3.4 Numerisk integrasjon | Matematikk R2

Trapesmetoden og andre tilnærmingsmetoder.

55 min

13 oppgaver

TrapesmetodenNumerisk integrasjonFeilestimater

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.4Bestemt integral som grenseverdi

Brukes videre i

3.5Programmering av integrasjon

Kvifor numerisk integrasjon?

Når vi skal rekne ut eit bestemt integral $\int_a^b f(x) \, dx$ , prøver vi vanlegvis å finne ein antiderivert $F(x)$ og bruke fundamentalteoremet i analysen:

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Men kva gjer vi når vi ikkje kan finne ein antiderivert? Det finst mange funksjonar som ikkje har ein antiderivert uttrykt med elementære funksjonar. Kjende eksempel er:

- $\int e^{-x^2} \, dx$ (viktig i statistikk)
- $\displaystyle \int \frac{\sin x}{x} \, dx$ (signalhandsaming)
- $\int \sqrt{1 + x^3} \, dx$ (buelengderekning)

I tillegg kan vi ha funksjonar som berre er kjende gjennom måledata (tabellverdiar), utan ein eksplisitt formel.

I slike tilfelle bruker vi numerisk integrasjon - metodar som tilnærmar integralet ved å summere bidrag frå mange små område.

Rektangelmetoden

Den enklaste tilnærminga til eit integral er å dele intervallet $[a, b]$ inn i $n$ like store delintervall og tilnærme arealet under kurva med rektangel.

Rektangelmetoden

f

✏️Eksempel 1: Venstre rektangelmetode

Bruk venstre rektangelmetode med $n = 4$ delintervall til å tilnærme $\int_0^2 x^2 \, dx$ .

Samanlikn med den eksakte verdien.

Steg 1: Rekn ut steglengda

h

h = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{4} = 0{,}5

Steg 2: Finn delepunkta:
$x_0 = 0, \quad x_1 = 0{,}5, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 1{,}5, \quad x_4 = 2$

Steg 3: Rekn ut funksjonsverdiane (vi bruker $x_0$ til $x_3$ for venstre metode):
$f(x_0) = 0^2 = 0$
$f(x_1) = 0{,}5^2 = 0{,}25$
$f(x_2) = 1^2 = 1$
$f(x_3) = 1{,}5^2 = 2{,}25$

Steg 4: Rekn ut tilnærminga:
$\int_0^2 x^2 \, dx \approx h[f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3)]$
$= 0{,}5 \cdot [0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25] = 0{,}5 \cdot 3{,}5 = 1{,}75$

Samanlikning med eksakt verdi:
$\int_0^2 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2{,}667$

Feilen er $\displaystyle \frac{8}{3} - 1{,}75 \approx 0{,}917$ , altså ca. 34% for lite.

📊Utforsk: Trapesmetoden på eit integral utan antiderivert

$f(x) = e^{-x^2}$ har ingen elementær antiderivert, så $\int_0^2 e^{-x^2} dx$ må reknast ut numerisk. Trapesmetoden med 4 trapes gir ei tilnærming — auk talet og sjå verdien stabilisere seg rundt $0{,}882$ .

📝Oppgave 3.4.1

Bruk høgre rektangelmetode med $n = 4$ delintervall til å tilnærme $\int_0^2 x^2 \, dx$ .

a) Rekn ut tilnærminga.
b) Samanlikn med den eksakte verdien $\displaystyle \frac{8}{3}$ .
c) Blir feilen større eller mindre enn for venstre metode? Forklar kvifor.

✏️Eksempel 2: Midtpunktmetoden

Bruk midtpunktmetoden med $n = 4$ delintervall til å tilnærme $\int_0^2 x^2 \, dx$ .

Steg 1: Steglengd:

h = 0{,}5

Steg 2: Midtpunkta i kvart delintervall:
$m_1 = 0 + \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25$
$m_2 = 0{,}5 + \frac{0{,}5}{2} = 0{,}75$
$m_3 = 1 + \frac{0{,}5}{2} = 1{,}25$
$m_4 = 1{,}5 + \frac{0{,}5}{2} = 1{,}75$

Steg 3: Funksjonsverdiar i midtpunkta:
$f(0{,}25) = 0{,}0625$
$f(0{,}75) = 0{,}5625$
$f(1{,}25) = 1{,}5625$
$f(1{,}75) = 3{,}0625$

Steg 4: Tilnærming:
$\int_0^2 x^2 \, dx \approx 0{,}5 \cdot [0{,}0625 + 0{,}5625 + 1{,}5625 + 3{,}0625]$
$= 0{,}5 \cdot 5{,}25 = 2{,}625$

Samanlikning: Eksakt verdi er $\displaystyle \frac{8}{3} \approx 2{,}667$ . Feilen er berre $0{,}042$ , altså ca. 1{,}6%.

