8.2 Permutasjoner | Matematikk R1

Ordnede utvalg med og uten tilbakelegging.

50 min

21 oppgaver

PermutasjonerFakultetOrdnede utvalgTilbakelegging

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Multiplikasjonsprinsippet

Brukes videre i

8.3Kombinasjoner

Ordna og uordna utval

Når vi vel element frå ei mengd, er det avgjerande om rekkjefølgja har noko å seie eller ikkje.

- Ordna utval (permutasjon): Rekkjefølgja tel. Å velje leiar og nestleiar er noko anna enn nestleiar og leiar.
- Uordna utval (kombinasjon): Rekkjefølgja er likegyldig. Eit utval av tre personar til ein komité er det same uansett kva for rekkjefølgje dei blir valde i.

Begge tilfella kan bereknast effektivt med formlar baserte på fakultet.

Fakultet

n

Fakultet kan forenklast trinnvis:

$n! = n \cdot (n-1)!$

Dette tyder at $\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-r+1)$ , som er produktet av dei $r$ største faktorane i $n!$ .

📝Oppgave 1

Rekn ut.

6!

\displaystyle \frac{8!}{6!}

\displaystyle \frac{10!}{7! \cdot 3!}

\displaystyle \frac{100!}{99!}

Løs oppgaven Tren

Permutasjonar

n

✏️Eksempel 1: Permutasjonar

a) På kor mange måtar kan $5$ bøker plasserast på ei hylle?
b) $10$ løparar deltek i eit løp. På kor mange måtar kan gull, sølv og bronse fordelast?

Løysing:

a) Alle $5$ bøkene skal ordnast: $P(5) = 5! = 120$ måtar.

b) Vi vel $3$ løparar frå $10$ der rekkjefølgja tyder noko:

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \text{ måtar}$

📝Oppgave 2

Ein kode består av bokstavane A, B, C, D, E brukte nøyaktig éin gong. Kor mange kodar kan lagast?

📝Oppgave 3

I ein klasse med $25$ elevar skal det veljast president, visepresident og kasserar. Ingen kan ha meir enn eitt verv. Kor mange moglege utfall finst?

Kombinasjonar og binomialkoeffisientar

r

Permutasjon vs. kombinasjon

Den vanlegaste feilen er å blande permutasjonar og kombinasjonar.

Spør deg sjølv: Tyder rekkjefølgja noko?
- Velje $3$ vinnarar (1., 2., 3. plass) frå $10$ → permutasjon ( $P(10,3) = 720$ )
- Velje $3$ representantar frå $10$ → kombinasjon ( $\binom{10}{3} = 120$ )

Samanhengen: $\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{P(n,r)}{r!}$ fordi vi deler bort dei $r!$ rekkjefølgjene.

✏️Eksempel 2: Kombinasjonar

I ei gruppe på $12$ personar skal det veljast ein komité med $4$ medlemmer. Kor mange moglege komitéar finst?

Løysing:

Rekkjefølgja har ikkje noko å seie (ein komité er den same uansett kva for rekkjefølgje medlemmene blir valde i).

$\binom{12}{4} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11{\,}880}{24} = 495$

Det finst $495$ moglege komitéar.

📝Oppgave 4

Rekn ut.

\binom{7}{3}

\binom{10}{2}

\binom{8}{8}

\binom{20}{18}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

I Lotto vel du $7$ tal frå $1$ til $34$ . Kor mange moglege Lotto-rekkjer finst?

Pascals trekant

Binomialkoeffisientane kan ordnast i ein trekant kjend som Pascals trekant. Kvart tal er summen av dei to tala rett over:

$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\ & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \end{array}$

Rad $n$ (talt frå $0$ ) inneheld tala $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ .

📜Pascals regel

For alle heiltal

n \geq 1

1 \leq r \leq n-1

$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$

Denne regelen forklarar kvifor kvart tal i Pascals trekant er summen av dei to over.

📝Oppgave 6

Bruk Pascals regel til å berekne $\binom{6}{2}$ ved hjelp av rad $5$ i Pascals trekant.

📝Oppgave 7

Vis at summen av alle binomialkoeffisientane i rad $n$ er $2^n$ , dvs. $\displaystyle\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$ .

✏️Eksempel 3: Pokerhender

Ei pokerhand består av $5$ kort frå ein standard kortstokk med $52$ kort. Kor mange moglege hender finst? Kor mange av dei er «flush» (alle $5$ kort i same farge)?

Løysing:

Tal på hender totalt: $\displaystyle \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{120} = 2{\,}598{\,}960$

For flush: Vel farge ( $4$ moglegheiter), deretter $5$ av $13$ kort i den fargen:

$4 \cdot \binom{13}{5} = 4 \cdot 1287 = 5148$

(Dette inkluderer straight flush, som er ei undergruppe.)

📝Oppgave 8

Ein klasse har $14$ gutar og $11$ jenter. På kor mange måtar kan det veljast ei gruppe på $5$ elevar som inneheld nøyaktig $3$ gutar og $2$ jenter?

📝Oppgave 9

Frå ein kortstokk med $52$ kort blir $5$ kort trekte. Kor mange hender inneheld nøyaktig $2$ ess?

📝Oppgave 10

Forklar kort skilnaden mellom $P(8, 3)$ og $\binom{8}{3}$ , og rekn ut begge.

📝Oppgave 11

Kor mange diagonalar har ein konveks $n$ -kant? Rekn ut for $n = 8$ .

📝Oppgave 12

Kor mange bokstavkombinasjonar (ordna) kan lagast av bokstavane i ordet BANANA?

📝Oppgave 13

I eit rutenett skal du gå frå hjørne A (øvst til venstre) til hjørne B (nedst til høgre). Du kan berre gå til høgre (H) eller nedover (N). Rutenettet er $5$ steg til høgre og $3$ steg ned. Kor mange kortaste vegar finst?

📝Oppgave 14

Ved bruk av binomialformelen $(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ :

a) Utvid $(x + 2)^4$ .
b) Finn koeffisienten framfor $x^3$ i utviklinga av $(2x - 3)^5$ .

📝Oppgave 15

I eit fotballag med $20$ spelarar skal det veljast $11$ som startar kampen. Kor mange moglege startoppstillingar finst (utan omsyn til posisjon)?

📝Oppgave 16

Vis algebraisk at $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ .

Oppsummering

Fakultet: $n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1$ , og $0! = 1$ .

Permutasjonar (ordna utval): $\displaystyle P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

Kombinasjonar (uordna utval): $\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Samanhengen: $\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{P(n,r)}{r!}$

Pascals regel: $\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$

Binomialformelen: $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$

Hugseregel: Tyder rekkjefølgja noko? Ja $\rightarrow$ permutasjon. Nei $\rightarrow$ kombinasjon.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.