2.5 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Sekantlinje og tangentlinje, differenskvotient og overgangen til momentan vekstfart.

55 min

11 oppgaver

Gjennomsnittlig vekstfartMomentan vekstfartSekantlinjeTangentlinjeDifferenskvotient

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.3Sammensatte funksjoner

Frå gjennomsnittleg til momentan vekstfart

I dagleglivet snakkar vi ofte om gjennomsnittsfart: "Vi køyrde 300 km på 4 timar, altså var gjennomsnittsfarten 75 km/h." Men på eit bestemt tidspunkt kan farten vere høgare eller lågare enn gjennomsnittet.

Momentan vekstfart (augneblinksfart) er farten i eitt bestemt punkt. Matematisk definerer vi dette som ein grenseverdi, og det leier oss til omgrepet derivasjon.

Gjennomsnittleg vekstfart

f

✏️Døme 1: Gjennomsnittleg vekstfart

Ein ball blir kasta rett opp. Høgda etter $t$ sekund er $h(t) = 20t - 5t^2$ (i meter).

a) Finn gjennomsnittleg vekstfart (gjennomsnittsfart) på $[1, 3]$ .
b) Finn gjennomsnittleg vekstfart på $[1, 1{,}5]$ .

Løysing:

a) $h(1) = 20 - 5 = 15$ , $h(3) = 60 - 45 = 15$ .

$\frac{h(3) - h(1)}{3 - 1} = \frac{15 - 15}{2} = 0 \text{ m/s}$

b) $h(1{,}5) = 30 - 11{,}25 = 18{,}75$ .

$\frac{h(1{,}5) - h(1)}{1{,}5 - 1} = \frac{18{,}75 - 15}{0{,}5} = 7{,}5 \text{ m/s}$

Gjennomsnittsfarten avheng altså av kva for intervall vi ser på.

📝Oppgave 1

Finn gjennomsnittleg vekstfart for $f(x) = x^2$ på dei gitte intervalla.

[1, 3]

[1, 2]

[1, 1{,}1]

[1, 1{,}01]

Løs oppgaven Tren

Momentan vekstfart (den deriverte)

f

✏️Døme 2: Derivasjon frå definisjonen

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $f(x) = x^2$ .

Løysing:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

Altså $f'(x) = 2x$ . I $x = 1$ får vi $f'(1) = 2$ , som stemmer med mønstera vi såg i oppgåve 1.

📝Oppgave 2

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne $f'(x)$ .

f(x) = 3x - 1

f(x) = x^2 + x

f(x) = x^3

Løs oppgaven Tren

📜Likninga til tangenten

Tangentlinja til grafen til

f

i punktet

(a, f(a))

har likninga:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Dette er eittpunktsformelen for ei rett linje gjennom $(a, f(a))$ med stigingstal $f'(a)$ .

✏️Døme 3: Tangentlikning

Finn likninga til tangenten til $f(x) = x^2 - 3x + 2$ i punktet der $x = 2$ .

Løysing:

Funksjonsverdi: $f(2) = 4 - 6 + 2 = 0$ , så tangentpunktet er $(2, 0)$ .

Derivert: $f'(x) = 2x - 3$ , så $f'(2) = 1$ .

Likninga til tangenten:
$y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 0 + 1 \cdot (x - 2) = x - 2$

📝Oppgave 3

Finn likninga til tangenten i det oppgitte punktet.

f(x) = x^2

x = 3

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

x = 2

f(x) = \sqrt{x}

x = 4

Løs oppgaven Tren

Overgangen frå sekant til tangent er nøkkelen til forståinga av derivasjon:

- Sekanten gjennom $(a, f(a))$ og $(a+h, f(a+h))$ har stigingstal $\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
- Når $h \to 0$ , nærmar det andre punktet seg det første
- Sekanten "vrir seg" mot tangenten
- Tangenten har stigingstal $\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Denne overgangen er fundamentet for heile differensialrekninga.

📝Oppgave 4

Bruk definisjonen av den deriverte.

Vis at $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ når $f(x) = \sqrt{x}$ , for $x > 0$ .

Vis at $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ når $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ , for $x \neq 0$ .

📝Oppgave 5

Eit firma sel $x$ einingar av eit produkt. Inntektsfunksjonen er $I(x) = 500x - 2x^2$ (i kroner).

Finn gjennomsnittleg inntektsauke per eining når produksjonen blir auka frå 50 til 60 einingar.

Finn den momentane inntektsendringa når $x = 50$ (marginalinntekta).

For kva for ein verdi av $x$ er marginalinntekta lik null?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Lat $f(x) = x^2 + 1$ . Finn likninga for den rette linja gjennom $(0, -3)$ som er tangent til grafen til $f$ .

Oppsummering

- Gjennomsnittleg vekstfart = stigingstal til sekant = $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
- Momentan vekstfart = stigingstal til tangent = $\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
- Overgangen frå sekant til tangent er grunnlaget for derivasjon
- Likninga til tangenten: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$
- Den deriverte gir oss fart, marginalinntekt og andre endringsratar

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.