Tilbake
6.2
Vektorregning

6.2 Vektorregning

Alle fag for VG2

Skalarprodukt, lengde og vinkel mellom vektorer.

55 min
12 oppgaver
SkalarproduktVektorlengdeVinkel mellom vektorerOrtogonalitet
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Lengd av ein vektor

Lengda (eller norma) til ein vektor er avstanden frå startpunktet til sluttpunktet. Vi bruker Pytagoras' setning til å rekne ut denne.

Lengd av vektor
Lengda (eller norma) til ein vektor v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] er:

∣v⃗∣=a2+b2|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}

Lengda blir skriven med vertikale strekar rundt vektoren: ∣v⃗∣|\vec{v}|.

Merk: Lengda er alltid eit ikkje-negativt tal.

✏️Eksempel 1: Lengd av vektor

Finn lengda til vektorane:

a) u⃗=[3,4]\vec{u} = [3, 4]
b) v⃗=[−5,12]\vec{v} = [-5, 12]
c) w⃗=[2,−2]\vec{w} = [2, -2]

Løysing:

a) ∣u⃗∣=32+42=9+16=25=5|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

b) ∣v⃗∣=(−5)2+122=25+144=169=13|\vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13

c) ∣w⃗∣=22+(−2)2=4+4=8=22|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

📝Oppgave 1

Finn lengda til vektorane.

a
a⃗=[6,8]\vec{a} = [6, 8]
b
b⃗=[5,−12]\vec{b} = [5, -12]
c
c⃗=[−1,1]\vec{c} = [-1, 1]
d
d⃗=[0,7]\vec{d} = [0, 7]
Løs oppgavenTren

Einingsvektor

Nokre gonger treng vi ein vektor med lengd 1 som peikar i ei bestemt retning.

Einingsvektor
Ein einingsvektor er ein vektor med lengd 1.

For å finne einingsvektoren v^\hat{v} i same retning som v⃗\vec{v}, deler vi v⃗\vec{v} på si eiga lengd:

v^=v⃗∣v⃗∣=1∣v⃗∣v⃗\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}

Merk: Vi bruker ofte "hatt"-notasjon (v^\hat{v}) for einingsvektorar.

✏️Eksempel 2: Einingsvektor

Finn einingsvektoren i same retning som v⃗=[3,4]\vec{v} = [3, 4].

Løysing:

Først finn vi lengda:
∣v⃗∣=32+42=25=5|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5

Einingsvektoren blir:
v^=15[3,4]=[35,45]\hat{v} = \frac{1}{5}[3, 4] = \left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right]

Kontroll: ∣v^∣=(35)2+(45)2=925+1625=2525=1\displaystyle |\hat{v}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ✓

📝Oppgave 2

Finn einingsvektoren i same retning som den gitte vektoren.

a
u⃗=[5,12]\vec{u} = [5, 12]
b
v⃗=[1,1]\vec{v} = [1, 1]
c
w⃗=[−4,3]\vec{w} = [-4, 3]

Skalarproduktet

Skalarproduktet (òg kalla prikkproduktet eller det indre produktet) er ein operasjon mellom to vektorar som gir eit tal (ein skalar).

Skalarprodukt
Skalarproduktet av to vektorar u⃗=[a1,b1]\vec{u} = [a_1, b_1] og v⃗=[a2,b2]\vec{v} = [a_2, b_2] er:

u⃗⋅v⃗=a1⋅a2+b1⋅b2\vec{u} \cdot \vec{v} = a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2

Skalarproduktet er eit tal, ikkje ein vektor.

Reknereglar:
- u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} (kommutativ)
- u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} (distributiv)
- (ku⃗)⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗)(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})
- v⃗⋅v⃗=∣v⃗∣2\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2

✏️Eksempel 3: Skalarprodukt

La u⃗=[2,3]\vec{u} = [2, 3] og v⃗=[4,−1]\vec{v} = [4, -1].

Rekn ut:
a) u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}
b) v⃗⋅u⃗\vec{v} \cdot \vec{u}
c) u⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{u}
d) ∣u⃗∣2|\vec{u}|^2

Løysing:

a) u⃗⋅v⃗=2⋅4+3⋅(−1)=8−3=5\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5

b) v⃗⋅u⃗=4⋅2+(−1)⋅3=8−3=5\vec{v} \cdot \vec{u} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = 8 - 3 = 5

Vi ser at u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}.

c) u⃗⋅u⃗=2⋅2+3⋅3=4+9=13\vec{u} \cdot \vec{u} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13

d) ∣u⃗∣2=(22+32)2=22+32=13|\vec{u}|^2 = (\sqrt{2^2 + 3^2})^2 = 2^2 + 3^2 = 13

Vi stadfestar at u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2.

