3.6 Volum av omdreiingslekamar | Matematikk R2

Rekne ut volum når ein graf vert rotert rundt ein akse.

60 min

23 oppgaver

OmdreiingslekamVolumSkivemetodenSkalmetoden

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 23 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.6Areal under grafer

Brukes videre i

3.7Funksjonsdrøfting med integrasjon

Innleiing til omdreiingslekamar

Når vi roterer eit planområde rundt ein akse, blir det danna ein tredimensjonal lekam som blir kalla ein omdreiingslekam eller rotasjonslekam. Dette er ein av dei mest elegante bruksmåtane av integrasjon - vi kan rekne ut volumet av komplekse tredimensjonale figurar ved å "byggje dei opp" av uendeleg tynne skiver.

Tenk deg at du har ei kurve $y = f(x)$ definert på intervallet $[a, b]$ . Dersom vi roterer området mellom kurva og $x$ -aksen rundt $x$ -aksen, får vi ein omdreiingslekam. Kvart tverrsnitt vinkelrett på $x$ -aksen er ein sirkel, og ved å "summere" (integrere) alle desse sirkelskivene får vi volumet.

I dette kapitlet skal vi:
- Forstå kva ein omdreiingslekam er
- Lære skivemetoden for rotasjon om $x$ - og $y$ -aksen
- Utleie klassiske volumformlar ved integrasjon
- Løyse praktiske problem med omdreiingslekamar
- Introdusere skalmetoden som eit alternativ (fordjuping, utanfor læreplanen)

Forkunnskap frå kapittel 4: Døme og oppgåver i dette kapittelet som bruker sinus, cosinus eller tangens, byggjer på radianar og derivasjonsreglane

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

frå kapittel 4. Hopp over dei ved første gjennomgang og kom tilbake til dei etter kapittel 4.

Omdreiingslekam (Rotasjonslekam)

y = f(x)

✏️Eksempel 1: Visualisering av omdreiingslekamar

Skildr kva omdreiingslekamar som blir danna når desse områda blir roterte rundt $x$ -aksen:

a) Ei rett linje $y = c$ (konstant) på intervallet $[0, h]$

b) Ei rett linje $\displaystyle y = \frac{r}{h}x$ på intervallet $[0, h]$

c) Ein halvsirkel $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ på intervallet $[-r, r]$

Løysing:

a) Sylinder: Når linja $y = c$ blir rotert rundt $x$ -aksen, blir det danna ein sylinder med radius $c$ og høgd $h$ .

b) Kjegle: Når linja $\displaystyle y = \frac{r}{h}x$ blir rotert rundt $x$ -aksen, blir det danna ei kjegle med grunnflateradius $r$ og høgd $h$ . Stigingstalet til linja avgjer forma på kjegla.

c) Kule: Når halvsirkelen $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ blir rotert rundt $x$ -aksen, blir det danna ei kule med radius $r$ .

Dette viser at mange kjende geometriske figurar kan skildrast som omdreiingslekamar.

Svar:
- a) Sylinder med radius $c$ og høgd $h$
- b) Kjegle med grunnflateradius $r$ og høgd $h$
- c) Kule med radius $r$

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Området som dannar omdreiingslekamen

Området under

f(x) = \sqrt{x}

frå 0 til 4 (skravert) blir rotert om

x

-aksen. Volumet blir

V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = 8\pi

. Den stipla speglinga antydar rotasjonen om aksen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = sqrt(x)
a = Integral(f, 0, 4)
g(x) = -sqrt(x)
SetLineStyle(g, 2)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Gray")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 3.6.1

Skildr kva omdreiingslekamar som blir danna når desse områda blir roterte rundt $x$ -aksen:

a) $y = 2$ på intervallet $[0, 5]$

b) $y = x$ på intervallet $[0, 3]$

c) $y = \sqrt{4 - x^2}$ på intervallet $[-2, 2]$

Skivemetoden - Rotasjon om x-aksen

For å finne volumet av ein omdreiingslekam deler vi han opp i uendeleg tynne sirkelskiver. Kvar skive har:
- Radius lik $|f(x)|$
- Tjukkleik lik $dx$
- Areal lik $\pi [f(x)]^2$
- Volum lik $\pi [f(x)]^2 \, dx$

Ved å integrere (summere) alle desse skivene frå $a$ til $b$ , får vi det totale volumet.

