2.6 Areal under grafar

Rekne ut areal ved hjelp av bestemt integral.

50 min

10 oppgaver

Bestemt integralArealForteiknGeometrisk tolking

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.5Analysens fundamentalsetning

Brukes videre i

2.7Areal mellom kurver 3.6Volum av omdreiningslegemer

Areal og integrasjon

Ei av dei viktigaste bruksområda for integralrekning er arealberekning. Historisk sett var det nettopp problemet med å finne areal under kurver som leidde til utviklinga av integralrekninga.

I dette kapittelet skal vi sjå korleis det bestemte integralet kan brukast til å rekne ut areal, og kva vi må ta omsyn til når funksjonen tek negative verdiar.

Areal når $f(x) \geq 0$

Når ein funksjon $f(x)$ er ikkje-negativ på eit intervall $[a, b]$ , gir det bestemte integralet direkte arealet av området mellom grafen og $x$ -aksen.

Areal under graf (positiv funksjon)

f

✏️Eksempel 1: Areal under parabel

Finn arealet av området avgrensa av grafen til $f(x) = x^2$ , $x$ -aksen og linjene $x = 0$ og $x = 3$ .

Løysing:

Funksjonen $f(x) = x^2$ er ikkje-negativ for alle $x$ , så vi kan bruke integralet direkte.

$A = \int_0^3 x^2 \, dx$

Vi finn ein antiderivert: $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3}$

$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$

Svar: Arealet er $9$ arealeiningar.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Areal under graf som bestemt integral

Arealet under

f(x) = 4 - x^2

frå

-2

til

2

\displaystyle \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\, dx = \frac{32}{3}

. Endre grensene i Integral-kommandoen — kva skjer med forteiknet dersom du integrerer der grafen ligg under

x

-aksen?

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 4 - x^2
a = Integral(f, -2, 2)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 2.6.1

Finn arealet av området avgrensa av grafen, $x$ -aksen og dei oppgitte linjene.

f(x) = x^3

frå

x = 0

til

x = 2

f(x) = \sqrt{x}

frå

x = 0

til

x = 4

f(x) = e^x

frå

x = 0

til

x = 2

Løs oppgaven

Når integralet blir negativt

Kva skjer når funksjonen er negativ på heile eller delar av intervallet? Då gir det bestemte integralet ein negativ verdi for dei områda der grafen ligg under $x$ -aksen.

Dette er fordi integralet måler "forteiknsareal" - positivt over aksen og negativt under.

✏️Eksempel 2: Integral under x-aksen

Rekn ut $\int_0^2 (x - 3) \, dx$ og forklar resultatet geometrisk.

Løysing:

$\begin{aligned} &\int_0^2 (x - 3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_0^2 \\ = {}&\left( \frac{4}{2} - 6 \right) - (0 - 0) = 2 - 6 = -4 \end{aligned}$

Integralet er negativt!

Geometrisk forklaring:
Funksjonen $f(x) = x - 3$ er negativ for $x < 3$ . På intervallet $[0, 2]$ ligg heile grafen under $x$ -aksen.

Integralet $-4$ representerer "forteiknsarealet". Det faktiske arealet mellom grafen og $x$ -aksen er $|{-4}| = 4$ arealeiningar.

Svar: $\int_0^2 (x - 3) \, dx = -4$ . Grafen ligg under $x$ -aksen på $[0, 2]$ , så arealet mellom grafen og $x$ -aksen er $4$ .

Forteiknsareal

\int_a^b f(x) \, dx

📝Oppgave 2.6.2

Rekn ut integrala og forklar forteiknet på svaret.

\int_0^4 (x - 4) \, dx

\int_{-2}^0 x^3 \, dx

\int_{-1}^1 x \, dx

Løs oppgaven

Absolutt areal

Når vi skal finne det faktiske arealet (i arealeiningar) mellom ein graf og $x$ -aksen, må vi ta omsyn til at arealet alltid er positivt.

Vi bruker då absoluttverdien av funksjonen for å sikre at alle bidrag tel positivt.

Absolutt areal

f

✏️Eksempel 3: Absolutt areal

Finn det absolutte arealet mellom grafen til $f(x) = x^2 - 4$ og $x$ -aksen på intervallet $[-3, 3]$ .

Løysing:

Finn nullpunkta
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$

Bestem forteikn på kvart delintervall
- For $x \in [-3, -2]$ : $f(x) > 0$ (over $x$ -aksen)
- For $x \in [-2, 2]$ : $f(x) < 0$ (under $x$ -aksen)
- For $x \in [2, 3]$ : $f(x) > 0$ (over $x$ -aksen)

Rekn ut kvart delintegral

$\displaystyle I_1 = \int_{-3}^{-2} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{-3}^{-2}$
$\displaystyle = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - \left( -9 + 12 \right) = \frac{16}{3} - 3 = \frac{7}{3}$

$\displaystyle I_2 = \int_{-2}^{2} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{-2}^{2}$
$\displaystyle = \left( \frac{8}{3} - 8 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) = -\frac{16}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{32}{3}$

$\displaystyle I_3 = \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{2}^{3}$
$\displaystyle = \left( 9 - 12 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

Summer absoluttverdiane
$\displaystyle A = |I_1| + |I_2| + |I_3| = \frac{7}{3} + \frac{32}{3} + \frac{7}{3} = \frac{46}{3}$

Svar: Det absolutte arealet er $\displaystyle \frac{46}{3} \approx 15{,}3$ arealeiningar.

📝Oppgave 2.6.3

Finn det absolutte arealet mellom grafen og $x$ -aksen på det oppgitte intervallet.

f(x) = x^2 - 1

på

[-2, 2]

f(x) = \sin x

på

[0, 2\pi]

(Fordjuping: trigonometri frå kapittel 4.)

