. Til dømes er $120° = 180° - 60°$ , så $\displaystyle \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ .

📝Oppgave 4.1.1

Skriv om frå grader til radianar. Gjev eksakt svar.

180°

270°

150°

225°

315°

540°

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.2

Skriv om frå radianar til grader.

\displaystyle \frac{\pi}{3}

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

\displaystyle \frac{5\pi}{4}

\displaystyle \frac{11\pi}{6}

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

5\pi

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 3: Desimaltal til eksakt form

Skriv $1{,}5\pi$ radianar i grader, og skriv $72°$ i radianar på eksakt form.

Løysing:

$1{,}5\pi$ til grader:
$1{,}5\pi = \frac{3\pi}{2}$
$\frac{3\pi}{2} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{3 \cdot 180}{2} = \frac{540}{2} = 270°$

$72°$ til radianar:
$72° = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{72\pi}{180}$

Vi forkortar med $\gcd(72, 180) = 36$ :
$\frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$

Så $\displaystyle 72° = \frac{2\pi}{5}$ radianar.

Boglengd

Når vi har definert radianar som $\displaystyle v = \frac{s}{r}$ , kan vi enkelt løyse denne for boglengda $s$ .

📜Formel for boglengd

Boglengda

s

i ein sirkelbog med radius

r

og sentralvinkel

v

(i radianar) er gjeven ved:

$s = r \cdot v$

Dersom vinkelen er oppgjeven i grader, må vi først rekne om til radianar:

$s = r \cdot v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi r v_{\text{grad}}}{180}$

Legg merke til kor enkel formelen $s = rv$ er når vinkelen er i radianar. Dette er ein av grunnane til at radianar er så nyttige i matematikken.

✏️Døme 4: Boglengd med radian

Ein sirkelbog har radius $r = 8$ cm og sentralvinkel $\displaystyle v = \frac{3\pi}{4}$ radianar. Finn boglengda.

Løysing:

Vi bruker formelen $s = r \cdot v$ :

$s = 8 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} = 6\pi \text{ cm}$

Som desimaltal: $s \approx 18{,}85$ cm

✏️Døme 5: Boglengd med grader

Ein sirkelbog har radius $r = 10$ cm og sentralvinkel $v = 72°$ . Finn boglengda.

Løysing:

Metode 1: Rekn om til radianar først
$v = 72° = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5} \text{ radianar}$

$s = r \cdot v = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{20\pi}{5} = 4\pi \text{ cm}$

Metode 2: Bruk formelen direkte
$s = \frac{\pi r v_{\text{grad}}}{180} = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 72}{180} = \frac{720\pi}{180} = 4\pi \text{ cm}$

Som desimaltal: $s \approx 12{,}57$ cm

✏️Døme 6: Finne vinkelen

Ein sirkelbog har radius $r = 5$ cm og boglengd $s = 10$ cm. Finn sentralvinkelen i radianar og i grader.

Løysing:

Vi løyser $s = rv$ for $v$ :
$v = \frac{s}{r} = \frac{10}{5} = 2 \text{ radianar}$

Omrekning til grader:
$v = 2 \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{360}{\pi} \approx 114{,}6°$

📝Oppgave 4.1.3

Finn boglengda $s$ i kvar sirkel. Gjev eksakt svar.

r = 6

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{2}

r = 4

cm,

\displaystyle v = \frac{2\pi}{3}

r = 9

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{6}

r = 12

cm,

\displaystyle v = \frac{5\pi}{4}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.4

Finn boglengda $s$ når vinkelen er oppgjeven i grader.

r = 5

cm,

v = 90°

r = 8

cm,

v = 45°

r = 3

cm,

v = 120°

r = 10

cm,

v = 36°

Løs oppgaven Tren

Sektorareal

Ein sirkelsektor er den "kakestykke-forma" delen av ein sirkel som vert avgrensa av to radiar og ein sirkelbog.

📜Formel for sektorareal

Arealet

A

av ein sirkelsektor med radius

r

og sentralvinkel

v

(i radianar) er:

$A = \frac{1}{2}r^2 v$

Dersom vinkelen er i grader:

$A = \frac{\pi r^2 v_{\text{grad}}}{360}$

Alternativ formel: Sidan $s = rv$ , kan vi òg skrive:

$A = \frac{1}{2}rs$

der $s$ er boglengda.