📜Volumformel: Rotasjon om x-aksen

Når området mellom grafen til

y = f(x)

x

-aksen på intervallet

[a, b]

blir rotert rundt

x

-aksen, er volumet av omdreiingslekamen gitt ved:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Merk: Formelen gjeld når $f(x) \geq 0$ på heile intervallet. Dersom $f(x) < 0$ på delar av intervallet, bruker vi $[f(x)]^2$ som alltid er positiv.

✏️Eksempel 2: Rotasjon om x-aksen

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = x^2$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 2]$ blir rotert rundt $x$ -aksen.

Løysing:

Vi bruker volumformelen for rotasjon om $x$ -aksen:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Her er $f(x) = x^2$ , $a = 0$ og $b = 2$ :

$V = \pi \int_0^2 (x^2)^2 \, dx = \pi \int_0^2 x^4 \, dx$

Vi integrerer:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}$

Svar: Volumet er $\displaystyle \frac{32\pi}{5}$ eller ca. $20{,}1$ (volumeiningar).

📝Oppgave 3.6.2

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = \sqrt{x}$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 4]$ blir rotert rundt $x$ -aksen.

✏️Eksempel 3: Utleiing av volumformelen for sylinderen

Utlei volumformelen for ein sylinder med radius $r$ og høgd $h$ ved hjelp av integrasjon.

Løysing:

Ein sylinder kan dannast ved å rotere linja $y = r$ (konstant) på intervallet $[0, h]$ rundt $x$ -aksen.

Vi bruker volumformelen:

$V = \pi \int_0^h r^2 \, dx$

Sidan $r$ er konstant:

$V = \pi r^2 \int_0^h 1 \, dx = \pi r^2 [x]_0^h = \pi r^2 (h - 0) = \pi r^2 h$

Svar: Volumet av sylinderen er $V = \pi r^2 h$ , som er den velkjende formelen "grunnflate gonger høgd".

📝Oppgave 3.6.3

Utlei volumformelen for ei kjegle med grunnflateradius $r$ og høgd $h$ ved hjelp av integrasjon.

Hint: Overflata til kjegla kan skildrast som linja $\displaystyle y = \frac{r}{h}x$ rotert rundt $x$ -aksen på intervallet $[0, h]$ .

✏️Eksempel 4: Utleiing av volumformelen for kula

Utlei volumformelen for ei kule med radius $r$ ved hjelp av integrasjon.

Løysing:

Ei kule blir danna ved å rotere halvsirkelen $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ rundt $x$ -aksen på intervallet $[-r, r]$ .

Vi bruker volumformelen:

$V = \pi \int_{-r}^{r} \left( \sqrt{r^2 - x^2} \right)^2 \, dx = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2) \, dx$

Vi integrerer:

$V = \pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r}$

Vi set inn grensene:

$V = \pi \left[ \left( r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \left( -r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right]$

$V = \pi \left[ r^3 - \frac{r^3}{3} + r^3 - \frac{r^3}{3} \right] = \pi \left[ 2r^3 - \frac{2r^3}{3} \right]$

$V = \pi \cdot \frac{6r^3 - 2r^3}{3} = \pi \cdot \frac{4r^3}{3} = \frac{4\pi r^3}{3}$

Svar: Volumet av kula er $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$ .

📝Oppgave 3.6.4

Ei halvkule blir danna ved å rotere $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ rundt $x$ -aksen på intervallet $[0, r]$ .

a) Finn volumet av halvkula ved integrasjon.

b) Verifiser at svaret er halvparten av volumet til kula.

Skivemetoden - Rotasjon om y-aksen

Nokre gonger er det meir naturleg å rotere eit område rundt $y$ -aksen i staden for $x$ -aksen. I dette tilfellet må vi uttrykkje $x$ som ein funksjon av $y$ .

