3.5 Newtons metode | Matematikk R1

Numerisk løsning av ligninger ved iterasjon.

55 min

9 oppgaver

Newtons metodeIterasjonNumerisk rotfunnKonvergensStartverdier

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Derivasjonens definisjon

Numerisk løysing av likningar

Mange likningar kan ikkje løysast eksakt med algebraiske metodar. Til dømes:
- $x^5 - 3x + 1 = 0$
- $e^x = 3x$
- $\cos x = x$

Newtons metode gir oss ein måte å finne tilnærma løysingar med høg presisjon.

Ideen: Start med ei gjetting, og forbetre ho iterativt ved å følgje tangentlinja.

Newtons metode

f(x) = 0

Utleiing av formelen

Tangentlinja til $f$ i $(x_n, f(x_n))$ har likning:
$y - f(x_n) = f'(x_n)(x - x_n)$

Vi finn kvar tangenten kryssar $x$ -aksen ( $y = 0$ ):
$0 - f(x_n) = f'(x_n)(x - x_n)$
$x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Dette gir oss $x_{n+1}$ .

✏️Døme 1: Finne kvadratrota av 2

Bruk Newtons metode til å finne $\sqrt{2}$ ved å løyse $x^2 - 2 = 0$ .

Set opp:
-

f(x) = x^2 - 2

f'(x) = 2x

- Iterasjonsformel:

\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n^2 + 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}

Startverdi: $x_0 = 1$

Iterasjonar:

$n$	$x_n$
0	1
1	$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = 1{,}5$
2	$\displaystyle \frac{1{,}5}{2} + \frac{1}{1{,}5} = 1{,}4167$
3	$1{,}4142$

Svar:

\sqrt{2} \approx 1{,}4142

(etter berre 3 iterasjonar!)

✏️Døme 2: Løyse ei transcendent likning

Finn ei løysing av $\cos x = x$ med Newtons metode.

Omform til nullpunktsproblem:

f(x) = \cos x - x = 0

Derivert:
$f'(x) = -\sin x - 1$

Iterasjonsformel:
$x_{n+1} = x_n - \frac{\cos x_n - x_n}{-\sin x_n - 1}$

Startverdi: $x_0 = 0{,}5$ (frå grafisk inspeksjon)

Iterasjonar:

$n$	$x_n$	$f(x_n)$
0	0,5	0,378
1	0,7552	0,0235
2	0,7391	0,00005

Svar:

x \approx 0{,}7391

er løysinga av

\cos x = x

Konvergens og problem

f'(x) \neq 0

📝Oppgave 1

Bruk Newtons metode med 3 iterasjonar.

Finn $\sqrt{5}$ ved å løyse $x^2 - 5 = 0$ med $x_0 = 2$ .

Finn $\sqrt[3]{10}$ ved å løyse $x^3 - 10 = 0$ med $x_0 = 2$ .

Løys $e^x = 3x$ med $x_0 = 2$ .

📝Oppgave 2

Likninga $x^3 - 2x - 5 = 0$ har éi reell løysing.

Vis at løysinga ligg mellom 2 og 3.

Bruk Newtons metode med $x_0 = 2$ til å finne løysinga med 4 desimalars nøyaktigheit.

Løs oppgaven Tren

📊Utforsk Newtons metode grafisk

Sjå korleis tangentlinjene konvergerer mot nullpunktet.

✏️Døme 3: Når Newtons metode feilar

Prøv å løyse $x^{1/3} = 0$ (kubikkrot) med Newtons metode. Bruk $x_0 = 1$ .

Set opp:
-

f(x) = x^{1/3}

\displaystyle f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}

Iterasjonsformel:
$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^{1/3}}{\frac{1}{3}x_n^{-2/3}} = x_n - \frac{x_n^{1/3} \cdot 3x_n^{2/3}}{1} = x_n - 3x_n = -2x_n$

Iterasjonar:

$n$	$x_n$
0	$1$
1	$-2$
2	$4$
3	$-8$
4	$16$

Iterata

1, -2, 4, -8, 16, \ldots

divergerer — verdiane veks og sprett mellom positiv og negativ.
Kvifor feilar metoden?
Nullpunktet er

x = 0

, men der er

\displaystyle f'(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^{-2/3} \to \infty

. Den deriverte er ubegrensa nær nullpunktet, og tangentlinjene peikar lenger og lenger bort. Newtons metode konvergerer ikkje.

Når skal vi stoppe iterasjonane?

I praksis bruker vi eit stoppkriterium for å avgjere når vi har god nok tilnærming:

1. Endring mellom iterasjonar: $|x_{n+1} - x_n| < \text{toleranse}$ (t.d. $10^{-6}$ )
2. Funksjonsverdi nær null: $|f(x_n)| < \text{toleranse}$

Vanlegvis er 5–10 iterasjonar nok til å oppnå meir enn 10 desimalars nøyaktigheit, takka vere den kvadratiske konvergensen.

Samanlikning: Newtons metode vs. halveringsmetoden

Newtons metode	Halveringsmetoden
Fart	Kvadratisk konvergens (rask)	Lineær konvergens (langsam)
Krav	$f'(x)$ , god startverdi	Berre eit forteiknskifte: $f(a) \cdot f(b) < 0$
Pålitelegheit	Kan divergere	Fungerer alltid når vi har forteiknskifte

I praksis: Bruk halveringsmetoden først for å finne eit grovt estimat, og deretter Newtons metode for å finpusse svaret raskt.

📝Oppgave 3

Bruk Newtons metode på ulike problem.

Finn nullpunktet til $f(x) = x - \cos x$ med $x_0 = 1$ . Utfør 3 iterasjonar.

Likninga $\ln x = 5 - x$ har ei løysing nær $x = 4$ . Bruk Newtons metode til å finne ho.

Forklar kvifor $x_0 = 0$ er ein dårleg startverdi for å løyse $f(x) = x^2 - 1 = 0$ med Newtons metode.

📝Oppgave 4

Skriv ein algoritme (pseudokode eller Python) for Newtons metode.

Skriv ein funksjon newton(f, f_derivert, x0, toleranse, maks_iter) som returnerer eit tilnærma nullpunkt. Funksjonen skal iterere til $|f(x_n)| < \text{toleranse}$ eller maks tal på iterasjonar er nådd.

Test algoritmen på $f(x) = x^3 - 2$ for å finne $\sqrt[3]{2}$ . Kor mange iterasjonar trengst for 10 desimalars nøyaktigheit?

Oppsummering

Newtons metode:
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Framgangsmåte:
1. Omform likninga til $f(x) = 0$
2. Finn $f'(x)$
3. Vel ein god startverdi $x_0$
4. Iterer til ønskt nøyaktigheit

Fordelar:
- Rask konvergens (doblar presisjon per steg)
- Fungerer for dei fleste funksjonar

Ulemper:
- Krev god startverdi
- Krev at $f'(x) \neq 0$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.