Utleiing av sektorarealformelen

Ein heil sirkel har areal

\pi r^2

og sentralvinkel

2\pi

radianar.

Ein sektor med vinkel $v$ utgjer delen $\displaystyle \frac{v}{2\pi}$ av heile sirkelen.

Difor er sektorarealet:
$A = \frac{v}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{v \cdot \pi r^2}{2\pi} = \frac{1}{2}r^2 v$

∎

✏️Døme 7: Sektorareal med radian

Finn arealet av ein sirkelsektor med radius $r = 6$ cm og sentralvinkel $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$ .

Løysing:

Vi bruker formelen $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2 v$ :

$A = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\pi}{3} = 18 \cdot \frac{\pi}{3} = 6\pi \text{ cm}^2$

Som desimaltal: $A \approx 18{,}85$ cm $^2$

✏️Døme 8: Sektorareal med grader

Finn arealet av ein sirkelsektor med radius $r = 10$ cm og sentralvinkel $v = 45°$ .

Løysing:

Metode 1: Rekn om til radianar
$v = 45° = \frac{\pi}{4}$

$A = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{100\pi}{8} = \frac{25\pi}{2} \text{ cm}^2$

Metode 2: Bruk graderformelen
$A = \frac{\pi r^2 v_{\text{grad}}}{360} = \frac{\pi \cdot 100 \cdot 45}{360} = \frac{4500\pi}{360} = \frac{25\pi}{2} \text{ cm}^2$

Som desimaltal: $A \approx 39{,}27$ cm $^2$

✏️Døme 9: Frå areal til vinkel

Ein sirkelsektor har radius $r = 8$ cm og areal $A = 16\pi$ cm $^2$ . Finn sentralvinkelen i radianar.

Løysing:

Vi løyser $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2 v$ for $v$ :

$16\pi = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot v$
$16\pi = 32v$
$v = \frac{16\pi}{32} = \frac{\pi}{2}$

Sentralvinkelen er $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ radianar (= $90°$ ).

📝Oppgave 4.1.5

Finn arealet av sirkelsektoren. Gjev eksakt svar.

r = 4

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{2}

r = 6

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{4}

r = 5

cm,

\displaystyle v = \frac{2\pi}{5}

r = 3

cm,

v = \pi

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.6

Finn arealet av sirkelsektoren når vinkelen er i grader.

r = 8

cm,

v = 60°

r = 12

cm,

v = 30°

r = 9

cm,

v = 40°

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.7

Finn den ukjende storleiken.

Radius: $r = 10$ cm, Areal: $A = 25\pi$ cm $^2$ . Finn vinkelen $v$ i radianar.

Radius: $r = ?$ , Vinkel: $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$ , Areal: $A = 6\pi$ cm $^2$ . Finn $r$ .

Boglengd: $s = 4\pi$ cm, Radius: $r = 8$ cm. Finn arealet av sektoren.

Løs oppgaven Tren

Einingssirkelen

Einingssirkelen er ein sirkel med sentrum i origo og radius 1. Han er eit uvurderleg verktøy for å forstå trigonometriske funksjonar.

Einingssirkelen

x^2 + y^2 = 1

Korleis bruke einingssirkelen

Tenk deg at du startar i punktet $(1, 0)$ på $x$ -aksen og rører deg mot klokka langs sirkelen. Etter å ha rørt deg ei boglengd på $v$ (der $v$ er vinkelen i radianar), er du i punktet $(\cos v, \sin v)$ .

Sidan omkrinsen til einingssirkelen er $2\pi$ , svarar dette til at ei heil omdreiing er $2\pi$ radianar.

Viktige punkt på einingssirkelen:

Vinkel	Punkt	$\cos v$	$\sin v$
$0$	$(1, 0)$	$1$	$0$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$(0, 1)$	$0$	$1$
$\pi$	$(-1, 0)$	$-1$	$0$
$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$	$(0, -1)$	$0$	$-1$
$2\pi$	$(1, 0)$	$1$	$0$

✏️Døme 10: Punkt på einingssirkelen

Finn koordinatane til punktet på einingssirkelen som svarar til vinkelen $\displaystyle v = \frac{\pi}{4}$ .

Løysing:

Vinkelen $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ svarar til $45°$ . Punktet ligg på linja $y = x$ (sidan vinkelen er midt mellom $x$ -aksen og $y$ -aksen).