Midtpunktmetoden gir monaleg betre resultat enn venstre og høgre metode!

📝Oppgave 3.4.2

Bruk midtpunktmetoden med $n = 5$ delintervall til å tilnærme $\displaystyle \int_1^6 \frac{1}{x} \, dx$ .

Samanlikn med den eksakte verdien $\ln 6 - \ln 1 = \ln 6 \approx 1{,}792$ .

Trapesmetoden

Rektangelmetoden tilnærmar kurva med horisontale linjer. Ei naturleg forbetring er å bruke skrå linjer som koplar saman nabopunkt på kurva. Dette gir trapes i staden for rektangel.

Trapesmetoden

f

✏️Eksempel 3: Trapesmetoden

Bruk trapesmetoden med $n = 4$ delintervall til å tilnærme $\int_0^2 x^2 \, dx$ .

Steg 1: Steglengd:

\displaystyle h = \frac{2-0}{4} = 0{,}5

Steg 2: Delepunkt og funksjonsverdiar:

$i$	$x_i$	$f(x_i) = x_i^2$
0	0	0
1	0,5	0,25
2	1	1
3	1,5	2,25
4	2	4

Steg 3: Bruk trapesformelen:

T_4 = \frac{0{,}5}{2}\left[f(0) + 2f(0{,}5) + 2f(1) + 2f(1{,}5) + f(2)\right]

= 0{,}25 \cdot [0 + 2(0{,}25) + 2(1) + 2(2{,}25) + 4]

= 0{,}25 \cdot [0 + 0{,}5 + 2 + 4{,}5 + 4]

= 0{,}25 \cdot 11 = 2{,}75

Samanlikning:

- Eksakt verdi: $\displaystyle \frac{8}{3} \approx 2{,}667$
- Feil: $|2{,}75 - 2{,}667| = 0{,}083$ (ca. 3{,}1%)
Trapesmetoden gir betre resultat enn venstre/høgre rektangelmetode, men litt dårlegare enn midtpunktmetoden for denne funksjonen.

📝Oppgave 3.4.3

Bruk trapesmetoden med $n = 4$ til å tilnærme $\int_0^{\pi} \sin x \, dx$ .

Samanlikn med den eksakte verdien (som du finn ved å integrere analytisk).

Merk: Trapesmetoden gir eksakt resultat for lineære funksjonar (polynom av grad 1), sidan trapes då dekkjer arealet perfekt.

Simpsons metode (Parabelmetoden)

Trapesmetoden bruker rette linjer (grad 1) mellom punkta. Simpsons metode tek dette eitt skritt vidare ved å tilnærme kurva med parablar (grad 2) gjennom tre nabopunkt om gongen.

Fordi parablar kan følgje krumninga til kurva betre, gir Simpsons metode ofte mykje meir nøyaktige resultat.

Simpsons metode

f

✏️Eksempel 4: Simpsons metode

Bruk Simpsons metode med $n = 4$ delintervall til å tilnærme $\int_0^2 x^2 \, dx$ .

Steg 1: Steglengd:

\displaystyle h = \frac{2-0}{4} = 0{,}5

Steg 2: Delepunkt og funksjonsverdiar:

$i$	$x_i$	$f(x_i)$	Koeffisient
0	0	0	1
1	0,5	0,25	4
2	1	1	2
3	1,5	2,25	4
4	2	4	1

Steg 3: Bruk Simpsons formel:

S_4 = \frac{0{,}5}{3}\left[1 \cdot 0 + 4 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2{,}25 + 1 \cdot 4\right]

= \frac{0{,}5}{3}\left[0 + 1 + 2 + 9 + 4\right]

= \frac{0{,}5}{3} \cdot 16 = \frac{8}{3} \approx 2{,}667

Resultat: Simpsons metode gir eksakt

\displaystyle \frac{8}{3}

!
Dette er ikkje tilfeldig - Simpsons metode gir eksakte verdiar for polynom opp til og med grad 3.

