3.6 Volum av omdreiningslegemer

a) Sylinder: Når linja $y = c$ blir rotert rundt $x$-aksen, blir det danna ein sylinder med radius $c$ og høgd $h$.

b) Kjegle: Når linja $\displaystyle y = \frac{r}{h}x$ blir rotert rundt $x$-aksen, blir det danna ei kjegle med grunnflateradius $r$ og høgd $h$. Stigingstalet til linja avgjer forma på kjegla.

c) Kule: Når halvsirkelen $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ blir rotert rundt $x$-aksen, blir det danna ei kule med radius $r$.

Dette viser at mange kjende geometriske figurar kan skildrast som omdreiingslekamar.

Vi bruker volumformelen for rotasjon om $x$-aksen:

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$$

Her er $f(x) = x^2$, $a = 0$ og $b = 2$:

$$V = \pi \int_0^2 (x^2)^2 \, dx = \pi \int_0^2 x^4 \, dx$$

Vi integrerer:

$$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}$$

Svar: Volumet er $\displaystyle \frac{32\pi}{5}$ eller ca. $20{,}1$ (volumeiningar).

Ein sylinder kan dannast ved å rotere linja $y = r$ (konstant) på intervallet $[0, h]$ rundt $x$-aksen.

Vi bruker volumformelen:

$$V = \pi \int_0^h r^2 \, dx$$

Sidan $r$ er konstant:

$$V = \pi r^2 \int_0^h 1 \, dx = \pi r^2 [x]_0^h = \pi r^2 (h - 0) = \pi r^2 h$$

Svar: Volumet av sylinderen er $V = \pi r^2 h$, som er den velkjende formelen "grunnflate gonger høgd".

Ei kule blir danna ved å rotere halvsirkelen $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ rundt $x$-aksen på intervallet $[-r, r]$.

Vi bruker volumformelen:

$$V = \pi \int_{-r}^{r} \left( \sqrt{r^2 - x^2} \right)^2 \, dx = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2) \, dx$$

Vi integrerer:

$$V = \pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r}$$

Vi set inn grensene:

$$V = \pi \left[ \left( r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \left( -r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right]$$

$$V = \pi \left[ r^3 - \frac{r^3}{3} + r^3 - \frac{r^3}{3} \right] = \pi \left[ 2r^3 - \frac{2r^3}{3} \right]$$

$$V = \pi \cdot \frac{6r^3 - 2r^3}{3} = \pi \cdot \frac{4r^3}{3} = \frac{4\pi r^3}{3}$$

Svar: Volumet av kula er $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Først løyser vi $y = x^2$ for $x$:
$$x = \sqrt{y} \quad (\text{vi vel positiv rot sidan } x \geq 0)$$

Så bruker vi volumformelen for rotasjon om $y$-aksen:

$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 y \, dy$$

Vi integrerer:

$$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$$

Svar: Volumet er $8\pi$ eller ca. $25{,}1$ (volumeiningar).

Vi har $y = x^2$, så $x = \sqrt{y}$.

Volumet ved rotasjon om $y$-aksen:

$$V = \pi \int_0^h (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^h y \, dy$$

$$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^h = \frac{\pi h^2}{2}$$

Ved $y = h$ har vi $x = \sqrt{h}$, så grunnflateradius er $r = \sqrt{h}$, dvs. $h = r^2$.

Vi kan skrive volumet som:

$$V = \frac{\pi (r^2)^2}{2} = \frac{\pi r^4}{2} \quad \text{eller} \quad V = \frac{\pi r^2 h}{2}$$

Svar: Volumet av paraboloiden er $\displaystyle V = \frac{\pi r^2 h}{2}$, som er halvparten av volumet til den omskrivne sylinderen.

Først sjekkar vi kva kurve som ligg øvst. For $x \in [0, 1]$:
- Ved $x = 0{,}5$: $y = x = 0{,}5$ og $y = x^2 = 0{,}25$
- Altså er $y = x$ den ytre kurva og $y = x^2$ den indre kurva.