Dersom vi har $x = g(y)$ og roterer området mellom kurva og $y$ -aksen frå $y = c$ til $y = d$ rundt $y$ -aksen, får vi skiver der:
- Radius er $|g(y)|$
- Tjukkleik er $dy$
- Areal er $\pi [g(y)]^2$

📜Volumformel: Rotasjon om y-aksen

Når området mellom grafen til

x = g(y)

y

-aksen på intervallet

[c, d]

blir rotert rundt

y

-aksen, er volumet av omdreiingslekamen gitt ved:

$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$

Merk: For å bruke denne formelen må vi ofte løyse $y = f(x)$ for $x$ for å få $x = g(y)$ .

✏️Eksempel 5: Rotasjon om y-aksen

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = x^2$ og $y$ -aksen frå $y = 0$ til $y = 4$ blir rotert rundt $y$ -aksen.

Løysing:

Først løyser vi $y = x^2$ for $x$ :
$x = \sqrt{y} \quad (\text{vi vel positiv rot sidan } x \geq 0)$

Så bruker vi volumformelen for rotasjon om $y$ -aksen:

$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 y \, dy$

Vi integrerer:

$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$

Svar: Volumet er $8\pi$ eller ca. $25{,}1$ (volumeiningar).

📝Oppgave 3.6.5

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = \sqrt{x}$ (dvs. $x = y^2$ ) og $y$ -aksen frå $y = 0$ til $y = 3$ blir rotert rundt $y$ -aksen.

✏️Eksempel 6: Volum av ein paraboloide

Ein paraboloide blir danna når parabelen $y = x^2$ blir rotert rundt $y$ -aksen. Finn volumet av paraboloiden for $0 \leq y \leq h$ .

Løysing:

Vi har $y = x^2$ , så $x = \sqrt{y}$ .

Volumet ved rotasjon om $y$ -aksen:

$V = \pi \int_0^h (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^h y \, dy$

$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^h = \frac{\pi h^2}{2}$

Ved $y = h$ har vi $x = \sqrt{h}$ , så grunnflateradius er $r = \sqrt{h}$ , dvs. $h = r^2$ .

Vi kan skrive volumet som:

$V = \frac{\pi (r^2)^2}{2} = \frac{\pi r^4}{2} \quad \text{eller} \quad V = \frac{\pi r^2 h}{2}$

Svar: Volumet av paraboloiden er $\displaystyle V = \frac{\pi r^2 h}{2}$ , som er halvparten av volumet til den omskrivne sylinderen.

📝Oppgave 3.6.6

Ei skål har form som ein paraboloide danna ved å rotere $\displaystyle y = \frac{x^2}{8}$ rundt $y$ -aksen frå $y = 0$ til $y = 2$ (målt i desimeter).

a) Finn radien til opninga på skåla.

b) Finn volumet av skåla.

c) Kor mange liter kan skåla romme?

Volum mellom to kurver

Nokre gonger ønskjer vi å finne volumet av ein omdreiingslekam der området er avgrensa av to kurver. Dersom vi roterer området mellom $y = f(x)$ (ytre kurve) og $y = g(x)$ (indre kurve) rundt $x$ -aksen, der $f(x) \geq g(x) \geq 0$ , blir det danna eit "holrom" i midten.

Volumet blir då differansen mellom det ytre og det indre volumet.

📜Volumformel: Rotasjon av område mellom to kurver

Når området mellom

y = f(x)

(ytre kurve) og

y = g(x)

(indre kurve) på intervallet

[a, b]

blir rotert rundt

x

-aksen, der

f(x) \geq g(x) \geq 0

, er volumet:

$V = \pi \int_a^b \left( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right) \, dx$

Dette gir oss ringskiver.

✏️Eksempel 7: Volum mellom to kurver

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = x^2$ og $y = x$ på intervallet $[0, 1]$ blir rotert rundt $x$ -aksen.

Løysing:

Først sjekkar vi kva kurve som ligg øvst. For $x \in [0, 1]$ :
- Ved $x = 0{,}5$ : $y = x = 0{,}5$ og $y = x^2 = 0{,}25$
- Altså er $y = x$ den ytre kurva og $y = x^2$ den indre kurva.

