4.4 Produktregelen og kvotientregelen | Matematikk R1

Derivasjon av produkt og brøkar av funksjonar.

55 min

11 oppgaver

ProduktregelenKvotientregelenKombinasjon med kjerneregelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.3Kjerneregelen

Brukes videre i

4.5Derivasjon av omvendte funksjoner 4.6Funksjonsdrøfting

Derivasjon av produkt og brøkar

Når vi har funksjonar som er produkt eller brøkar av andre funksjonar, kan vi ikkje berre derivere kvar faktor for seg. Vi treng spesielle reglar: produktregelen og brøkregelen.

I dette kapittelet lærer du:
- Korleis derivere eit produkt av to funksjonar
- Korleis derivere ein brøk av to funksjonar
- Korleis kombinere desse reglane med kjerneregelen

Produktregelen

Viss $h(x) = f(x) \cdot g(x)$ , kan vi ikkje derivere ved å gonge dei deriverte: $h'(x) \neq f'(x) \cdot g'(x)$ .

Til dømes: La $h(x) = x \cdot x = x^2$ . Då er $h'(x) = 2x$ .
Men $f(x) = x$ og $g(x) = x$ gir $f'(x) \cdot g'(x) = 1 \cdot 1 = 1 \neq 2x$ .

Vi treng produktregelen. Vi utleier han frå definisjonen av den deriverte og legg til og trekkjer frå $f(x+\Delta x)\,g(x)$ i teljaren:

$\frac{h(x+\Delta x) - h(x)}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x)\,g(x+\Delta x) - f(x+\Delta x)\,g(x) + f(x+\Delta x)\,g(x) - f(x)\,g(x)}{\Delta x}$

$= f(x+\Delta x) \cdot \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} + \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \cdot g(x)$

Når $\Delta x \to 0$ , går $f(x + \Delta x) \to f(x)$ , fordi ein deriverbar funksjon er kontinuerleg. Dei to brøkane går mot $g'(x)$ og $f'(x)$ :

$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

📜Produktregelen

Viss

f

g

er deriverbare funksjonar, så er produktet

h(x) = f(x) \cdot g(x)

òg deriverbart, og

$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Kort skrive: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Hugseregel: «Deriverte av første gonger andre, pluss første gonger deriverte av andre»

✏️Døme 1: Produktregelen

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^x$ .

Løysing:

Vi identifiserer faktorane:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^x \Rightarrow g'(x) = e^x$

Produktregelen gir:
$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
$h'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$

Vi faktoriserer ut $e^x$ :
$h'(x) = e^x(2x + x^2) = e^x \cdot x(2 + x)$

Svar: $h'(x) = (x^2 + 2x)e^x$

✏️Døme 2: Produkt med logaritme

Deriver $h(x) = (x + 1) \cdot \ln x$ .

Løysing:

- $f(x) = x + 1 \Rightarrow f'(x) = 1$
- $\displaystyle g(x) = \ln x \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{x}$

$h'(x) = 1 \cdot \ln x + (x + 1) \cdot \frac{1}{x}$
$h'(x) = \ln x + 1 + \frac{1}{x}$

Svar: $\displaystyle h'(x) = \ln x + 1 + \frac{1}{x}$

✏️Døme 3: Produkt av tre funksjonar

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^x \cdot \ln x$ .

Løysing:

For tre faktorar $f \cdot g \cdot k$ kan vi bruke produktregelen to gonger:
$(f \cdot g \cdot k)' = f' \cdot g \cdot k + f \cdot g' \cdot k + f \cdot g \cdot k'$

Med $f(x) = x^2$ , $g(x) = e^x$ , $k(x) = \ln x$ :
- $f'(x) = 2x$
- $g'(x) = e^x$
- $\displaystyle k'(x) = \frac{1}{x}$

$h'(x) = 2x \cdot e^x \cdot \ln x + x^2 \cdot e^x \cdot \ln x + x^2 \cdot e^x \cdot \frac{1}{x}$

$h'(x) = x e^x \left(2\ln x + x \ln x + 1\right)$

Svar: $h'(x) = xe^x(2\ln x + x\ln x + 1)$

📝Oppgave 1

Deriver funksjonane ved hjelp av produktregelen.

f(x) = x \cdot e^x

g(x) = x^3 \cdot \ln x

h(x) = (x+1) \cdot e^x

k(x) = e^x \cdot \ln x

Løs oppgaven

Brøkregelen

Når vi skal derivere ein brøk $\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ , bruker vi brøkregelen. Denne regelen er litt meir komplisert enn produktregelen, men følgjer eit liknande mønster. Han følgjer av produktregelen og kjerneregelen, og det viser du i oppgåva etter regelen.

📜Brøkregelen

Viss

f

g

er deriverbare funksjonar og

g(x) \neq 0

, så er brøken

\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

deriverbar, og

$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$

Kort skrive: $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Hugseregel: «Deriverte av teljar gonger nemnar, minus teljar gonger deriverte av nemnar, delt på nemnar i andre»

📝Oppgave Vis at

Vis at brøkregelen følgjer av produktregelen og kjerneregelen. Skriv $\displaystyle \frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}$ .

Viktig: I brøkregelen er det minus i teljaren, ikkje pluss som i produktregelen. Pass på rekkjefølgja: det er

f' \cdot g - f \cdot g'

, ikkje omvendt!