Punktet må tilfredsstille $x^2 + y^2 = 1$ og $x = y$ :
$x^2 + x^2 = 1$
$2x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Sidan vi er i første kvadrant, er både $x$ og $y$ positive.

Punktet er $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Dette tyder at $\displaystyle \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og $\displaystyle \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

✏️Døme 11: Trigonometriske verdiar frå einingssirkelen

Bruk einingssirkelen til å finne $\displaystyle \cos\frac{2\pi}{3}$ og $\displaystyle \sin\frac{2\pi}{3}$ .

Løysing:

Vinkelen $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ radianar = $120°$ ligg i andre kvadrant.

Vi kan skrive $\displaystyle \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ , så dette er vinkelen $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ( $60°$ ) spegla om $y$ -aksen.

Frå tabellar eller trekantar veit vi at $\displaystyle \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ved spegling om $y$ -aksen endrar $x$ -koordinaten forteikn, medan $y$ -koordinaten held på forteiknet:

$\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$
$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

📜Viktige trigonometriske verdiar

For standardvinklane har vi følgjande eksakte verdiar:

Vinkel	$\cos v$	$\sin v$
$0$	$1$	$0$
$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$0$	$1$

For vinklar i andre kvadrantar, bruk symmetri:
-

\cos(\pi - v) = -\cos v

\sin(\pi - v) = \sin v

\cos(\pi + v) = -\cos v

\sin(\pi + v) = -\sin v

\cos(2\pi - v) = \cos v

\sin(2\pi - v) = -\sin v

Hugseregel for sinus og cosinus:

For vinklane $\displaystyle 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ :

Sinus-verdiane er: $\displaystyle \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$

Det vil seie: $\displaystyle 0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$

Cosinus-verdiane er dei same, men i omvend rekkjefølgje: $\displaystyle 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0$

✏️Døme 12: Vinklar utanfor første kvadrant

Finn eksakt verdi av:
a) $\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6}$
b) $\displaystyle \cos\frac{7\pi}{4}$
c) $\displaystyle \sin\frac{4\pi}{3}$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$ (andre kvadrant)

$\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

b) $\displaystyle \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$ (fjerde kvadrant)

$\displaystyle \cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\displaystyle \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$ (tredje kvadrant)

$\displaystyle \sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

✏️Døme 13: Boglengd på einingssirkelen

På einingssirkelen startar vi i punktet $(1, 0)$ og rører oss ei boglengd på $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ mot klokka. Kvar endar vi?

Løysing:

På einingssirkelen er radius $r = 1$ , så boglengda er lik vinkelen i radianar.

Å røre seg ei boglengd på $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ svarar til å rotere vinkelen $\displaystyle v = \frac{2\pi}{3}$ .

Vi endar i punktet $\displaystyle (\cos\frac{2\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{3})$ .

Frå døme 11 veit vi at dette er $\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Kalkulator og vinkelmodus

Pass på at kalkulatoren din er sett til rett modus:

- RAD (radianar) for oppgåver med radianar
- DEG (grader) for oppgåver med grader

Ein vanleg feil er å rekne ut $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}$ og få $0{,}027...$ i staden for $1$ . Dette skjer når kalkulatoren er i gradermodus og tolkar $\displaystyle \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ som grader.

Sjekk alltid at $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2} = 1$ for å verifisere at du er i radianmodus.

📝Oppgave 4.1.8

Finn eksakt verdi av følgjande trigonometriske uttrykk.

\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}

\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}

\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}

\cos\pi

\displaystyle \sin\frac{3\pi}{2}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.9

Finn eksakt verdi av følgjande. Bruk symmetri i einingssirkelen.

\displaystyle \cos\frac{3\pi}{4}

\displaystyle \sin\frac{5\pi}{4}

\displaystyle \cos\frac{11\pi}{6}

\displaystyle \sin\frac{7\pi}{6}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.10

Finn koordinatane til punktet på einingssirkelen.

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{5\pi}{6}$

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{5\pi}{3}$

✏️Døme 14: Praktisk bruk - hjul

Eit hjul med radius 30 cm roterer med vinkelfart $\omega = 2$ rad/s.
a) Kor langt rører eit punkt på kanten av hjulet seg på 5 sekund?
b) Kor mange heile omdreiingar gjer hjulet på 10 sekund?

