4.7 Relaterte rater | Matematikk R1

Bruke derivasjon til å løse problemer der flere størrelser endrer seg samtidig.

55 min

10 oppgaver

Relaterte raterImplisitt derivasjonKjerneregelen i praksisGeometriske problemer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.3Kjerneregelen 4.5Derivasjon av omvendte funksjoner

Kva er relaterte rater?

Relaterte rater er problem der fleire storleikar endrar seg med tida, og desse storleikane er knytte saman gjennom ei likning.

Typiske problem:
- Ein ballong vert blåsen opp – korleis endrar radiusen seg når volumet aukar?
- Ein stige glir ned ein vegg – kor fort rører toppen seg?
- Vatn vert fylt i ein tank – kor fort stig vasstanden?

Nøkkelidé: Vi deriverer ei likning med omsyn på tid $t$ for å finne samanhengen mellom endringsratene.

Framgangsmåte for relaterte rater

\displaystyle \frac{d}{dt}

✏️Døme 1: Ballongen

Ein kuleforma ballong vert blåsen opp slik at volumet aukar med $100 \text{ cm}^3/\text{s}$ . Kor fort aukar radiusen når radiusen er $25$ cm?

Steg 1-2: Definer variablar
-

V

= volum av kule,

r

= radius
- Gjeve:

\displaystyle \frac{dV}{dt} = 100

cm³/s
- Finn:

\displaystyle \frac{dr}{dt}

når

r = 25

Steg 3: Likning som knyter $V$ og $r$
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Steg 4: Deriver med omsyn på $t$
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$

Steg 5: Set inn og løys
$100 = 4\pi (25)^2 \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{100}{4\pi \cdot 625} = \frac{1}{25\pi} \approx 0{,}013 \text{ cm/s}$

Svar: Radiusen aukar med ca. $0{,}013$ cm/s.

✏️Døme 2: Stigen

Ein 5 meter lang stige står mot ein vegg. Botnen av stigen glir utover med $0{,}5$ m/s. Kor fort søkk toppen av stigen når botnen er 3 meter frå veggen?

Steg 1-2: Definer variablar
-

x

= avstand frå vegg til botnen av stigen
-

y

= høgd av toppen av stigen
- Gjeve:

\displaystyle \frac{dx}{dt} = 0{,}5

m/s
- Finn:

\displaystyle \frac{dy}{dt}

når

x = 3

Steg 3: Likning (Pytagoras)
$x^2 + y^2 = 25$

Når $x = 3$ : $y = \sqrt{25 - 9} = 4$ m

Steg 4: Deriver med omsyn på $t$
$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$

Steg 5: Set inn og løys
$2(3)(0{,}5) + 2(4)\frac{dy}{dt} = 0$
$3 + 8\frac{dy}{dt} = 0$
$\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{8} = -0{,}375 \text{ m/s}$

Svar: Toppen søkk med $0{,}375$ m/s (negativt forteikn = søkk).

✏️Døme 3: Kjegleforma tank

Vatn renn inn i ein kjegleforma tank med rate $2 \text{ m}^3/\text{min}$ . Kjegla har høgd 6 m og radius 3 m på toppen. Kor fort stig vasstanden når vatnet er 2 m djupt?

Steg 1-2: Definer variablar
-

h

= vasshøgd,

r

= vassradius
- Gjeve:

\displaystyle \frac{dV}{dt} = 2

m³/min
- Finn:

\displaystyle \frac{dh}{dt}

når

h = 2

Steg 3: Likningar
Frå likedanna trekantar: $\displaystyle \frac{r}{h} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , så $\displaystyle r = \frac{h}{2}$

Volum av kjegle: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$

Steg 4: Deriver med omsyn på $t$
$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \frac{dh}{dt}$

Steg 5: Set inn og løys
$2 = \frac{\pi (2)^2}{4} \frac{dh}{dt} = \pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}64 \text{ m/min}$

Svar: Vasstanden stig med ca. $0{,}64$ m/min.

📝Oppgave 1

Løys desse relaterte rater-problema.

Ein sirkulær oljelekkasje på havet utvidar seg slik at arealet aukar med $10 \text{ m}^2/\text{s}$ . Kor fort aukar radiusen når radiusen er 20 m?

Ein kube utvidar seg slik at kantlengda aukar med 2 cm/s. Kor fort aukar volumet når kantlengda er 10 cm?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Ein person 1,8 m høg går bort frå ei gatelykt som er 6 m høg, med fart 1,5 m/s.

Teikn figuren og finn ei likning som knyter avstanden til personen frå lykta ( $x$ ) til lengda på skuggen ( $s$ ).

Kor fort rører spissen av skuggen seg?