📝Oppgave 3

La a⃗=[3,−2]\vec{a} = [3, -2] og b⃗=[1,4]\vec{b} = [1, 4]. Rekn ut:

a
a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}
b
a⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{a}
c
b⃗⋅b⃗\vec{b} \cdot \vec{b}
d
(a⃗+b⃗)⋅a⃗(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a}
Løs oppgavenTren

Vinkel mellom vektorar

Skalarproduktet har ei viktig geometrisk tolking: det fortel oss om vinkelen mellom to vektorar.

📜Vinkel mellom vektorar
Vinkelen θ\theta mellom to vektorar u⃗\vec{u} og v⃗\vec{v} er gitt ved:

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

eller ekvivalent:

u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta

Vinkelen θ\theta er alltid mellom 0°0° og 180°180°.

📊Vinkel mellom vektorar

Dra i punkta for å endre vektorane og sjå korleis vinkelen og skalarproduktet endrar seg.

✏️Eksempel 4: Vinkel mellom vektorar

Finn vinkelen mellom u⃗=[1,3]\vec{u} = [1, \sqrt{3}] og v⃗=[3,1]\vec{v} = [\sqrt{3}, 1].

Løysing:

Steg 1: Rekn ut skalarproduktet:
u⃗⋅v⃗=1⋅3+3⋅1=3+3=23\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

Steg 2: Rekn ut lengdene:
∣u⃗∣=12+(3)2=1+3=2|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2
∣v⃗∣=(3)2+12=3+1=2|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2

Steg 3: Bruk vinkelformelen:
cos⁡θ=232⋅2=234=32\cos \theta = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Steg 4: Finn vinkelen:
θ=arccos⁡(32)=30°\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30°

Vinkelen mellom vektorane er 30°30°.

📝Oppgave 4

Finn vinkelen mellom vektorpara.

a
u⃗=[1,0]\vec{u} = [1, 0] og v⃗=[1,1]\vec{v} = [1, 1]
b
a⃗=[3,4]\vec{a} = [3, 4] og b⃗=[4,−3]\vec{b} = [4, -3]
c
p⃗=[2,2]\vec{p} = [2, 2] og q⃗=[−1,1]\vec{q} = [-1, 1]
d
r⃗=[1,1]\vec{r} = [1, 1] og s⃗=[−1,−1]\vec{s} = [-1, -1]
Løs oppgavenTren

Ortogonale vektorar

Når to vektorar står vinkelrett på kvarandre, seier vi at dei er ortogonale.

Ortogonale vektorar
To vektorar u⃗\vec{u} og v⃗\vec{v} er ortogonale (vinkelrette) viss og berre viss:

u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Skrivemåte: u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}

Merk: Dette følgjer av vinkelformelen: Dersom θ=90°\theta = 90°, så er cos⁡90°=0\cos 90° = 0, og dermed u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

✏️Eksempel 5: Ortogonale vektorar

a) Avgjer om u⃗=[2,3]\vec{u} = [2, 3] og v⃗=[3,−2]\vec{v} = [3, -2] er ortogonale.

b) Finn ein vektor som er ortogonal på w⃗=[4,5]\vec{w} = [4, 5].

Løysing:

a) Vi reknar ut skalarproduktet:
u⃗⋅v⃗=2⋅3+3⋅(−2)=6−6=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0

Sidan u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, er u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}. Ja, dei er ortogonale.

b) La n⃗=[a,b]\vec{n} = [a, b] vere ortogonal på w⃗=[4,5]\vec{w} = [4, 5].

Då må w⃗⋅n⃗=0\vec{w} \cdot \vec{n} = 0:
4a+5b=04a + 5b = 0

Vel vi a=5a = 5, får vi b=−4b = -4.

Svar: n⃗=[5,−4]\vec{n} = [5, -4] er ortogonal på w⃗\vec{w}.

Generelt tips: For v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] er [−b,a][-b, a] og [b,−a][b, -a] alltid ortogonale på v⃗\vec{v}.