✏️Døme 4: Brøkregelen

Deriver $\displaystyle h(x) = \frac{x^2}{e^x}$ .

Løysing:

Vi identifiserer teljar og nemnar:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^x \Rightarrow g'(x) = e^x$

Brøkregelen gir:
$h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$

$h'(x) = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x}{(e^x)^2}$

$h'(x) = \frac{e^x(2x - x^2)}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x}$

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{x(2-x)}{e^x}$

✏️Døme 5: Brøk med eksponensialfunksjonar

Deriver $\displaystyle h(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ .

Løysing:

- $f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x$
- $g(x) = e^x + 1 \Rightarrow g'(x) = e^x$

$h'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 1)^2}$
$h'(x) = \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x}}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$

Sidan $h'(x) > 0$ for alle $x$ , er $h$ veksande.

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$

📝Oppgave 2

Deriver funksjonane ved hjelp av brøkregelen.

\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+1}

\displaystyle g(x) = \frac{e^x}{x}

\displaystyle h(x) = \frac{\ln x}{x}

\displaystyle k(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

Løs oppgaven

Kombinasjon med kjerneregelen

Ofte må vi kombinere produktregelen eller brøkregelen med kjerneregelen. Dette skjer når éin av faktorane sjølv er ein samansett funksjon.

Kjerneregelen: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

✏️Døme 6: Produktregel + kjerneregel

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^{3x}$ .

Løysing:

Vi har eit produkt der den eine faktoren er samansett:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^{3x}$ (samansett funksjon)

For $g(x) = e^{3x}$ brukar vi kjerneregelen:
- Ytre funksjon: $e^u$ med deriverte $e^u$
- Indre funksjon: $u = 3x$ med deriverte $3$
- $g'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$

Produktregelen gir:
$h'(x) = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x}$
$h'(x) = e^{3x}(2x + 3x^2)$

Svar: $h'(x) = xe^{3x}(2 + 3x)$

✏️Døme 7: Brøkregel + kjerneregel

Deriver $\displaystyle h(x) = \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$ .

Løysing:

La $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ og $g(x) = x$ .

For $f(x)$ brukar vi kjerneregelen:
$f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

$g'(x) = 1$

Brøkregelen gir:
$h'(x) = \frac{\frac{2x}{x^2+1} \cdot x - \ln(x^2+1) \cdot 1}{x^2}$

$h'(x) = \frac{\frac{2x^2}{x^2+1} - \ln(x^2+1)}{x^2}$

$h'(x) = \frac{2x^2 - (x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}$

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{2x^2 - (x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}$

📝Oppgave 3

Deriver ved å kombinere reglane.

f(x) = x \cdot e^{2x}

g(x) = (x^2 + 1) \cdot e^{-x}

\displaystyle h(x) = \frac{e^{2x}}{x+1}

Løs oppgaven

Når bruke kva regel?

Det kan vere forvirrande å vite kva derivasjonsregel ein skal bruke. Her er ei enkel sjekkliste:

Sjekkliste for derivasjon:

1. Enkle funksjonar: Bruk standardreglar direkte
- $x^n$ , $e^x$ , $a^x$ , $\ln x$

2. Samansett funksjon (funksjon av funksjon): Bruk kjerneregelen
- Døme: $e^{x^2}$ , $(2x + 1)^5$ , $\ln(x^2+1)$

3. Produkt av to funksjonar: Bruk produktregelen
- Døme: $x \cdot e^x$ , $x^2 \cdot \ln x$

4. Brøk av to funksjonar: Bruk brøkregelen
- Døme: $\displaystyle \frac{x}{e^x}$ , $\displaystyle \frac{\ln x}{x}$

Tips: Nokre gonger kan du skrive om uttrykket for å gjere det enklare:
- $\displaystyle \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ (potensregel)
- $\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}} = e^{-x}$ (forenkle først)

📝Oppgave 4

Deriver funksjonane. Vel sjølv rett metode.

f(x) = \sqrt{x} \cdot \ln x

\displaystyle g(x) = \frac{x^2}{\ln x}

h(x) = (x^2 - 2x + 2) \cdot e^x

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Utfordringsoppgåver.

Deriver $\displaystyle f(x) = \frac{x \cdot e^x}{x + 1}$

Vis at $\displaystyle g'(x) = \frac{2e^{2x}(x^2 - x + 1)}{(x^2 + 1)^2}$ når $\displaystyle g(x) = \frac{e^{2x}}{x^2 + 1}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Finn likninga til tangenten i det gjevne punktet.

f(x) = x \cdot e^x

i punktet

(0, 0)

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x+1}

i punktet

\displaystyle (1, \frac{1}{2})

Løs oppgaven

Oppsummering

Produktregelen:
$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Brøkregelen:
$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Viktige poeng:
- I produktregelen adderer vi to ledd
- I brøkregelen har vi minus i teljaren (pass på rekkjefølgja!)
- Kombiner med kjerneregelen når faktorane er samansette funksjonar
- Vurder alltid om du kan forenkle uttrykket før du deriverer

Gjør dette i GeoGebra

Produktregel visualisert

Grafen til

f(x) = x \cdot e^x

og den deriverte hans.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x * exp(x)
g(x) = Derivative(f)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.