8.3 Kombinasjoner | Matematikk R1

Uordnede utvalg og binomialkoeffisienter.

50 min

20 oppgaver

KombinasjonerBinomialkoeffisientUordnede utvalgn over k

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.2Permutasjoner

Brukes videre i

8.4Binomialkoeffisienter og Pascals trekant

Sannsyn -- frå teljing til utrekning

Sannsyn handlar om å talfeste kor «truleg» noko er. I kombinatorikken lærte vi å telje moglege utfall. No bruker vi dette til å berekne sannsyn.

Grunnideen er enkel: Om alle utfall er like sannsynlege, er sannsynet for ei hending lik forholdet mellom talet på gunstige utfall og det totale talet på utfall.

Utfallsrom og hendingar

\Omega

📝Oppgave 1

Skriv opp utfallsrommet $\Omega$ og hendinga $A$ = «summen er $7$ » når du kastar to terningar.

Klassisk sannsyn (Laplace)

\Omega

✏️Eksempel 1: Terningkast

Du kastar to terningar. Finn sannsynet for at summen er $7$ .

Løysing:

Frå oppgåve 1 veit vi at $|\Omega| = 36$ og $|A| = 6$ .

$P(\text{sum} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

📝Oppgave 2

Du kastar to terningar. Finn sannsynet for at summen er minst $10$ .

📝Oppgave 3

Frå ein kortstokk med $52$ kort blir eitt kort trekt tilfeldig. Finn sannsynet for å trekkje:

eit ess

eit hjarterkort

hjarter ess

eit biletkort (knekt, dame, konge)

Løs oppgaven Tren

📜Komplementsetninga

Komplementet

A^c

(eller

\bar{A}

) til ei hending

A

er hendinga «

A

inntreff ikkje».

$P(A^c) = 1 - P(A)$

Nyttig når: Det er lettare å telje utfalla der $A$ ikkje inntreff enn utfalla der $A$ inntreff.

✏️Eksempel 2: Komplementsetninga

Du kastar $3$ myntar. Finn sannsynet for å få minst éin mynt med krone.

Løysing:

$|\Omega| = 2^3 = 8$ (kvar mynt har $2$ utfall).

La $A$ = «minst éi krone». Då er $A^c$ = «inga krone» = «berre mynt».

$\displaystyle P(A^c) = P(\text{berre mynt}) = \frac{1}{8}$ (berre utfallet MMM)

$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

📝Oppgave 4

Du kastar ein terning $4$ gonger. Finn sannsynet for å få minst éin seksar.

📜Addisjonssetninga

For to hendingar

A

B

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

der $A \cup B$ tyder « $A$ eller $B$ (eller begge)» og $A \cap B$ tyder « $A$ og $B$ (begge)».

Spesialtilfelle: Om $A$ og $B$ er disjunkte ( $A \cap B = \emptyset$ ):
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

✏️Eksempel 3: Addisjonssetninga

Du trekkjer eitt kort frå ein kortstokk med $52$ kort. Finn sannsynet for å trekkje eit hjarterkort eller eit ess.

Løysing:

La $A$ = hjarter og $B$ = ess.

$\displaystyle P(A) = \frac{13}{52}$ , $\displaystyle \quad P(B) = \frac{4}{52}$ , $\displaystyle \quad P(A \cap B) = \frac{1}{52}$ (hjarter ess)

$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

Vi trekkjer frå $P(A \cap B)$ for å unngå å telje hjarter ess dobbelt.

📝Oppgave 5

I ein klasse med $30$ elevar spelar $18$ fotball, $14$ handball, og $8$ spelar begge delar. Finn sannsynet for at ein tilfeldig vald elev spelar fotball eller handball.

📝Oppgave 6

Ein boks inneheld $5$ raude, $3$ blå og $2$ grøne kuler. Du trekkjer éi kule tilfeldig. Finn sannsynet for at kula er raud eller blå.

Sannsyn med kombinatorikk

Mange sannsynsproblem krev at vi tel utfall systematisk med kombinatorikk. Oppskrifta er:

1. Bestem utfallsrommet og berekn $|\Omega|$
2. Bestem hendinga $A$ og berekn $|A|$
3. Bruk $\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

Ofte bruker vi $\binom{n}{r}$ for å telje utfall.

✏️Eksempel 4: Korttrekk

Frå ein kortstokk med $52$ kort blir $5$ kort trekte. Finn sannsynet for at nøyaktig $3$ av dei er hjarter.

Løysing:

$|\Omega| = \binom{52}{5} = 2{\,}598{\,}960$

$|A|$ : Vel $3$ hjarter frå $13$ og $2$ ikkje-hjarter frå $39$ :

$|A| = \binom{13}{3} \cdot \binom{39}{2} = 286 \cdot 741 = 211{\,}926$

$P(A) = \frac{211{\,}926}{2{\,}598{\,}960} \approx 0{,}0815$

📝Oppgave 7

Ein komité med $5$ personar blir vald frå ei gruppe med $8$ menn og $6$ kvinner. Finn sannsynet for at komitéen har nøyaktig $3$ menn og $2$ kvinner.

📝Oppgave 8

I ein boks ligg $10$ kuler nummererte $1$ -- $10$ . Du trekkjer $3$ kuler tilfeldig (utan tilbakelegging). Finn sannsynet for at alle tre kulene har partal.

📝Oppgave 9

6

personar set seg tilfeldig rundt eit rundt bord. Finn sannsynet for at to bestemte personar (Per og Kari) sit ved sida av kvarandre.

📝Oppgave 10

Du kastar ein mynt $5$ gonger. Finn sannsynet for å få nøyaktig $3$ krone.

📝Oppgave 11

I ei gruppe på $20$ personar er $5$ venstrehendte. Du vel $4$ personar tilfeldig. Finn sannsynet for at minst éin er venstrehendt.

📝Oppgave 12

I ein klasse på $25$ elevar har $7$ fødselsdag i januar. Tre tilfeldige elevar blir trekte ut til å halde presentasjon. Finn sannsynet for at:

a) Alle tre har fødselsdag i januar.
b) Ingen av dei tre har fødselsdag i januar.
c) Nøyaktig éin har fødselsdag i januar.

📝Oppgave 13

I Lotto blir $7$ tal trekte frå $1$ -- $34$ . Finn sannsynet for å få nøyaktig $4$ rette om du har levert éi rekkje.

📝Oppgave 14

To terningar blir kasta. La $A$ = «summen er $8$ » og $B$ = «begge viser partal». Finn $P(A)$ , $P(B)$ , $P(A \cap B)$ og $P(A \cup B)$ .

📝Oppgave 15

Fødselsdagsproblemet: I ei gruppe på

n

personar, kva er sannsynet for at minst to har fødselsdag på same dag? (Gå ut frå

365

dagar, alle like sannsynlege.)

a) Set opp uttrykket for $P(\text{alle forskjellige})$ .
b) Berekn sannsynet for at minst to deler fødselsdag når $n = 23$ .

Oppsummering

Utfallsrom $\Omega$ : Mengda av alle moglege utfall.

Klassisk sannsyn: $\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ (alle utfall like sannsynlege).

Komplementsetninga: $P(A^c) = 1 - P(A)$ -- særleg nyttig for «minst éin»-problem.

Addisjonssetninga: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Sannsyn med kombinatorikk: Bruk $\binom{n}{r}$ til å telje gunstige og totale utfall systematisk.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.