Vi bruker formelen for volum mellom to kurver:

$$V = \pi \int_0^1 \left( x^2 - (x^2)^2 \right) \, dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx$$

Vi integrerer:

$$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi \cdot \frac{5 - 3}{15} = \frac{2\pi}{15}$$

Svar: Volumet er $\displaystyle \frac{2\pi}{15}$ eller ca. $0{,}42$ (volumeiningar).

Røyret er ein omdreiingslekam med konstante radiar. Vi bruker formelen for volum mellom to kurver:

$$V = \pi \int_0^5 (R^2 - r^2) \, dx = \pi \int_0^5 (9 - 4) \, dx$$

$$V = 5\pi \int_0^5 1 \, dx = 5\pi [x]_0^5 = 5\pi \cdot 5 = 25\pi$$

Alternativ metode:
Vi kan òg rekne ut volumet som differansen mellom ein ytre og ein indre sylinder:

$$V = \pi R^2 h - \pi r^2 h = \pi (R^2 - r^2) h = \pi (9 - 4) \cdot 5 = 25\pi$$

Svar: Volumet av røyret er $25\pi$ eller ca. $78{,}5$ (volumeiningar).

Når vi roterer rundt $y = -1$, er avstanden frå kurva $y = x^2$ til rotasjonsaksen lik $x^2 - (-1) = x^2 + 1$.

Avstanden frå $x$-aksen ($y = 0$) til rotasjonsaksen er $0 - (-1) = 1$.

Vi får eit holrom i midten, så vi bruker formelen for volum mellom to kurver:

$$V = \pi \int_0^1 \left[ (x^2 + 1)^2 - 1^2 \right] dx$$

Vi utvidar $(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$:

$$V = \pi \int_0^1 (x^4 + 2x^2 + 1 - 1) \, dx = \pi \int_0^1 (x^4 + 2x^2) \, dx$$

$$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \right) = \pi \cdot \frac{3 + 10}{15} = \frac{13\pi}{15}$$

Svar: Volumet er $\displaystyle \frac{13\pi}{15}$ eller ca. $2{,}72$ (volumeiningar).

Vi må først løyse $\displaystyle y = \frac{x^2}{4}$ for $x$:
$$x^2 = 4y \implies x = 2\sqrt{y}$$

Volumet ved rotasjon om $y$-aksen:

$$V = \pi \int_0^4 (2\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 4y \, dy$$

$$V = 4\pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = 4\pi \cdot \frac{16}{2} = 32\pi \text{ m}^3$$

Vi konverterer til liter ($1 \text{ m}^3 = 1000$ liter):

$$V = 32\pi \cdot 1000 \approx 100{\,}531 \text{ liter}$$

Svar: Volumet av tanken er $32\pi \text{ m}^3 \approx 100{\,}500$ liter.

Sirkelen har likninga $(x - R)^2 + y^2 = r^2$.

Vi løyser for $x$:
$$x = R \pm \sqrt{r^2 - y^2}$$

Den ytre delen av sirkelen er $x_{\text{ytre}} = R + \sqrt{r^2 - y^2}$
Den indre delen er $x_{\text{indre}} = R - \sqrt{r^2 - y^2}$

Volumet av torusen er differansen mellom volumet frå den ytre og den indre kurva:

$$V = \pi \int_{-r}^{r} \left[ (R + \sqrt{r^2 - y^2})^2 - (R - \sqrt{r^2 - y^2})^2 \right] dy$$

Vi utvidar:
$$= \pi \int_{-r}^{r} \left[ R^2 + 2R\sqrt{r^2-y^2} + (r^2-y^2) - R^2 + 2R\sqrt{r^2-y^2} - (r^2-y^2) \right] dy$$

$$= \pi \int_{-r}^{r} 4R\sqrt{r^2-y^2} \, dy = 4\pi R \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-y^2} \, dy$$

Integralet $\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-y^2} \, dy$ er arealet av ein halvsirkel med radius $r$, altså $\displaystyle \frac{\pi r^2}{2}$.

$$V = 4\pi R \cdot \frac{\pi r^2}{2} = 2\pi^2 R r^2$$

Svar: Volumet av torusen er $V = 2\pi^2 R r^2$.

