4.2 Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner | Matematikk R1

Derivasjon av e^x, a^x, ln(x) og log_a(x).

55 min

11 oppgaver

Derivasjon av e^xDerivasjon av ln(x)Derivasjon av a^xDerivasjon av log_a(x)

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Derivasjonsregler 1.2Potenser og logaritmer

Brukes videre i

4.3Kjerneregelen

Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjonar

Eksponentialfunksjonar og logaritmefunksjonar har spesielle derivasjonsreglar. I dette kapittelet skal vi sjå kvifor $e^x$ er så spesiell – han er sin eigen deriverte!

Den naturlege eksponentialfunksjonen

Funksjonen $f(x) = e^x$ har ein heilt unik eigenskap: han er lik sin eigen deriverte. Talet $e \approx 2{,}718$ er definert nett slik at dette skal stemme.

📜Derivasjon av

e^x

Dersom

f(x) = e^x

, så er

$f'(x) = e^x$

Med ord: $e^x$ er sin eigen deriverte.

Kvifor er dette spesielt?

$e^x$ er den einaste funksjonen (bortsett frå $f(x) = 0$ ) som er lik sin eigen deriverte. Dette gjer eksponentialfunksjonen sentral i matematikk, fysikk og økonomi – spesielt i modellar for vekst og forfall.

✏️Døme 1: Derivasjon av $e^x$

Deriver følgjande funksjonar:

a) $f(x) = e^x$
b) $g(x) = 3e^x$
c) $h(x) = e^x + x^2$

Løysing:

a) $f(x) = e^x$
$f'(x) = e^x$

b) $g(x) = 3e^x$
$g'(x) = 3 \cdot e^x = 3e^x$ (konstant faktor-regelen)

c) $h(x) = e^x + x^2$
$h'(x) = e^x + 2x$ (sumregelen)

Eksponentialfunksjonar med andre grunntal

Kva om grunntalet ikkje er $e$ ? Til dømes $2^x$ eller $10^x$ ? Då må vi bruke ein litt annan formel.

📜Derivasjon av

a^x

Dersom

f(x) = a^x

der

a > 0

a \neq 1

, så er

$f'(x) = a^x \cdot \ln a$

Spesialtilfelle: Når $a = e$ , får vi $\ln e = 1$ , så $(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$ .

Bevis for formelen

✏️Døme 2: Derivasjon av $a^x$

Deriver følgjande funksjonar:

a) $f(x) = 2^x$
b) $g(x) = 10^x$
c) $h(x) = 3 \cdot 5^x$

Løysing:

a) $f(x) = 2^x$
$f'(x) = 2^x \cdot \ln 2$

b) $g(x) = 10^x$
$g'(x) = 10^x \cdot \ln 10$

c) $h(x) = 3 \cdot 5^x$
$h'(x) = 3 \cdot 5^x \cdot \ln 5$

📝Oppgave 1

Deriver følgjande eksponentialfunksjonar.

f(x) = e^x

g(x) = 5e^x

h(x) = 3^x

p(x) = 2 \cdot 4^x

Løs oppgaven Tren

Den naturlege logaritmen

Den naturlege logaritmen $\ln x$ er den inverse funksjonen til $e^x$ . Det viser seg at den deriverte av $\ln x$ har ei overraskande enkel form.

📜Derivasjon av

\ln x

Dersom

f(x) = \ln x

der

x > 0

, så er

$f'(x) = \frac{1}{x}$

Bevis for formelen

✏️Døme 3: Derivasjon av $\ln x$

Deriver følgjande funksjonar:

a) $f(x) = \ln x$
b) $g(x) = 5 \ln x$
c) $h(x) = x^2 + \ln x$

Løysing:

a) $f(x) = \ln x$
$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$

b) $g(x) = 5 \ln x$
$\displaystyle g'(x) = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}$

c) $h(x) = x^2 + \ln x$
$\displaystyle h'(x) = 2x + \frac{1}{x}$

Logaritmar med andre grunntal

For logaritmar med andre grunntal enn $e$ bruker vi samanhengen med den naturlege logaritmen.

📜Derivasjon av

\log_a x

Dersom

f(x) = \log_a x

der

a > 0

a \neq 1

x > 0

, så er

$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

Hugseregel: Formelen følgjer av at $\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ .

✏️Døme 4: Derivasjon av $\log_a x$

Deriver følgjande funksjonar:

a) $f(x) = \log_2 x$
b) $g(x) = \log_{10} x = \lg x$
c) $h(x) = 3 \log_5 x$

Løysing:

a) $f(x) = \log_2 x$
$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln 2}$

b) $g(x) = \log_{10} x$
$\displaystyle g'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln 10}$

c) $h(x) = 3 \log_5 x$
$\displaystyle h'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x \cdot \ln 5} = \frac{3}{x \ln 5}$

📝Oppgave 2

Deriver følgjande logaritmefunksjonar.

f(x) = \ln x

g(x) = 4 \ln x

h(x) = \log_3 x

p(x) = 2 \log_{10} x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Deriver følgjande funksjonar.

f(x) = e^x + \ln x

g(x) = x^3 - 2e^x

h(x) = 2^x + 3\ln x

p(x) = 5^x - \log_5 x

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 5: Kombinerte funksjonar

Deriver funksjonen $f(x) = x^2 + 3e^x - 2\ln x$ .

Løysing:

Vi deriverer kvart ledd for seg:
$f'(x) = (x^2)' + (3e^x)' - (2\ln x)'$

$f'(x) = 2x + 3e^x - \frac{2}{x}$

✏️Døme 6: Tangent til eksponentialfunksjon

Finn likninga til tangenten til $f(x) = e^x$ i punktet $(0, 1)$ .

Løysing:

Vi har $f(x) = e^x$ og $f'(x) = e^x$ .

I punktet $x = 0$ :
- $f(0) = e^0 = 1$ ✓
- $f'(0) = e^0 = 1$

Stigingstalet til tangenten er $a = 1$ .

Likninga til tangenten (eittpunktsformelen):
$y - 1 = 1(x - 0)$
$y = x + 1$

📝Oppgave 4

Finn likninga til tangenten i det oppgitte punktet.

f(x) = e^x

i punktet

(1, e)

f(x) = \ln x

i punktet

(1, 0)

f(x) = \ln x

i punktet

(e, 1)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys følgjande oppgåver.

For kva $x$ -verdi har tangenten til $f(x) = e^x$ stigingstal $3$ ?

For kva $x$ -verdi har tangenten til $f(x) = \ln x$ stigingstal $\displaystyle \frac{1}{2}$ ?

Vis at $f(x) = e^x - x$ har eit minimum for $x = 0$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Finn den andrederiverte $f''(x)$ .

f(x) = e^x + x^2

f(x) = 3\ln x

f(x) = 2^x

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Eksponentialfunksjonar:
- $(e^x)' = e^x$
- $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$

Logaritmefunksjonar:
- $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$
- $\displaystyle (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

Nyttige samanhengar:
- $e^x$ og $\ln x$ er inverse funksjonar
- $a^x = e^{x \ln a}$
- $\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.