Vi bruker formelen for volum mellom to kurver:

$V = \pi \int_0^1 \left( x^2 - (x^2)^2 \right) \, dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx$

Vi integrerer:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi \cdot \frac{5 - 3}{15} = \frac{2\pi}{15}$

Svar: Volumet er $\displaystyle \frac{2\pi}{15}$ eller ca. $0{,}42$ (volumeiningar).

📝Oppgave 3.6.7

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = \sqrt{x}$ og $y = x$ på intervallet $[0, 1]$ blir rotert rundt $x$ -aksen.

✏️Eksempel 8: Hol omdreiingslekam (røyr)

Eit røyr har ytre radius gitt ved $R(x) = 3$ og indre radius $r(x) = 2$ for $0 \leq x \leq 5$ . Finn volumet av røyret ved å bruke formelen for volum mellom to kurver.

Løysing:

Røyret er ein omdreiingslekam med konstante radiar. Vi bruker formelen for volum mellom to kurver:

$V = \pi \int_0^5 (R^2 - r^2) \, dx = \pi \int_0^5 (9 - 4) \, dx$

$V = 5\pi \int_0^5 1 \, dx = 5\pi [x]_0^5 = 5\pi \cdot 5 = 25\pi$

Alternativ metode:
Vi kan òg rekne ut volumet som differansen mellom ein ytre og ein indre sylinder:

$\begin{aligned} V &= \pi R^2 h - \pi r^2 h \\ &= \pi (R^2 - r^2) h \\ &= \pi (9 - 4) \cdot 5 = 25\pi \end{aligned}$

Svar: Volumet av røyret er $25\pi$ eller ca. $78{,}5$ (volumeiningar).

📝Oppgave 3.6.8

Eit vassrøyr har ytre diameter 10 cm og veggtjukkleik 1 cm. Røyret er 200 cm langt.

a) Kva er ytre og indre radius?

b) Finn volumet av sjølve røyrmaterialet (ikkje holrommet).

c) Dersom røyrmaterialet har tettleik $\rho = 2{,}5$ g/cm $^3$ , kva er massen til røyret?

Rotasjon om andre aksar enn koordinataksane

Nokre gonger må vi rotere eit område rundt ei linje som ikkje er $x$ - eller $y$ -aksen. Til dømes kan vi rotere rundt linja $y = k$ eller $x = c$ .

Nøkkelen er å justere radien til skivene. Dersom vi roterer rundt linja $y = k$ i staden for $x$ -aksen, blir radien til kvar skive $|f(x) - k|$ i staden for $|f(x)|$ .

📜Volumformel: Rotasjon om linja y = k

Når området mellom

y = f(x)

og linja

y = k

på intervallet

[a, b]

blir rotert rundt linja

y = k

, er volumet:

$V = \pi \int_a^b [f(x) - k]^2 \, dx$

Merk: Pass på forteiknet - dersom $f(x) < k$ på intervallet, vil $[f(x) - k]^2$ framleis gi eit positivt bidrag.

✏️Eksempel 9: Rotasjon om linja y = -1

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = x^2$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 1]$ blir rotert rundt linja $y = -1$ .

Løysing:

Når vi roterer rundt $y = -1$ , er avstanden frå kurva $y = x^2$ til rotasjonsaksen lik $x^2 - (-1) = x^2 + 1$ .

Avstanden frå $x$ -aksen ( $y = 0$ ) til rotasjonsaksen er $0 - (-1) = 1$ .

Vi får eit holrom i midten, så vi bruker formelen for volum mellom to kurver:

$V = \pi \int_0^1 \left[ (x^2 + 1)^2 - 1^2 \right] dx$

Vi utvidar $(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$ :

$\begin{aligned} V &= \pi \int_0^1 (x^4 + 2x^2 + 1 - 1) \, dx \\ &= \pi \int_0^1 (x^4 + 2x^2) \, dx \end{aligned}$

$\begin{aligned} V &= \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \pi \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \right) \\ &= \pi \cdot \frac{3 + 10}{15} \\ &= \frac{13\pi}{15} \end{aligned}$

Svar: Volumet er $\displaystyle \frac{13\pi}{15}$ eller ca. $2{,}72$ (volumeiningar).

