2.4
Bestemt integral som grenseverdi

2.4 Bestemt integral som grenseverdi

Alle fag for VG3

Integralet som grense for ein sum av rektangel.

60 min
10 oppgaver
RiemannsumGrenseverdiØvre sumNedre sum
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Areal under ei kurve

Korleis finn vi arealet under ei kurve? For rektangel og trekantar har vi enkle formlar, men kva med arealet under ei bøygd kurve som f(x)=x2f(x) = x^2?

Ideen er gammal - allereie Arkimedes (ca. 250 f.Kr.) brukte ein genial metode: Del opp arealet i mange smale rektangel, og lat talet på rektangel gå mot uendeleg.

Denne ideen er sjølve grunnlaget for integrasjon og blir kalla Riemannsummen, oppkalla etter den tyske matematikaren Bernhard Riemann (1826-1866).

Inndeling av eit intervall
Lat [a,b][a, b] vere eit lukka intervall. Ei inndeling av [a,b][a, b] i nn delintervall er gitt ved punkta:

a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=ba = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b

Kvart delintervall har breidd:
Δx=b−an\Delta x = \frac{b - a}{n}

når vi bruker lik inndeling (alle delintervall like breie).

✏️Eksempel 1: Inndeling av eit intervall

Del intervallet [0,4][0, 4] inn i 4 like delintervall. Finn delingspunkta og breidda Δx\Delta x.

Løysing:

Breidda av kvart delintervall:
Δx=b−an=4−04=1\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - 0}{4} = 1

Delingspunkta blir:
- x0=0x_0 = 0
- x1=1x_1 = 1
- x2=2x_2 = 2
- x3=3x_3 = 3
- x4=4x_4 = 4

Delintervalla er: [0,1][0, 1], [1,2][1, 2], [2,3][2, 3], [3,4][3, 4].

Svar: Δx=1\Delta x = 1, og delingspunkta er 0,1,2,30, 1, 2, 3 og 44.

📝Oppgave 1

Del intervallet [1,5][1, 5] inn i 8 like delintervall. Finn Δx\Delta x og skriv opp alle delingspunkta x0,x1,…,x8x_0, x_1, \ldots, x_8.

Riemannsum
Lat ff vere ein funksjon definert på [a,b][a, b], og lat intervallet vere delt i nn like delintervall med breidd Δx=b−an\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}.

Ein Riemannsum er summen av areala til nn rektangel:

Sn=∑i=1nf(xi∗)⋅ΔxS_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \cdot \Delta x

der xi∗x_i^* er eit punkt i det ii-te delintervallet.

Vanlege val for xi∗x_i^*:
- Venstresum: xi∗=xi−1x_i^* = x_{i-1} (venstre endepunkt)
- Høgresum: xi∗=xix_i^* = x_i (høgre endepunkt)
- Midtpunktsum: xi∗=xi−1+xi2\displaystyle x_i^* = \frac{x_{i-1} + x_i}{2} (midtpunktet)

✏️Eksempel 2: Rekn ut ein Riemannsum

Lat f(x)=x2f(x) = x^2 på [0,2][0, 2]. Rekn ut høgresummen S4S_4 med n=4n = 4 delintervall.

Løysing:

Finn Δx\Delta x:
Δx=2−04=0,5\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0{,}5

Finn delingspunkta:
x0=0,x1=0,5,x2=1,x3=1,5,x4=2x_0 = 0, \quad x_1 = 0{,}5, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 1{,}5, \quad x_4 = 2

For høgresum bruker vi x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4:
S4=f(0,5)⋅0,5+f(1)⋅0,5+f(1,5)⋅0,5+f(2)⋅0,5\begin{aligned} &S_4 \\ = {}&f(0{,}5) \cdot 0{,}5 + f(1) \cdot 0{,}5 + f(1{,}5) \cdot 0{,}5 + f(2) \cdot 0{,}5 \end{aligned}

Rekn ut funksjonsverdiane:
S4=0,25⋅0,5+1⋅0,5+2,25⋅0,5+4⋅0,5S_4 = 0{,}25 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 + 2{,}25 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}5
S4=0,125+0,5+1,125+2=3,75S_4 = 0{,}125 + 0{,}5 + 1{,}125 + 2 = 3{,}75

Kommentar: Den eksakte verdien av ∫02x2 dx=83≈2,67\displaystyle \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3} \approx 2{,}67. Høgresummen overestimerer fordi f(x)=x2f(x) = x^2 er veksande.

Svar: S4=3,75S_4 = 3{,}75

📝Oppgave 2

Lat f(x)=x2f(x) = x^2 på [0,2][0, 2]. Rekn ut venstresummen S4S_4 med n=4n = 4 delintervall.

📜Over- og undersum

For ein veksande funksjon ff på [a,b][a, b]:
- Venstresummen er ein undersum (underestimerer arealet)
- Høgresummen er ein oversum (overestimerer arealet)

For ein avtakande funksjon er det motsett.

Viktig observasjon: Når n→∞n \to \infty, vil både over- og undersummen konvergere mot det eksakte arealet.

✏️Eksempel 3: Sigmanotasjon for Riemannsum

Skriv høgresummen for f(x)=x2f(x) = x^2 på [0,3][0, 3] med nn delintervall ved hjelp av sigmanotasjon.