Løysing:

a) På 5 sekund roterer hjulet vinkelen:
$v = \omega \cdot t = 2 \cdot 5 = 10 \text{ radianar}$

Boglengda (distansen punktet rører seg) er:
$s = r \cdot v = 30 \cdot 10 = 300 \text{ cm} = 3 \text{ m}$

b) På 10 sekund roterer hjulet:
$v = 2 \cdot 10 = 20 \text{ radianar}$

Tal på heile omdreiingar:
$n = \frac{v}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \approx 3{,}18$

Hjulet gjer 3 heile omdreiingar.

✏️Døme 15: Kombinert oppgåve

Ein sirkelsektor har boglengd $s = 12$ cm og areal $A = 36$ cm $^2$ . Finn radius og sentralvinkel.

Løysing:

Vi har to likningar:
- $s = rv$ , altså $12 = rv$
- $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2v$ , altså $\displaystyle 36 = \frac{1}{2}r^2v$

Frå den alternative arealformelen $\displaystyle A = \frac{1}{2}rs$ :
$36 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 12 = 6r$
$r = 6 \text{ cm}$

No kan vi finne vinkelen frå $s = rv$ :
$12 = 6v$
$v = 2 \text{ radianar}$

Svar: Radius er 6 cm og sentralvinkelen er 2 radianar (ca. $114{,}6°$ ).

📝Oppgave 4.1.11

Kombinerte oppgåver med boglengd og sektorareal.

Ein sektor har boglengd $s = 8$ cm og areal $A = 24$ cm $^2$ . Finn $r$ og $v$ .

Ein sektor har boglengd $s = 10$ cm og radius $r = 4$ cm. Finn arealet.

Ein sektor har areal $A = 50$ cm $^2$ og vinkel $v = 2$ rad. Finn radius og boglengd.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.12

Praktiske bruksområde.

Ein pendel med lengd 50 cm svingar gjennom ein vinkel på $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ rad. Kor lang er banen pendelspissen skildrar?

Eit pariserhjul med radius 40 m roterer $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$ radianar. Kor langt har ein passasjer rørt seg langs kanten?

Ein pizzabit har form som ein sirkelsektor med radius 15 cm og vinkel $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ . Finn arealet av pizzabiten.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.13

Rekn ut utan kalkulator.

\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{4} + \cos^2\frac{\pi}{4}

\displaystyle 2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}

\displaystyle \cos^2\frac{\pi}{3} - \sin^2\frac{\pi}{3}

\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{6}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.14

Utfordrande oppgåver.

Vis at $1$ radian $\approx 57{,}3°$ ved å rekne ut $\displaystyle \frac{180}{\pi}$ .

Finn alle vinklar $v \in [0, 2\pi)$ slik at $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$ .

Finn alle vinklar $v \in [0, 2\pi)$ slik at $\displaystyle \cos v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

📝Oppgave 4.1.15

Tekstoppgåver med radianar.

Radien til jorda ved ekvator er ca. 6378 km. Kor lang er ei breiddegradslinje ved ekvator som dekkjer $15°$ ?

Ei CD-plate har indre radius 2{,}3 cm og ytre radius 5{,}8 cm. Finn arealet av "ringen" av musikk mellom desse radiane for ein sektor på $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

Radianar:
- Ein radian er vinkelen som svarar til ein bog med lengd lik radien
- $180° = \pi$ radianar, $360° = 2\pi$ radianar
- Omrekning: $\displaystyle v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

Boglengd og sektorareal:
- Boglengd: $s = rv$ (når $v$ er i radianar)
- Sektorareal: $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2v$ eller $\displaystyle A = \frac{1}{2}rs$

Einingssirkelen:
- Sirkel med radius 1 og sentrum i origo
- Punktet for vinkel $v$ er $(\cos v, \sin v)$
- Viktige verdiar bør puggast for standardvinklane

Viktige vinklar å hugse:

$\displaystyle \frac{\pi}{6} = 30°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4} = 45°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3} = 60°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{2} = 90°$ , $\pi = 180°$ , $2\pi = 360°$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Oppgaver

Lett5 oppgaver

4.1.1

4.1.2

4.1.3

4.1.5

4.1.8

Medium6 oppgaver

4.1.4

4.1.6

4.1.7

4.1.9

4.1.10

4.1.13

Vanskelig4 oppgaver

4.1.11

4.1.12

4.1.14

4.1.15

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.