📝Oppgave 5

Arbeid med ortogonale vektorar.

a

Avgjer om a⃗=[5,2]\vec{a} = [5, 2] og b⃗=[2,−5]\vec{b} = [2, -5] er ortogonale.

b

Finn ein vektor ortogonal på u⃗=[3,−1]\vec{u} = [3, -1].

c

Finn alle vektorar med lengd 5 som er ortogonale på v⃗=[3,4]\vec{v} = [3, 4].

Projeksjon av vektor

Projeksjonen av ein vektor på ein annan er "skuggen" av den første vektoren langs den andre.

Projeksjon
Projeksjonen av u⃗\vec{u} på v⃗\vec{v} er vektoren:

projv⃗u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗=u⃗⋅v⃗v⃗⋅v⃗v⃗\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{v} \cdot \vec{v}} \vec{v}

Lengda av projeksjonen (skalarprojeksjonen) er:
∣projv⃗u⃗∣=∣u⃗⋅v⃗∣∣v⃗∣|\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u}| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}

📊Projeksjon av vektor

Sjå korleis projeksjonen av u⃗\vec{u} på v⃗\vec{v} varierer når du endrar vektorane.

✏️Eksempel 6: Projeksjon

Finn projeksjonen av u⃗=[4,3]\vec{u} = [4, 3] på v⃗=[5,0]\vec{v} = [5, 0].

Løysing:

Steg 1: Rekn ut skalarproduktet u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}:
u⃗⋅v⃗=4⋅5+3⋅0=20\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 5 + 3 \cdot 0 = 20

Steg 2: Rekn ut ∣v⃗∣2|\vec{v}|^2:
∣v⃗∣2=52+02=25|\vec{v}|^2 = 5^2 + 0^2 = 25

Steg 3: Rekn ut projeksjonen:
projv⃗u⃗=2025[5,0]=45[5,0]=[4,0]\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{20}{25} [5, 0] = \frac{4}{5} [5, 0] = [4, 0]

Tolking: Projeksjonen av u⃗\vec{u} på den horisontale vektoren v⃗\vec{v} er den horisontale komponenten av u⃗\vec{u}.

📝Oppgave 6

Finn projeksjonen av den første vektoren på den andre.

a
u⃗=[3,4]\vec{u} = [3, 4] på v⃗=[1,0]\vec{v} = [1, 0]
b
a⃗=[2,6]\vec{a} = [2, 6] på b⃗=[3,4]\vec{b} = [3, 4]
c
p⃗=[1,2]\vec{p} = [1, 2] på q⃗=[2,1]\vec{q} = [2, 1]

Bruksområde

Skalarprodukt og projeksjon har mange praktiske bruksområde.

✏️Eksempel 7: Arbeid i fysikk

Ei kraft F⃗=[30,40]\vec{F} = [30, 40] N verkar på ein gjenstand som blir flytta langs vektoren s⃗=[5,0]\vec{s} = [5, 0] m. Rekn ut arbeidet som blir utført.

Løysing:

I fysikk er arbeid definert som:
W=F⃗⋅s⃗W = \vec{F} \cdot \vec{s}

Vi reknar ut skalarproduktet:
W=[30,40]⋅[5,0]=30⋅5+40⋅0=150 JW = [30, 40] \cdot [5, 0] = 30 \cdot 5 + 40 \cdot 0 = 150 \text{ J}

Arbeidet er 150 joule.

Tolking: Berre kraftkomponenten i rørsleretninga (30 N) bidreg til arbeidet. Den vertikale kraftkomponenten (40 N) gjer ikkje noko arbeid når rørsla er horisontal.

📝Oppgave 7

Bruksoppgåver med skalarprodukt.

a

Ei kraft F⃗=[20,15]\vec{F} = [20, 15] N verkar på ein gjenstand som blir flytta s⃗=[4,3]\vec{s} = [4, 3] m. Finn arbeidet.

b

Finn vinkelen mellom krafta og forskyvinga i oppgåve a.

c

Ei kraft F⃗=[0,50]\vec{F} = [0, 50] N verkar på ein gjenstand som blir flytta s⃗=[10,0]\vec{s} = [10, 0] m. Finn arbeidet og forklar resultatet.

Løs oppgavenTren

Oppsummering

Lengd av vektor:
∣v⃗∣=a2+b2|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}

Einingsvektor:
v^=v⃗∣v⃗∣\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

Skalarprodukt:
u⃗⋅v⃗=a1a2+b1b2\vec{u} \cdot \vec{v} = a_1 a_2 + b_1 b_2

Vinkel mellom vektorar:
cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

Ortogonale vektorar:
u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Projeksjon:
projv⃗u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.