Vi bruker formelen for skalmetoden:

$$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$$

Her er $f(x) = x^2$, $a = 0$ og $b = 2$:

$$V = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^2 \, dx = 2\pi \int_0^2 x^3 \, dx$$

$$V = 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = 2\pi \cdot \frac{16}{4} = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$$

Kontroll med skivemetoden:
Ved $y = 0$: $x = 0$ og ved $y = 4$: $x = 2$. Så $x = \sqrt{y}$.

$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 y \, dy = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi \checkmark$$

Svar: Volumet er $8\pi$ (begge metodane gir same svar).

Med skalmetoden:

$$V = 2\pi \int_0^{\pi} x \sin x \, dx$$

Vi bruker delvis integrasjon med $u = x$ og $v' = \sin x$:
- $u' = 1$
- $v = -\cos x$

$$V = 2\pi \left[ -x\cos x \Big|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x \, dx \right]$$

$$= 2\pi \left[ -\pi \cdot (-1) + 0 + [\sin x]_0^{\pi} \right]$$

$$= 2\pi \left[ \pi + 0 - 0 \right] = 2\pi^2$$

Svar: Volumet er $2\pi^2$ eller ca. $19{,}7$ (volumeiningar).

Merk: Skivemetoden ville vore mykje meir komplisert her, fordi vi måtte løyst $y = \sin x$ for $x$ og handtert at $\sin x$ har fleire løysingar.

a) Vi har $y = 0{,}1x^2$, så $x^2 = 10y$ og $x = \sqrt{10y}$.

Volumet ved rotasjon om $y$-aksen frå $y = 0$ til $y = 0{,}9$:

$$V = \pi \int_0^{0{,}9} (\sqrt{10y})^2 \, dy = \pi \int_0^{0{,}9} 10y \, dy$$

$$V = 10\pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{0{,}9} = 10\pi \cdot \frac{0{,}81}{2} = 4{,}05\pi \text{ m}^3$$

b) Vi konverterer til liter ($1 \text{ m}^3 = 1000$ liter):

$$V = 4{,}05\pi \cdot 1000 \approx 12{\,}723 \text{ liter}$$

Svar:
a) Volumet er $4{,}05\pi \approx 12{,}72$ m$^3$
b) Ca. 12 700 liter vatn trengst.

a) $y = x^3 \implies x = y^{1/3} = \sqrt[3]{y}$

b) Volumet ved rotasjon om $y$-aksen:

$$V = \pi \int_0^8 (y^{1/3})^2 \, dy = \pi \int_0^8 y^{2/3} \, dy$$

$$V = \pi \left[ \frac{y^{5/3}}{5/3} \right]_0^8 = \pi \cdot \frac{3}{5} \left[ y^{5/3} \right]_0^8$$

$$V = \frac{3\pi}{5} \cdot 8^{5/3} = \frac{3\pi}{5} \cdot 32 = \frac{96\pi}{5} \text{ cm}^3 \approx 60{,}3 \text{ cm}^3$$

c) Volumet til $y = 4$:

$$V_4 = \frac{3\pi}{5} \cdot 4^{5/3} = \frac{3\pi}{5} \cdot 4 \cdot 4^{2/3} = \frac{3\pi}{5} \cdot 4 \cdot \sqrt[3]{16}$$

$$V_4 = \frac{12\pi}{5} \cdot 2^{4/3} = \frac{12\pi \cdot 2\sqrt[3]{2}}{5} \approx 19{,}0 \text{ cm}^3$$

Delen som er fylt er:
$$\frac{V_4}{V} = \frac{4^{5/3}}{8^{5/3}} = \left( \frac{4}{8} \right)^{5/3} = \left( \frac{1}{2} \right)^{5/3} = \frac{1}{2^{5/3}} \approx 0{,}315 = 31{,}5\%$$

Svar: a) $x = \sqrt[3]{y}$, b) $\displaystyle \frac{96\pi}{5} \approx 60{,}3$ cm$^3$, c) ca. $31{,}5\%$