3.6 Numerisk derivasjon med digitale verktøy

Framover-, bakover- og sentraldifferanse, og bruk av rekneark og CAS.

45 min

10 oppgaver

Numerisk derivasjonFramoverdifferanseSentraldifferanseReknearkCAS

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Grenseverdi

Numerisk derivasjon

Ikkje alle funksjonar kan deriverast analytisk på ein enkel måte. I praksis har vi ofte berre måledata (tabellverdiar) utan eit eksplisitt funksjonsuttrykk. Då må vi tilnærme den deriverte numerisk.

Ideen er enkel: vi bruker differansekvotienten $\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ med ein liten, men endeleg $h$ i staden for å ta grenseverdien $h \to 0$ . Spørsmålet er: kva differanseformel gir best tilnærming?

Tre differanseformlar

f

✏️Døme 1: Samanlikning av differanseformlar

La $f(x) = x^3$ . Tilnærm $f'(2) = 12$ med $h = 0{,}1$ ved hjelp av dei tre differanseformlane.

Løysing:

$f(2) = 8$ , $f(2{,}1) = 9{,}261$ , $f(1{,}9) = 6{,}859$ .

Framoverdifferanse:
$\frac{9{,}261 - 8}{0{,}1} = 12{,}61 \quad \text{(feil: } 0{,}61\text{)}$

Bakoverdifferanse:
$\frac{8 - 6{,}859}{0{,}1} = 11{,}41 \quad \text{(feil: } 0{,}59\text{)}$

Sentraldifferanse:
$\frac{9{,}261 - 6{,}859}{0{,}2} = 12{,}01 \quad \text{(feil: } 0{,}01\text{)}$

Sentraldifferansen gir ei mykje betre tilnærming.

Svar: Framover $12{,}61$ , bakover $11{,}41$ og sentral $12{,}01$ . Sentraldifferansen ligg nærast $f'(2) = 12$ .

📜Kor stor er feilen?

For små $h$ er feilen i tilnærmingane omtrent

- framover- og bakoverdifferanse: proporsjonal med $h$
- sentraldifferanse: proporsjonal med $h^2$

Når vi halverer $h$ , blir feilen omtrent halvert med framover- og bakoverdifferansen, men omtrent ein firedel med sentraldifferansen.

I døme 1 er feila $0{,}61$ , $0{,}59$ og $0{,}01$ med $h = 0{,}1$ . For $f(x) = x^3$ er feilen i sentraldifferansen nøyaktig $h^2$ , for $\displaystyle \frac{(a+h)^3 - (a-h)^3}{2h} = 3a^2 + h^2$ .

📝Oppgave 1

Lat $f(x) = e^x$ . Tilnærm $f'(1)$ med sentraldifferanse. Den eksakte verdien er $f'(1) = e$ , fordi $(e^x)' = e^x$ (kapittel 4.2).

Bruk $h = 0{,}1$ .

Bruk $h = 0{,}01$ .

Samanlikn feila. Stemmer det at feilen er omtrent proporsjonal med $h^2$ ?

Numerisk derivasjon med rekneark

I eit rekneark kan vi setje opp numerisk derivasjon systematisk:

A	B	C
$x$	$f(x)$	$f'(x) \approx$
$a - h$	$=f(A2)$
$a$	$=f(A3)$	$=(B4-B2)/(A4-A2)$
$a + h$	$=f(A4)$

Kolonne C bruker sentraldifferanse:

\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}

.
Døme i rekneark-syntaks:
- Celle A2: =A3-0.001
- Celle B2: =A2^3 (for

f(x) = x^3

)
- Celle C3: =(B4-B2)/(A4-A2)

📝Oppgave 2

Set opp eit rekneark for å tilnærme den deriverte.

Lag ein tabell med $x$ -verdiar frå $0$ til $5$ med steglengde $0{,}5$ for $f(x) = x^3 - 3x + 1$ . Rekn ut sentraldifferansen i kvart indre punkt.

Gjenta med steglengd $0{,}1$ . Kor mykje betre blir tilnærminga?

Numerisk og symbolsk derivasjon med CAS

CAS-verktøy (Computer Algebra System) kan både:

1. Derivere symbolsk -- finne det eksakte uttrykket for $f'(x)$
2. Rekne ut numerisk -- gi ein tilnærma verdi av $f'(a)$

I GeoGebra CAS:
- Symbolsk: Derivative[x^3 + sin(x)] gir 3x^2 + cos(x)
- Numerisk: Skriv f(x) := x^3 + sin(x) og så f'(2), og trykk ≈. Det gir $f'(2) = 12 + \cos 2 \approx 11{,}584$

I Python med SymPy:

from sympy import *

x = symbols('x')
f = x**3 + sin(x)
# Symbolsk: 3*x**2 + cos(x)
diff(f, x)
# Numerisk verdi i x=2
diff(f, x).subs(x, 2).evalf()

📝Oppgave 3

Bruk CAS eller rekneark til å løyse oppgåvene.