📝Oppgave 3.6.9

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = \sqrt{x}$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 4]$ blir rotert rundt linja $y = 3$ .

Praktiske bruksmåtar

Volumformlar for omdreiingslekamar har mange praktiske bruksmåtar:

- Ingeniørfag: Berekning av volum for tankar, siloar, rakettdelar
- Arkitektur: Kuplar, søyler og rotasjonssymmetriske bygningselement
- Medisin: Volum av organ og kroppsdelar frå CT/MR-bilete
- Industri: Design av behaldarar, flasker og maskindelar

Lat oss sjå på nokre praktiske eksempel.

✏️Eksempel 10: Vasstank

Ein vasstank har form som ein omdreiingslekam danna ved å rotere kurva $\displaystyle y = \frac{x^2}{4}$ rundt $y$ -aksen frå $y = 0$ til $y = 4$ meter. Finn volumet av tanken i liter.

Løysing:

Vi må først løyse $\displaystyle y = \frac{x^2}{4}$ for $x$ :
$x^2 = 4y \implies x = 2\sqrt{y}$

Volumet ved rotasjon om $y$ -aksen:

$V = \pi \int_0^4 (2\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 4y \, dy$

$V = 4\pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = 4\pi \cdot \frac{16}{2} = 32\pi \text{ m}^3$

Vi konverterer til liter ( $1 \text{ m}^3 = 1000$ liter):

$V = 32\pi \cdot 1000 \approx 100{\,}531 \text{ liter}$

Svar: Volumet av tanken er $32\pi \text{ m}^3 \approx 100{\,}500$ liter.

📝Oppgave 3.6.10

Ei vase har form som ein omdreiingslekam danna ved å rotere kurva $y = x^2 + 1$ rundt $y$ -aksen frå $y = 1$ til $y = 5$ (målt i desimeter).

a) Løys likninga $y = x^2 + 1$ for $x$ .

b) Finn volumet av vasa.

c) Kor mange liter vatn kan vasa romme? ( $1 \text{ dm}^3 = 1$ liter)

✏️Eksempel 11: Volum av ein torus (smultring)

Ein torus (smultring) kan dannast ved å rotere ein sirkel med radius $r$ og sentrum i $(R, 0)$ rundt $y$ -aksen, der $R > r$ . Finn volumet av torusen.

Løysing:

Sirkelen har likninga $(x - R)^2 + y^2 = r^2$ .

Vi løyser for $x$ :
$x = R \pm \sqrt{r^2 - y^2}$

Den ytre delen av sirkelen er $x_{\text{ytre}} = R + \sqrt{r^2 - y^2}$
Den indre delen er $x_{\text{indre}} = R - \sqrt{r^2 - y^2}$

Volumet av torusen er differansen mellom volumet frå den ytre og den indre kurva:

$V = \pi \int_{-r}^{r} \left[ (R + \sqrt{r^2 - y^2})^2 - (R - \sqrt{r^2 - y^2})^2 \right] dy$

Vi utvidar:
$\begin{aligned} = {}&\pi \int_{-r}^{r} \Big[ R^2 + 2R\sqrt{r^2-y^2} + (r^2-y^2) \\ &\quad {} - R^2 + 2R\sqrt{r^2-y^2} - (r^2-y^2) \Big] dy \end{aligned}$

$= \pi \int_{-r}^{r} 4R\sqrt{r^2-y^2} \, dy = 4\pi R \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-y^2} \, dy$

Integralet $\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-y^2} \, dy$ er arealet av ein halvsirkel med radius $r$ , altså $\displaystyle \frac{\pi r^2}{2}$ .

$V = 4\pi R \cdot \frac{\pi r^2}{2} = 2\pi^2 R r^2$

Svar: Volumet av torusen er $V = 2\pi^2 R r^2$ .