📝Oppgave 3.4.4

Bruk Simpsons metode med $n = 4$ til å tilnærme $\int_0^{\pi} \sin x \, dx$ .

a) Rekn ut tilnærminga.
b) Samanlikn med eksakt verdi (som er 2).
c) Kor mange prosent er feilen?

📜Nøyaktigheit for Simpsons metode

Simpsons metode gir eksakt resultat for polynom av grad $\leq 3$ .

Dette tyder at sjølv om metoden er basert på parablar (grad 2), får vi òg eksakte verdiar for kubiske funksjonar - ein bemerkelsesverdig eigenskap!

Feilestimat

Når vi bruker numeriske metodar, er det viktig å vite kor stor feilen kan bli. Her er formlar som gir øvre grenser for feilen.

📜Feilestimat for numerisk integrasjon

Lat

f

vere tilstrekkeleg deriverbar på

[a, b]

, og lat

\displaystyle h = \frac{b-a}{n}

Midtpunktmetoden:
$|E_M| \leq \frac{(b-a)^3}{24n^2} \cdot M_2$
der $M_2 = \max_{x \in [a,b]} |f''(x)|$

Trapesmetoden:
$|E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot M_2$
der $M_2 = \max_{x \in [a,b]} |f''(x)|$

Simpsons metode:
$|E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \cdot M_4$
der $M_4 = \max_{x \in [a,b]} |f^{(4)}(x)|$

Viktig observasjon:
- For midtpunkt og trapes: Feilen avtek som $\displaystyle \frac{1}{n^2}$
- For Simpson: Feilen avtek som $\displaystyle \frac{1}{n^4}$

Simpsons metode konvergerer altså mykje raskare mot rett svar!

✏️Eksempel 5: Feilestimering

For $\int_0^2 x^2 \, dx$ med $n = 4$ :

a) Finn ei øvre grense for feilen med trapesmetoden.
b) Samanlikn med den faktiske feilen vi fann tidlegare.

a) Vi har

f(x) = x^2

, så

f'(x) = 2x

f''(x) = 2

Dermed er $M_2 = \max_{x \in [0,2]} |f''(x)| = 2$ (konstant).

Med $a = 0$ , $b = 2$ og $n = 4$ :
$|E_T| \leq \frac{(2-0)^3}{12 \cdot 4^2} \cdot 2 = \frac{8}{12 \cdot 16} \cdot 2 = \frac{8}{192} \cdot 2 = \frac{16}{192} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083$

b) Den faktiske feilen var $\displaystyle |2{,}75 - \frac{8}{3}| = |2{,}75 - 2{,}667| = 0{,}083$ .

Feilen er nøyaktig lik den øvre grensa! Dette skjer fordi $f''(x) = 2$ er konstant, så feilestimatet er skarpt.

📝Oppgave 3.4.5

Kor mange delintervall $n$ treng du med trapesmetoden for å garantere at feilen i $\int_0^1 e^x \, dx$ er mindre enn $0{,}001$ ?

Hint: $f(x) = e^x$ har $f''(x) = e^x$ , og $\max_{x \in [0,1]} e^x = e \approx 2{,}718$ .

Forbetring av nøyaktigheit

Hovudmåten å forbetre nøyaktigheita på er å bruke fleire delintervall (større $n$ ). Lat oss sjå korleis feilane avtek.

✏️Eksempel 6: Konvergens ved auka n

Rekn ut $\int_0^1 e^x \, dx$ med trapesmetoden for $n = 2, 4, 8, 16$ og observer korleis feilen avtek.

Eksakt verdi: $e - 1 \approx 1{,}71828$ .

$n$	$h$	$T_n$	Feil	Feilreduksjon
2	0,5	1,7539	0,0356	-
4	0,25	1,7272	0,0089	$\displaystyle \frac{0{,}0356}{0{,}0089} \approx 4$
8	0,125	1,7205	0,0022	$\displaystyle \frac{0{,}0089}{0{,}0022} \approx 4$
16	0,0625	1,7188	0,00056	$\displaystyle \frac{0{,}0022}{0{,}00056} \approx 4$

Observasjon: Når vi doblar

n

, blir feilen redusert med faktor 4.
Dette stemmer med feilestimatet: Feilen går som

\displaystyle \frac{1}{n^2}

, så når

n \to 2n

\frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4n^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{n^2}

📝Oppgave 3.4.6

For Simpsons metode avtek feilen som $\displaystyle \frac{1}{n^4}$ .

a) Kor mykje blir feilen redusert når vi doblar $n$ ?
b) Viss $S_4$ gir feil $0{,}01$ , omtrent kor stor feil ventar du frå $S_8$ ?
c) Og frå $S_{16}$ ?