Finn $f'(x)$ symbolsk for $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$ .

Bruk numerisk derivasjon (sentraldifferanse med $h = 0{,}001$ ) til å tilnærme $f'(1)$ .

Samanlikn det numeriske og analytiske svaret.

Løs oppgaven

Avrundingsfeil ved svært liten h

Mindre

h

gir ikkje alltid betre resultat. Når

h

er svært liten, er

f(a+h)

f(a)

nesten like, og datamaskina mistar gjeldande siffer i subtraksjonen:

$\begin{aligned} &\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \\ = {}&\frac{\begin{gathered}\text{differansen mellom to}\\ \text{nesten like tal}\end{gathered}}{\text{eit lite tal}} \end{aligned}$

Python reknar med omtrent 16 gjeldande siffer. Med $f(x) = e^x$ i $x = 1$ gir framoverdifferansen minst feil rundt $h = 10^{-8}$ , og sentraldifferansen rundt $h = 10^{-5}$ til $10^{-7}$ . Med endå mindre $h$ blir feilen større igjen.

📝Oppgave 4

Undersøk korleis steglengda påverkar nøyaktigheita.

La $f(x) = e^x$ . Rekn ut sentraldifferansen for $f'(1) = e$ med $h = 10^{-1}, 10^{-2}, \ldots, 10^{-8}$ . Lag ein tabell over $h$ og feil.

For kva $h$ får du den minste feilen?

📝Oppgave 5

Gitt tabellverdiar, tilnærm den deriverte.

Tabellen viser $f(x)$ : $f(1) = 3{,}0$ , $f(1{,}5) = 4{,}2$ , $f(2) = 5{,}8$ , $f(2{,}5) = 7{,}9$ , $f(3) = 10{,}5$ . Tilnærm $f'(2)$ .

Tilnærm $f'(1)$ og $f'(3)$ .

Løs oppgaven

Når bruker vi numerisk vs. analytisk derivasjon?

- Analytisk (for hand eller CAS): Når vi har eit funksjonsuttrykk og treng eit eksakt svar. Gir fullstendig informasjon om $f'(x)$ for alle $x$ .
- Numerisk: Når vi berre har tabelldata, når funksjonsuttrykket er for komplisert, eller når vi treng ei rask tilnærming i eitt punkt.

I praksis blir ofte ein kombinasjon brukt: CAS finn det analytiske uttrykket, som så blir evaluert numerisk i ønskte punkt.

Lese og skrive program

På eksamen får vi ofte eit kort Python-program som bruker den numeriske deriverte

$g(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

med ein liten $h$ , til dømes $h = 0{,}000001$ . Då er $g(x) \approx f'(x)$ .

Ein god forklaring av eit program har to delar:

- Komponentane: kva kvar funksjon, variabel, løkke og if-test betyr.
- Flyten: kva som skjer når programmet køyrer, runde for runde, og kva som blir skrive ut.

Tre mønster går igjen:

- while g(x) > 0: x = x + dx går mot høgre så lenge funksjonen veks, og stoppar ved eit toppunkt.
- while f(x + 1) > f(x): x = x + 1 gjer det same ved å samanlikne funksjonsverdiar, utan derivert.
- while g(x) < c: x = x + dx stoppar der den deriverte har nådd verdien $c$ , til dømes der tangenten har eit gitt stigningstall.

Programmet finn berre eit punkt med same nøyaktigheit som skrittlengda dx, og det finn berre det første punktet til høgre for startverdien.

✏️Døme 2: Kva skriv programmet ut?

Forklar kva programmet gjer, og kva det skriv ut.

def f(x):
    return -2*x**2 + 24*x + 10

def g(x):
    h = 0.000001
    return (f(x + h) - f(x)) / h

x = 0
dx = 0.5
while g(x) > 0:
    x = x + dx

print(x)

f er

f(x) = -2x^2 + 24x + 10

, ein parabel med toppunkt. g er den numeriske deriverte med

h = 0{,}000001

. Startverdien er x = 0, og skrittlengda er dx = 0.5.

Vilkåret g(x) > 0 er sant så lenge $f$ veks. print(x) skriv ut $x$ -verdien der løkka stoppar, ikkje funksjonsverdien.

$g(x) \approx f'(x) = -4x + 24$ , som er positiv for $x < 6$ .

Løkka aukar $x$ med 0,5 så lenge $g(x) > 0$ : $g(0) \approx 24$ , $g(0{,}5) \approx 22$ , …, $g(5{,}5) \approx 2$ . Det blir 12 rundar.