📝Oppgave 3.6.11

Ein smultringforma livbøye har tverrsnittsradius $r = 10$ cm (sirkelen som roterer har radius 10 cm). Avstanden frå sentrum av livbøya til sentrum av sirkelen er $R = 30$ cm.

a) Bruk formelen $V = 2\pi^2 R r^2$ til å finne volumet av livbøya.

b) Dersom livbøya er laga av materiale med tettleik $\rho = 0{,}05$ g/cm $^3$ , kva er massen?

Skalmetoden (sylindrisk skalmetode) (fordjuping, utanfor læreplanen)

Skivemetoden er ikkje alltid den mest praktiske metoden. Nokre gonger er det enklare å bruke skalmetoden, der vi tenkjer oss at vi byggjer opp volumet av konsentriske sylindriske skal.

Skalmetoden er særleg nyttig når:
- Vi roterer rundt $y$ -aksen, men funksjonen er enklast å uttrykkje som $y = f(x)$
- Skivemetoden ville krevje at vi løyser kompliserte likningar for $x$

📜Skalmetoden: Rotasjon om y-aksen (fordjuping, utanfor læreplanen)

Når området mellom

y = f(x)

x

-aksen på intervallet

[a, b]

(der

a \geq 0

) blir rotert rundt

y

-aksen, er volumet:

$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$

Forklaring: Kvart sylindrisk skal har:
- Radius $x$ (avstanden frå $y$ -aksen)
- Høgd $f(x)$
- Tjukkleik $dx$
- Areal av sylinderflata: $2\pi x \cdot f(x)$
- Volum: $2\pi x \cdot f(x) \, dx$

✏️Eksempel 12: Skalmetoden (fordjuping, utanfor læreplanen)

Bruk skalmetoden til å finne volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = x^2$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 2]$ blir rotert rundt $y$ -aksen.

Løysing:

Vi bruker formelen for skalmetoden:

$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$

Her er $f(x) = x^2$ , $a = 0$ og $b = 2$ :

$V = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^2 \, dx = 2\pi \int_0^2 x^3 \, dx$

$V = 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = 2\pi \cdot \frac{16}{4} = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$

Kontroll med skivemetoden:
Snittet i høgda $y$ ( $0 \leq y \leq 4$ ) er ein ring med ytre radius $2$ og indre radius $x = \sqrt{y}$ .

$\begin{aligned} V &= \pi \int_0^4 \left(2^2 - (\sqrt{y})^2\right) dy \\ &= \pi \int_0^4 (4 - y) \, dy \\ &= \pi \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_0^4 \\ &= \pi(16 - 8) = 8\pi \end{aligned}$

Svar: Volumet er $8\pi$ (begge metodar gir same svar).

📝Oppgave 3.6.12

Fordjuping (utanfor læreplanen). Bruk skalmetoden til å finne volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom

y = x - x^2

x

-aksen (for

0 \leq x \leq 1

) blir rotert rundt

y

-aksen.

✏️Eksempel 13: Samanlikning av skive- og skalmetoden (fordjuping, utanfor læreplanen)

Området mellom $y = \sin x$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, \pi]$ blir rotert rundt $y$ -aksen. Rekn ut volumet med skalmetoden.

Løysing:

Med skalmetoden:

$V = 2\pi \int_0^{\pi} x \sin x \, dx$

Vi bruker delvis integrasjon med $u = x$ og $v' = \sin x$ :
- $u' = 1$
- $v = -\cos x$

$V = 2\pi \left[ -x\cos x \Big|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x \, dx \right]$

$= 2\pi \left[ -\pi \cdot (-1) + 0 + [\sin x]_0^{\pi} \right]$

$= 2\pi \left[ \pi + 0 - 0 \right] = 2\pi^2$

Svar: Volumet er $2\pi^2$ eller ca. $19{,}7$ (volumeiningar).

Merk: Skivemetoden ville vore mykje meir komplisert her, fordi vi måtte løyst $y = \sin x$ for $x$ og handtert at $\sin x$ har fleire løysingar.

📝Oppgave 3.6.13

Fordjuping (utanfor læreplanen). Området mellom

y = e^{-x}

x

-aksen på intervallet

[0, 1]

blir rotert rundt

y

-aksen. Rekn ut volumet med skalmetoden.