Samanlikning av metodane

Lat oss oppsummere dei tre hovudmetodane og når vi bør bruke kva.

Samanlikning av numeriske integrasjonsmetodar

O(h^2)

Metode	Feilorden	Eksakt for	Kompleksitet	Når bruke
Midtpunkt	$O(h^2)$	Grad $\leq 1$	Enkel	Rask tilnærming
Trapes	$O(h^2)$	Grad $\leq 1$	Enkel	Tabelldata
Simpson	$O(h^4)$	Grad $\leq 3$	Middels	Høg nøyaktigheit

✏️Eksempel 7: Praktisk samanlikning

Rekn ut $\int_0^1 \sqrt{1 + x^3} \, dx$ med alle tre metodane med $n = 4$ .

(Dette integralet har ingen elementær antiderivert.)

Med

h = 0{,}25

f(x) = \sqrt{1 + x^3}

$x$	$f(x)$
0	1,000
0,25	1,008
0,5	1,061
0,75	1,184
1	1,414

Midtpunktmetoden (bruker

x = 0{,}125, 0{,}375, 0{,}625, 0{,}875

M_4 = 0{,}25 \cdot [1{,}001 + 1{,}026 + 1{,}113 + 1{,}284] = 0{,}25 \cdot 4{,}424 = 1{,}106

Trapesmetoden:

T_4 = \frac{0{,}25}{2}[1{,}000 + 2(1{,}008) + 2(1{,}061) + 2(1{,}184) + 1{,}414]

= 0{,}125 \cdot 8{,}920 = 1{,}115

Simpsons metode:

$S_4 = \frac{0{,}25}{3}[1{,}000 + 4(1{,}008) + 2(1{,}061) + 4(1{,}184) + 1{,}414]$
$= \frac{0{,}25}{3}[1{,}000 + 4{,}032 + 2{,}122 + 4{,}736 + 1{,}414]$

$= \frac{0{,}25}{3} \cdot 13{,}304 = 1{,}109$
Numerisk utrekning (høg nøyaktigheit) gir $\approx 1{,}1114$ .
Simpsons metode er nærast!

📝Oppgave 3.4.7

Ein bil akselererer, og farten $v(t)$ (i m/s) blir målt kvart sekund:

$t$ (s)	0	1	2	3	4
$v(t)$ (m/s)	0	3	8	15	24

a) Bruk trapesmetoden til å finne den totale køyrde strekninga

s = \int_0^4 v(t) \, dt

.
b) Bruk Simpsons metode på dei same dataa.

c) Kva metode gir truleg det mest nøyaktige svaret? Grunngi.

Oppsummering

Numerisk integrasjon er eit kraftig verktøy når analytiske metodar ikkje strekkjer til. Dei viktigaste poenga er:

1. Rektangelmetoden er enkel men gir ofte store feil
2. Trapesmetoden bruker lineær interpolasjon og er god for tabelldata
3. Simpsons metode bruker parabolsk interpolasjon og konvergerer raskt
4. Feilane avtek som $O(h^2)$ for trapes og $O(h^4)$ for Simpson
5. Fleire delintervall gir betre nøyaktigheit, men kostar meir rekning

I praksis bruker vi ofte datamaskinar til numerisk integrasjon, men det er viktig å forstå metodane for å kunne vurdere resultata og velje rett metode.

📝Oppgave 3.4.8

Integralet $\int_0^1 e^{-x^2} \, dx$ dukkar opp i sannsynsrekning (normalfordelinga).

a) Vis at dette integralet ikkje kan løysast analytisk ved å prøve substitusjonar.
b) Bruk Simpsons metode med $n = 4$ til å tilnærme integralet.
c) Den eksakte verdien er $\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \text{erf}(1) \approx 0{,}7468$ . Kor nøyaktig er tilnærminga di?

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.