Løysing:

Finn Δx\Delta x og delingspunkta:
Δx=3−0n=3n\Delta x = \frac{3 - 0}{n} = \frac{3}{n}
xi=0+i⋅3n=3inx_i = 0 + i \cdot \frac{3}{n} = \frac{3i}{n}

Skriv høgresummen:
Sn=∑i=1nf(xi)⋅Δx=∑i=1n(3in)2⋅3nS_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{3i}{n}\right)^2 \cdot \frac{3}{n}

Forenkle:
Sn=∑i=1n9i2n2⋅3n=27n3∑i=1ni2S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{9i^2}{n^2} \cdot \frac{3}{n} = \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2

Svar: Sn=27n3∑i=1ni2\displaystyle S_n = \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2

📝Oppgave 3

Skriv høgresummen for f(x)=2xf(x) = 2x på [0,4][0, 4] med nn delintervall ved hjelp av sigmanotasjon. Forenkle uttrykket.

Viktige summeformlar
For å rekne ut Riemannsummar treng vi desse summeformlane:

∑i=1n1=n\sum_{i=1}^{n} 1 = n

∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}

∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

∑i=1ni3=(n(n+1)2)2\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

✏️Eksempel 4: Rekn ut grenseverdi av Riemannsum

Finn ∫03x2 dx\displaystyle\int_0^3 x^2 \, dx ved å ta grenseverdien lim⁡n→∞Sn\lim_{n \to \infty} S_n.

Løysing:

Frå Eksempel 3 har vi:
Sn=27n3∑i=1ni2=27n3⋅n(n+1)(2n+1)6S_n = \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{27}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Forenkle:
Sn=27⋅n(n+1)(2n+1)6n3=27(n+1)(2n+1)6n2S_n = \frac{27 \cdot n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{27(n+1)(2n+1)}{6n^2}

Utvid teljaren:
Sn=27(2n2+3n+1)6n2=27⋅2n2+27⋅3n+276n2S_n = \frac{27(2n^2 + 3n + 1)}{6n^2} = \frac{27 \cdot 2n^2 + 27 \cdot 3n + 27}{6n^2}

Sn=54n2+81n+276n2=9+13,5n+4,5n2S_n = \frac{54n^2 + 81n + 27}{6n^2} = 9 + \frac{13{,}5}{n} + \frac{4{,}5}{n^2}

Ta grenseverdien:
lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞(9+13,5n+4,5n2)=9\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(9 + \frac{13{,}5}{n} + \frac{4{,}5}{n^2}\right) = 9

Svar: ∫03x2 dx=9\displaystyle\int_0^3 x^2 \, dx = 9

📝Oppgave 4

Bruk grenseverdien av ein Riemannsum til å vise at ∫042x dx=16\displaystyle\int_0^4 2x \, dx = 16.

Det bestemte integralet
Lat ff vere ein kontinuerleg funksjon på [a,b][a, b]. Det bestemte integralet av ff frå aa til bb er definert som:

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗)⋅Δx\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \cdot \Delta x

der Δx=b−an\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n} og xi∗x_i^* er eit vilkårleg punkt i det ii-te delintervallet.

Tolking:
- Dersom f(x)≥0f(x) \geq 0 på [a,b][a, b], gir integralet arealet mellom grafen og xx-aksen.
- Dersom f(x)<0f(x) < 0 nokre stader, får vi forteiknsarealet (negativt bidrag under xx-aksen).

✏️Eksempel 5: Integral som areal

Rekn ut ∫023 dx\displaystyle\int_0^2 3 \, dx både geometrisk og ved Riemannsum.

Løysing:

Geometrisk:
Funksjonen f(x)=3f(x) = 3 er ei horisontal linje. Arealet er eit rektangel med breidd 2−0=22 - 0 = 2 og høgd 33:
A=2⋅3=6A = 2 \cdot 3 = 6

Ved Riemannsum:
Sn=∑i=1nf(xi)⋅Δx=∑i=1n3⋅2n=6n∑i=1n1=6n⋅n=6\begin{aligned} S_n &= \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x \\ &= \sum_{i=1}^{n} 3 \cdot \frac{2}{n} = \frac{6}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 = \frac{6}{n} \cdot n = 6 \end{aligned}

lim⁡n→∞Sn=6\lim_{n \to \infty} S_n = 6

Svar: ∫023 dx=6\displaystyle\int_0^2 3 \, dx = 6

📝Oppgave 5

Rekn ut ∫145 dx\displaystyle\int_1^4 5 \, dx både geometrisk og ved å bruke definisjonen av det bestemte integralet (Riemannsum).

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Inndeling: Intervallet [a,b][a, b] blir delt i nn like delar med breidd Δx=b−an\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}.
- Riemannsum: ∑i=1nf(xi)Δx\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x tilnærmar arealet under grafen med rektangel.
- Over- og undersum: Vel vi høgaste/lågaste funksjonsverdi i kvart delintervall, får vi ei øvre/nedre grense for arealet.
- Bestemt integral: ∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi)Δx\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x — grenseverdien av Riemannsummane.
- Summeformlar: ∑i=1ni=n(n+1)2\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} og ∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} blir brukte til å rekne ut grenseverdiar eksakt.

Nøkkelomgrep


OmgrepForklaring
Δx\Delta xBreidda på kvart delintervall, b−an\displaystyle \frac{b-a}{n}
RiemannsumSum av rektangelareal som tilnærmar integralet
Oversum/undersumØvre og nedre tilnærming til arealet
Bestemt integralGrenseverdien av Riemannsummen når n→∞n \to \infty

Viktige formlar


- Δx=b−an\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}
- ∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi)Δx\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x
- ∑i=1ni=n(n+1)2\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}, ∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \quad \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.