I $x = 6$ er $g(6) = -2h \approx -2 \cdot 10^{-6} < 0$ , og løkka stoppar.

Kontroll: $f'(x) = 0$ gir $x = 6$ , og $f(6) = -72 + 144 + 10 = 82$ .

Svar: Programmet skriv ut 6.0, som er $x$ -verdien til toppunktet $(6, 82)$ .

✏️Døme 3: Program som finn ein tangent med gitt stigningstall

Grafen til $f(x) = x^3 - 4x$ har ein tangent med stigningstall 8 for ein $x > 0$ .

a) Skriv eit program som finn $x$ -verdien.

b) Finn likninga for tangenten.

a) Vi startar i $x = 0$ og går mot høgre i små steg så lenge den numeriske deriverte er mindre enn 8.

def f(x):
    return x**3 - 4*x

def g(x):
    h = 0.000001
    return (f(x + h) - f(x)) / h

x = 0
dx = 0.001
while g(x) < 8:
    x = x + dx

print(round(x, 3))

Programmet skriv ut 2.0.

Kontroll: $f'(x) = 3x^2 - 4 = 8$ gir $x^2 = 4$ , så $x = 2$ når $x > 0$ .

Svar: $x = 2$ .

b) $f(2) = 8 - 8 = 0$ , så tangenten går gjennom $(2, 0)$ og har stigningstall 8.

$y - 0 = 8(x - 2)$

Svar: $y = 8x - 16$ .

📝Oppgave 6

Sjå på programmet.

def f(x):
    return x**2 - 4*x

x = 0
while x <= 3:
    print(x, f(x))
    x = x + 1

Kva skriv programmet ut?

Kva må endrast for at programmet også skal skrive ut verdien for $x = 4$ ?

Kva fortel utskrifta om grafen til $f$ ?

📝Oppgave 7

Ei rektangulær innhegning har areal $O(x) = x(20 - 2x)$ , der $x$ er ei heiltalleg lengd i meter.

def O(x):
    return x*(20 - 2*x)

x = 0
while O(x + 1) > O(x):
    x = x + 1

print(x, O(x))

Forklar strategien i programmet, og finn kva det skriv ut.

Kontroller svaret ved derivasjon.

Vil strategien alltid finne den største verdien til ein funksjon? Grunngiv svaret.

📝Oppgave 8

Programmet nedanfor leitar etter bunnpunktet til $f(x) = x^2 - 3x$ .

def f(x):
    return x**2 - 3*x

def g(x):
    h = 0.000001
    return (f(x + h) - f(x)) / h

x = 0
while g(x) < 0:
    x = x + 0.4

print(round(x, 2))

Kva skriv programmet ut?

Finn bunnpunktet ved rekning. Kvifor gir ikkje programmet det eksakte svaret?

Foreslå ei endring i koden som gir eit riktigare svar.

📝Oppgave 9

Programmet nedanfor undersøkjer grafen til $f(x) = x^3 - 3x$ .

def f(x):
    return x**3 - 3 * x

def g(x):
    h = 0.0001
    return (f(x + h) - f(x)) / h

x = -3
while x < 3:
    if (
        g(x) > 0
        and g(x + 0.5) < 0
    ):
        print(
            "toppunkt mellom",
            x,
            "og",
            x + 0.5,
        )
    if (
        g(x) < 0
        and g(x + 0.5) > 0
    ):
        print(
            "bunnpunkt mellom",
            x,
            "og",
            x + 0.5,
        )
    x = x + 0.5

Forklar kva if-testane undersøkjer.

Finn toppunktet og bunnpunktet til $f$ ved rekning.

Programmet skriv ut

toppunkt mellom -1.5 og -1.0
bunnpunkt mellom 0.5 og 1.0

Forklar kvifor det ikkje skriv «toppunkt mellom -1.0 og -0.5», sjølv om $f'(-1) = 0$ .

📝Oppgave 10

La $f(x) = e^x - 2x$ .

Skriv eit program som finn $x$ -verdien der tangenten til grafen har stigningstall 1, med tre desimalar. Start i $x = 0$ .

Finn den eksakte verdien ved rekning, og samanlikn.

Finn likninga for tangenten.

Oppsummering

- Den deriverte kan tilnærmast numerisk med differansekvotentar
- Sentraldifferansen $\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$ er mest nøyaktig (feilen er omtrent proporsjonal med $h^2$ )
- Rekneark og CAS er nyttige verktøy for numerisk derivasjon
- For liten $h$ gir avrundingsfeil -- det finst ein optimal steglengde
- Numerisk derivasjon blir brukt når analytisk derivasjon er upraktisk eller umogleg
- I eit program er $\displaystyle g(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ med liten $h$ den numeriske deriverte. Ei løkke som while g(x) > 0 stoppar ved første toppunkt, med nøyaktigheit lik skrittlengda

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.