Løs oppgaven Tren

Hugs kva $\displaystyle \frac{dV}{dt}$ tyder!

Notasjonen $\displaystyle \frac{dV}{dt}$ tyder "den deriverte av $V$ med omsyn på $t$ " – altså kor fort $V$ endrar seg over tid.

Kjerneregelen er nøkkelen: Når du deriverer $x^2$ med omsyn på $t$ , må du bruke kjerneregelen:
$\frac{d}{dt}(x^2) = 2x \cdot \frac{dx}{dt}$

Vanleg feil: Mange gløymer faktoren $\displaystyle \frac{dx}{dt}$ og skriv berre $2x$ . Hugs at $x$ sjølv endrar seg med tida, så kjerneregelen gir alltid ein ekstra faktor!

✏️Døme 4: Skugge på vegg

Ei lyskjelde står på bakken og lyser oppover. Ein ball vert kasta rett opp, og skuggen av ballen viser seg på ein vegg 10 meter frå lyskastaren. Høgda til ballen er gjeven ved $h(t) = 20t - 5t^2$ (i meter). Kor fort rører skuggen seg på veggen ved $t = 1$ s?

Steg 1-2: Definer variablar
-

h(t)

= høgda til ballen over bakken
-

d

= den horisontale avstanden til ballen frå lyskastaren
-

S

= høgda til skuggen på veggen
- Gjeve:

h(t) = 20t - 5t^2

, veggen er 10 m frå lyskastaren
- Finn:

\displaystyle \frac{dS}{dt}

når

t = 1

Forenkling: Vi går ut frå at ballen vert kasta opp $d = 5$ m frå lyskastaren (altså midt mellom lyskastar og vegg).

Steg 3: Bruk likedanna trekantar
Frå likedanna trekantar:
$\frac{S}{10} = \frac{h}{d} \quad \Rightarrow \quad S = \frac{10h}{d} = \frac{10h}{5} = 2h$

Altså $S = 2h = 2(20t - 5t^2) = 40t - 10t^2$

Steg 4: Deriver med omsyn på $t$
$\frac{dS}{dt} = 40 - 20t$

Steg 5: Set inn $t = 1$
$\frac{dS}{dt} = 40 - 20(1) = 20 \text{ m/s}$

Svar: Skuggen rører seg oppover veggen med $20$ m/s ved $t = 1$ s.

Sjekk alltid einingane!

Einingar i relaterte rater-problem må vere konsistente:
- Viss radius er i cm og volum i cm³, då er $\displaystyle \frac{dV}{dt}$ i cm³/s og $\displaystyle \frac{dr}{dt}$ i cm/s
- Viss avstand er i km og tid i timar, då er farten i km/t

Tips: Skriv alltid einingar i svaret ditt. Dette hjelper deg å sjekke om svaret gir meining, og det vert forventa på eksamen!

📝Oppgave 3

Løys desse relaterte rater-problema.

Eit rektangel har areal $A = 100$ cm². Lengda $l$ aukar med 3 cm/s. Kor fort minkar breidda $b$ når $l = 20$ cm?

To bilar køyrer frå same kryss. Bil A køyrer nordover med 60 km/t, bil B køyrer austover med 80 km/t. Kor fort aukar avstanden mellom bilane etter 30 minutt?

Vatn renn ut av ei halvkuleforma bolle med radius 10 cm. Vassvolumet er $\displaystyle V = \frac{\pi h^2(30-h)}{3}$ der $h$ er vasshøgda. Vatnet renn ut med $2$ cm³/s. Kor fort søkk vasstanden når $h = 5$ cm?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Eit fly flyg horisontalt i 2000 meters høgd med fart 500 km/t. Ein observatør på bakken ser opp mot flyet.

La $x$ vere den horisontale avstanden mellom observatøren og punktet rett under flyet, og $\theta$ vinkelen observatøren ser opp. Finn ein samanheng mellom $x$ , $\theta$ og høgda.

Kor fort endrar vinkelen $\theta$ seg når flyet er rett over observatøren? (Bruk $\displaystyle \tan \theta = \frac{2000}{x}$ )

Oppsummering

Relaterte rater:
Problem der fleire variablar endrar seg med tida og er knytte saman.

Framgangsmåte:
1. Teikn figur og definer variablar
2. Skriv ned gjeven informasjon med $\displaystyle \frac{d}{dt}$ -notasjon
3. Finn likning som koplar variablane
4. Deriver implisitt med omsyn på $t$
5. Set inn verdiar og løys

Vanlege formlar:
- Sirkel: $A = \pi r^2$
- Kule: $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$
- Kjegle: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
- Pytagoras: $a^2 + b^2 = c^2$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.