Løs oppgaven

Systematisk framgangsmåte

Når du skal rekne ut areal mellom ein graf og $x$ -aksen, er det viktig å følgje ein systematisk metode. Her er ei oppskrift som fungerer i alle tilfelle.

📜Framgangsmåte for arealberekning

For å finne arealet mellom grafen til

f(x)

x

-aksen på

[a, b]

1. Finn nullpunkta
Løys $f(x) = 0$ for $x \in [a, b]$ . Kall nullpunkta $x_1, x_2, \ldots, x_n$ (i stigande rekkjefølgje).

2. Del opp intervallet
Intervallet blir delt opp i: $[a, x_1], [x_1, x_2], \ldots, [x_n, b]$

3. Rekn ut kvart delintegral
For kvart delintervall $[x_i, x_{i+1}]$ , rekn ut $\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx$

4. Summer absoluttverdiane
$A = \sum |\text{delintegral}|$

✏️Eksempel 4: Areal for tredjegradsfunksjon

Finn arealet mellom grafen til $f(x) = x^3 - 4x$ og $x$ -aksen.

Løysing:

Finn nullpunkta
$x^3 - 4x = 0$
$x(x^2 - 4) = 0$
$x(x-2)(x+2) = 0$
$x = -2, 0, 2$

Bestem forteikn
Vi testar eit punkt i kvart intervall:
- $f(-3) = -27 + 12 = -15 < 0$ (under aksen)
- $f(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$ (over aksen)
- $f(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ (under aksen)
- $f(3) = 27 - 12 = 15 > 0$ (over aksen)

Vi bereknar arealet på $[-2, 2]$ :

Rekn ut delintegrala

$\displaystyle I_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0}$
$= 0 - (4 - 8) = 0 - (-4) = 4$

$\displaystyle I_2 = \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{0}^{2}$
$= (4 - 8) - 0 = -4$

Summer absoluttverdiane
$A = |4| + |-4| = 4 + 4 = 8$

Svar: Arealet er $8$ arealeiningar.

Merk: Grafen er symmetrisk om origo (odde funksjon), så dei to områda har like stort areal.

📝Oppgave 2.6.4

Finn arealet mellom grafen og $x$ -aksen.

f(x) = x^3 - x

på

[-1, 1]

f(x) = x^2 - 3x + 2

på

[0, 3]

Løs oppgaven

Praktiske bruksområde

Arealberekning med integral har mange praktiske bruksområde:

- Fysikk: Arbeid utført av ei variabel kraft, strekning frå fartsfunksjon
- Økonomi: Totalt overskot, konsumentoverskot
- Biologi: Populasjonsvekst over tid
- Teknikk: Berekning av materialmengder

Lat oss sjå på nokre døme.

✏️Eksempel 5: Fart og strekning

Ein bil har fart gitt ved $v(t) = 20 - 4t$ (m/s) der $t$ er tida i sekund.

a) Finn den totale tilbakelagde strekninga for $t \in [0, 10]$ .
b) Finn posisjonen til bilen etter 10 sekund dersom han startar i $x = 0$ .

Løysing:

Først finn vi når bilen stoppar og snur:
$v(t) = 0 \Rightarrow 20 - 4t = 0 \Rightarrow t = 5$ s

a) Total tilbakelagd strekning

Strekning er alltid positiv, så vi må ta absoluttverdien:

For $t \in [0, 5]$ : $v(t) > 0$ (bilen køyrer framover)
For $t \in [5, 10]$ : $v(t) < 0$ (bilen ryggar)

$s_1 = \int_0^5 (20 - 4t) \, dt = [20t - 2t^2]_0^5 = 100 - 50 = 50$ m

$s_2 = \int_5^{10} (20 - 4t) \, dt = [20t - 2t^2]_5^{10} = (200 - 200) - (100 - 50) = -50$ m

Total strekning $= |50| + |-50| = 100$ m

b) Posisjon etter 10 sekund

Posisjon = startposisjon + netto forflytting:

$x(10) = 0 + \int_0^{10} (20 - 4t) \, dt = 50 + (-50) = 0$ m

Bilen er tilbake ved startposisjonen!

Svar: a) 100 m, b) 0 m (tilbake ved start)

📝Oppgave 2.6.5

Løys oppgåvene.

Ein partikkel rører seg langs ei linje med fart $v(t) = t^2 - 4t + 3$ (m/s). Finn den totale tilbakelagde strekninga for $t \in [0, 4]$ .

Vasstanden i ei elv endrar seg med $\displaystyle h'(t) = \cos(\frac{\pi t}{6})$ (cm/time) der $t$ er timar etter midnatt. Kor mange centimeter stig og søkk vasstanden til saman frå $t = 0$ til $t = 12$ ? (Fordjuping: bruker trigonometriske funksjonar og radianar frå kapittel 4.)

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært:

1. Areal under positiv graf: $A = \int_a^b f(x) \, dx$ når $f(x) \geq 0$

2. Forteiknsareal: Integralet gir positivt bidrag over $x$ -aksen og negativt under

3. Absolutt areal: $A = \int_a^b |f(x)| \, dx$
- Finn nullpunkta
- Del opp ved nullpunkta
- Summer absoluttverdiane av delintegrala

4. Praktiske bruksområde: Strekning vs. forflytting, totale mengder

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Areal og integrasjon

Areal når f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0

Utforsk: Areal under graf som bestemt integral

Når integralet blir negativt

Absolutt areal

Systematisk framgangsmåte

Praktiske bruksområde

Oppsummering

Areal når $f(x) \geq 0$