Hint: Du treng delvis integrasjon.

✏️Eksempel 14: Fontene

Ei fontene har eit basseng forma som ein omdreiingslekam. Botnen av bassenget blir skildra av kurva $y = 0{,}1x^2$ for $-3 \leq x \leq 3$ meter, rotert rundt $y$ -aksen.

a) Finn volumet av bassenget frå botnen til $y = 0{,}9$ meter.

b) Kor mange liter vatn trengst for å fylle bassenget til dette nivået?

Løysing:

a) Vi har $y = 0{,}1x^2$ , så $x^2 = 10y$ og $x = \sqrt{10y}$ .

Volumet ved rotasjon om $y$ -aksen frå $y = 0$ til $y = 0{,}9$ :

$V = \pi \int_0^{0{,}9} (\sqrt{10y})^2 \, dy = \pi \int_0^{0{,}9} 10y \, dy$

$V = 10\pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{0{,}9} = 10\pi \cdot \frac{0{,}81}{2} = 4{,}05\pi \text{ m}^3$

b) Vi konverterer til liter ( $1 \text{ m}^3 = 1000$ liter):

$V = 4{,}05\pi \cdot 1000 \approx 12{\,}723 \text{ liter}$

Svar:
a) Volumet er $4{,}05\pi \approx 12{,}72$ m $^3$
b) Ca. 12 700 liter vatn trengst.

📝Oppgave 3.6.14

Ein oljetank har form som ein liggjande omdreiingslekam (sylinder med halvkuleforma endar). Tanken er 6 meter lang totalt, der den sylindriske delen er 4 meter og radius er 1 meter.

a) Finn volumet av den sylindriske delen.

b) Finn volumet av dei to halvkuleforma endane (som til saman utgjer ei heil kule).

c) Finn det totale volumet i liter.

✏️Eksempel 15: Vinglas

Eit vinglas har form som ein omdreiingslekam danna ved å rotere kurva $y = x^3$ rundt $y$ -aksen frå $y = 0$ til $y = 8$ (målt i cm).

a) Uttrykk $x$ som funksjon av $y$ .

b) Finn volumet av vinglaset.

c) Dersom glaset blir fylt til $y = 4$ , kor stor del av det totale volumet er fylt?

Løysing:

a) $y = x^3 \implies x = y^{1/3} = \sqrt[3]{y}$

b) Volumet ved rotasjon om $y$ -aksen:

$V = \pi \int_0^8 (y^{1/3})^2 \, dy = \pi \int_0^8 y^{2/3} \, dy$

$V = \pi \left[ \frac{y^{5/3}}{5/3} \right]_0^8 = \pi \cdot \frac{3}{5} \left[ y^{5/3} \right]_0^8$

$V = \frac{3\pi}{5} \cdot 8^{5/3} = \frac{3\pi}{5} \cdot 32 = \frac{96\pi}{5} \text{ cm}^3 \approx 60{,}3 \text{ cm}^3$

c) Volumet til $y = 4$ :

$V_4 = \frac{3\pi}{5} \cdot 4^{5/3} = \frac{3\pi}{5} \cdot 4 \cdot 4^{2/3} = \frac{3\pi}{5} \cdot 4 \cdot \sqrt[3]{16}$

$V_4 = \frac{12\pi}{5} \cdot 2^{4/3} = \frac{12\pi \cdot 2\sqrt[3]{2}}{5} \approx 19{,}0 \text{ cm}^3$

Andelen fylt er:
$\begin{aligned} \frac{V_4}{V} &= \frac{4^{5/3}}{8^{5/3}} \\ &= \left( \frac{4}{8} \right)^{5/3} \\ &= \left( \frac{1}{2} \right)^{5/3} = \frac{1}{2^{5/3}} \\ &\approx 0{,}315 \\ &= 31{,}5\,\% \end{aligned}$

Svar: a) $x = \sqrt[3]{y}$ , b) $\displaystyle \frac{96\pi}{5} \approx 60{,}3$ cm $^3$ , c) ca. $31{,}5\,\%$

📝Oppgave 3.6.15

Ei designvase har ei spesiell form der profilen følgjer kurva $y = \ln(x+1)$ for $0 \leq x \leq e-1$ , rotert rundt $y$ -aksen.

a) Finn høgda på vasa (verdien av $y$ ved $x = e-1$ ).

b) Uttrykk $x$ som funksjon av $y$ .

c) Finn volumet av vasa.

