3.6 Numerisk derivasjon med digitale verktøy

Fremover-, bakover- og sentraldifferanse, og bruk av regneark og CAS.

45 min

10 oppgaver

Numerisk derivasjonFremoverdifferanseSentraldifferanseRegnearkCAS

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Grenseverdi

Numerisk derivasjon

Ikkje alle funksjonar kan deriverast analytisk på ein enkel måte. I praksis har vi ofte berre måledata (tabellverdiar) utan eit eksplisitt funksjonsuttrykk. Då må vi tilnærme den deriverte numerisk.

Ideen er enkel: vi bruker differansekvotienten $\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ med ein liten, men endeleg $h$ i staden for å ta grenseverdien $h \to 0$ . Spørsmålet er: kva differanseformel gir best tilnærming?

Tre differanseformlar

f

✏️Døme 1: Samanlikning av differanseformlar

La $f(x) = x^3$ . Tilnærm $f'(2) = 12$ med $h = 0{,}1$ ved hjelp av dei tre differanseformlane.

Løysing:

$f(2) = 8$ , $f(2{,}1) = 9{,}261$ , $f(1{,}9) = 6{,}859$ .

Framoverdifferanse:
$\frac{9{,}261 - 8}{0{,}1} = 12{,}61 \quad \text{(feil: } 0{,}61\text{)}$

Bakoverdifferanse:
$\frac{8 - 6{,}859}{0{,}1} = 11{,}41 \quad \text{(feil: } 0{,}59\text{)}$

Sentraldifferanse:
$\frac{9{,}261 - 6{,}859}{0{,}2} = 12{,}01 \quad \text{(feil: } 0{,}01\text{)}$

Sentraldifferansen gir ei mykje betre tilnærming!

📜Feilorden for differanseformlane

Feilen i tilnærmingane har følgjande storleiksorden:

- Framoverdifferanse: Feil $\sim O(h)$ (proporsjonalt med $h$ )
- Bakoverdifferanse: Feil $\sim O(h)$ (proporsjonalt med $h$ )
- Sentraldifferanse: Feil $\sim O(h^2)$ (proporsjonalt med $h^2$ )

Det tyder at når vi halverer $h$ :
- Framover/bakover: feilen blir om lag halvert
- Sentral: feilen blir redusert til om lag ein fjerdedel

Sentraldifferansen konvergerer altså mykje raskare mot den eksakte verdien.

📝Oppgave 1

La $f(x) = \sin x$ . Tilnærm $f'(\pi/4)$ med sentraldifferanse.

Bruk $h = 0{,}1$ .

Bruk $h = 0{,}01$ .

Samanlikn feila. Stemmer $O(h^2)$ -estimatet?

Numerisk derivasjon med rekneark

I eit rekneark kan vi setje opp numerisk derivasjon systematisk:

A	B	C
$x$	$f(x)$	$f'(x) \approx$
$a - h$	$=f(A2)$
$a$	$=f(A3)$	$=(B4-B2)/(A4-A2)$
$a + h$	$=f(A4)$

Kolonne C bruker sentraldifferanse:

\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}

.
Døme i rekneark-syntaks:
- Celle A2: =A3-0.001
- Celle B2: =A2^3 (for

f(x) = x^3

)
- Celle C3: =(B4-B2)/(A4-A2)

📝Oppgave 2

Set opp eit rekneark for å tilnærme den deriverte.

Lag ein tabell med $x$ -verdiar frå $0$ til $5$ med steglengd $0{,}5$ for $f(x) = x^2 - 3x + 1$ . Rekn ut sentraldifferansen i kvart indre punkt.

Gjenta med steglengd $0{,}1$ . Kor mykje betre blir tilnærminga?

Numerisk og symbolsk derivasjon med CAS

CAS-verktøy (Computer Algebra System) kan både:

1. Derivere symbolsk -- finne det eksakte uttrykket for $f'(x)$
2. Rekne ut numerisk -- gi ein tilnærma verdi av $f'(a)$

I GeoGebra CAS:
- Symbolsk: Derivative[x^3 + sin(x)] gir 3x^2 + cos(x)
- Numerisk: NDerivative[x^3 + sin(x), 2] gir ei numerisk tilnærming av $f'(2)$

I Python med SymPy:

from sympy import *
x = symbols('x')
f = x**3 + sin(x)
diff(f, x)        # Symbolsk: 3*x**2 + cos(x)
diff(f, x).subs(x, 2).evalf()  # Numerisk verdi i x=2

📝Oppgave 3

Bruk CAS eller rekneark til å løyse oppgåvene.

Finn $f'(x)$ symbolsk for $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$ .

Bruk numerisk derivasjon (sentraldifferanse med $h = 0{,}001$ ) til å tilnærme $f'(1)$ .

Samanlikn det numeriske og analytiske svaret.

Løs oppgaven Tren

Avrundingsfeil ved svært liten h

Ein skulle tru at mindre

h

alltid gir betre resultat. Men i praksis får vi problem med avrundingsfeil når

h

er svært liten:

$\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \approx \frac{\text{nesten like tal}}{\text{lite tal}}$

Når $f(a+h) \approx f(a)$ , taper vi gjeldande siffer i subtraksjonen. For dobbeltpresisjon (float64) er $h \approx 10^{-8}$ typisk eit bra val for sentraldifferanse.

Tommelregel: Bruk $h \approx \sqrt{\varepsilon}$ for framover/bakover og $h \approx \varepsilon^{1/3}$ for sentral, der $\varepsilon \approx 10^{-16}$ er maskinpresisjonen.

📝Oppgave 4

Undersøk effekten av steglengd på noeyyaktigheita.

La $f(x) = e^x$ . Rekn ut sentraldifferansen for $f'(1) = e$ med $h = 10^{-1}, 10^{-2}, \ldots, 10^{-8}$ . Lag ein tabell over $h$ og feil.

For kva $h$ får du den minste feilen?

📝Oppgave 5

Gitt tabellverdiar, tilnærm den deriverte.

Tabellen viser $f(x)$ : $f(1) = 3{,}0$ , $f(1{,}5) = 4{,}2$ , $f(2) = 5{,}8$ , $f(2{,}5) = 7{,}9$ , $f(3) = 10{,}5$ . Tilnærm $f'(2)$ .

Tilnærm $f'(1)$ og $f'(3)$ .

Løs oppgaven Tren

Når bruker vi numerisk vs. analytisk derivasjon?

- Analytisk (for hand eller CAS): Når vi har eit funksjonsuttrykk og treng eit eksakt svar. Gir fullstendig informasjon om $f'(x)$ for alle $x$ .
- Numerisk: Når vi berre har tabelldata, når funksjonsuttrykket er for komplisert, eller når vi treng ei rask tilnærming i eitt punkt.

I praksis blir ofte ein kombinasjon brukt: CAS finn det analytiske uttrykket, som så blir evaluert numerisk i ønskte punkt.

Oppsummering

- Den deriverte kan tilnærmast numerisk med differansekvotientar
- Sentraldifferansen $\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$ er mest noeyyaktig ( $O(h^2)$ -feil)
- Rekneark og CAS er nyttige verktøy for numerisk derivasjon
- For liten $h$ gir avrundingsfeil -- det finst ei optimal steglengd
- Numerisk derivasjon blir brukt når analytisk derivasjon er upraktisk eller umogleg

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.