Oppsummering

I dette kapitlet har vi lært:

1. Omdreiingslekamar blir danna når eit planområde blir rotert rundt ein akse.

2. Skivemetoden for rotasjon om x-aksen:
$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

3. Skivemetoden for rotasjon om y-aksen:
$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$

4. Volum mellom to kurver (rotasjon om x-aksen):
$V = \pi \int_a^b \left( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right) \, dx$

5. Rotasjon om linja $y = k$ :
$V = \pi \int_a^b [f(x) - k]^2 \, dx$

6. Skalmetoden (rotasjon om y-aksen, fordjuping):
$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$

7. Klassiske volumformlar utleidde ved integrasjon:
- Sylinder: $V = \pi r^2 h$
- Kjegle: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
- Kule: $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$
- Paraboloide: $\displaystyle V = \frac{1}{2}\pi r^2 h$
- Torus: $V = 2\pi^2 R r^2$

📝Oppgave 3.6.16

Rekn ut volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom grafen til $f(x) = e^x$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 1]$ blir rotert rundt $x$ -aksen.

📝Oppgave 3.6.17

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = \sin x$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, \pi]$ blir rotert rundt $x$ -aksen.

Hint: Bruk identiteten $\displaystyle \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ .

📝Oppgave 3.6.18

Eksamensstil

Området $A$ er avgrensa av $y = 4 - x^2$ , $y = 0$ og $y$ -aksen (i første kvadrant).

a) Skisser området $A$ .

b) Finn arealet av $A$ .

c) Området $A$ blir rotert rundt $x$ -aksen. Finn volumet av omdreiingslekamen.

d) Området $A$ blir rotert rundt $y$ -aksen. Finn volumet av omdreiingslekamen.

Tips for eksamen: Når du skal finne volum av omdreiingslekamar:

1. Identifiser rotasjonsaksen - dette avgjer kva formel du skal bruke.

2. Teikn ei skisse - det hjelper å visualisere kva som blir rotert.

3. Vel rett metode:
- Skivemetoden: Når tverrsnittet vinkelrett på aksen er ein sirkel (eller ring)
- Skalmetoden (fordjuping, utanfor læreplanen): Når det er enklare å uttrykkje funksjonen i den andre variabelen

4. Sjekk grensene - Ved rotasjon om $y$ -aksen må grensene vere $y$ -verdiar.

5. Kontroller dimensjonen - Volum skal ha tredjepotens i einingane.

Vanlege feil

1. Gløymer å kvadrere funksjonen: Volumformelen har $[f(x)]^2$ , ikkje berre $f(x)$ .

2. Feil akse: Sjekk alltid kva akse det blir rotert rundt. Formelen er forskjellig for $x$ - og $y$ -aksen.

3. Feil grenser: Ved rotasjon om $y$ -aksen må grensene vere $y$ -verdiar, ikkje $x$ -verdiar.

4. Gløymer $\pi$ : Volumformelen inneheld alltid $\pi$ framfor integralet (for skivemetoden) eller $2\pi$ (for skalmetoden).

5. Blandar skive- og skalmetoden: Skivemetoden har $\pi \int [f]^2$ , skalmetoden har $2\pi \int x \cdot f$ .

6. Feil ved rotasjon om andre aksar: Hugs å justere radien når du roterer om $y = k$ eller $x = c$ .

Historisk note: Metodane for å rekne ut volum av omdreiingslekamar vart utvikla av matematikarar som Arkimedes (ca. 287-212 f.Kr.), som fann volumet av kula, og Cavalieri (1598-1647), som utvikla ein tidleg versjon av integrasjonsmetodar. Den moderne formuleringa med integral vart utvikla av Newton og Leibniz på 1600-talet.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.