2.4 Delte funksjonsuttrykk

Stykkevis definerte funksjoner, diskontinuitet, trappefunksjoner og absoluttverdifunksjonen.

50 min

14 oppgaver

Stykkevis definerte funksjonerDiskontinuitetTrappefunksjonerAbsoluttverdifunksjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Stykkevis definerte funksjonar

Ikkje alle funksjonar kan skildrast med eitt enkelt uttrykk på heile definisjonsmengda. Ein stykkevis definert funksjon bruker forskjellige uttrykk på forskjellige intervall. Slike funksjonar dukkar opp naturleg i mange praktiske samanhengar -- til dømes trinnvis prising, skattesatsar og fysiske modellar med faseovergangar.

I dette kapittelet lærer du å definere, analysere og skissere stykkevis definerte funksjonar, og vi studerer omgrepet kontinuitet i denne samanhengen.

Stykkevis definert funksjon

f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{når } x \in I_1 \\ f_2(x) & \text{når } x \in I_2 \\ \vdots & \vdots \\ f_n(x) & \text{når } x \in I_n \end{cases}

✏️Døme 1: Enkel stykkevis funksjon

Lat $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{når } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{når } x \geq 1 \end{cases}$

a) Finn $f(0)$ , $f(1)$ og $f(3)$ .
b) Skisser grafen til $f$ .
c) Er $f$ kontinuerleg i $x = 1$ ?

Løysing:

a) $f(0) = 0^2 = 0$ (bruker $x^2$ sidan $0 < 1$ )
$f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ (bruker $2x - 1$ sidan $1 \geq 1$ )
$f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ (bruker $2x - 1$ sidan $3 \geq 1$ )

b) For $x < 1$ teiknar vi parabelen $y = x^2$ . For $x \geq 1$ teiknar vi linja $y = 2x - 1$ . Delane møtest i punktet $(1, 1)$ .

c) Vi sjekkar:
- Venstregrense: $\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$
- Høgregrense: $\lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1$
- Funksjonsverdi: $f(1) = 1$

Alle tre er like, så $f$ er kontinuerleg i $x = 1$ .

📝Oppgave 1

Lat $f(x) = \begin{cases} -x & \text{når } x < 0 \\ x^2 & \text{når } 0 \leq x < 2 \\ 4 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}$ . Rekn ut funksjonsverdiane.

f(-3)

f(0)

f(1)

f(2)

f(5)

Løs oppgaven Tren

Kontinuitet i eit punkt

f

✏️Døme 2: Diskontinuerleg funksjon

Undersøk om $g(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{når } x < 2 \\ x^2 - 1 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}$ er kontinuerleg i $x = 2$ .

Løysing:

Vi reknar grenseverdiane frå begge sider:

- Venstregrense: $\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$
- Høgregrense: $\lim_{x \to 2^+} (x^2 - 1) = 3$
- Funksjonsverdi: $g(2) = 2^2 - 1 = 3$

Alle tre verdiane er like ( $= 3$ ), så $g$ er kontinuerleg i $x = 2$ .

📝Oppgave 2

Avgjer om funksjonen er kontinuerleg i det oppgitte punktet.

f(x) = \begin{cases} 2x & \text{når } x < 1 \\ 3 - x & \text{når } x \geq 1 \end{cases}

x = 1

f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{når } x < 2 \\ 5 - x & \text{når } x \geq 2 \end{cases}

x = 2

f(x) = \begin{cases} \sin x & \text{når } x \leq 0 \\ x & \text{når } x > 0 \end{cases}

x = 0

📝Oppgave 3

Bestem verdien av konstanten $a$ slik at funksjonen blir kontinuerleg overalt.

f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{når } x < 2 \\ x^2 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}

f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{når } x < 1 \\ 3x & \text{når } x \geq 1 \end{cases}

Løs oppgaven Tren

Absoluttverdifunksjonen som delt uttrykk

Absoluttverdifunksjonen $|x|$ er det enklaste dømet på ein stykkevis definert funksjon:

$|x| = \begin{cases} x & \text{når } x \geq 0 \\ -x & \text{når } x < 0 \end{cases}$

Meir generelt kan vi skrive:

$|f(x)| = \begin{cases} f(x) & \text{når } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{når } f(x) < 0 \end{cases}$

For å fjerne absoluttverditeikn må vi altså finne ut kvar uttrykket inni er positivt og kvar det er negativt.

✏️Døme 3: Funksjon med absoluttverdi

Skriv $f(x) = |2x - 4|$ som ein stykkevis definert funksjon og skisser grafen.

Løysing:

Vi finn nullpunktet til uttrykket inni: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ .

- Når $x \geq 2$ : $2x - 4 \geq 0$ , så $|2x - 4| = 2x - 4$
- Når $x < 2$ : $2x - 4 < 0$ , så $|2x - 4| = -(2x - 4) = 4 - 2x$

Altså:

$f(x) = \begin{cases} 4 - 2x & \text{når } x < 2 \\ 2x - 4 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}$

Grafen er ein V-form med botnpunkt i $(2, 0)$ .

📝Oppgave 4

Skriv funksjonen som eit stykkevis definert uttrykk (utan absoluttverditeikn).

f(x) = |x - 3|

g(x) = |x| + x

h(x) = |x + 1| + |x - 1|

Trappefunksjonar

Ein trappefunksjon er ein stykkevis konstant funksjon -- han har ein fast verdi på kvart intervall. Eit vanleg døme er golvfunksjonen (heiltalsdelen):

$\lfloor x \rfloor = \text{største heile tal som er} \leq x$

Til dømes: $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$ , $\lfloor -1{,}3 \rfloor = -2$ , $\lfloor 5 \rfloor = 5$ .

Trappefunksjonar har mange praktiske bruksområde: portotabellar, trinnvis skatt, parkeringsavgifter og taksameter.

✏️Døme 4: Portotabell som trappefunksjon

Eit postselskap tek betalt for brev etter vekta

w

(i gram):

$P(w) = \begin{cases} 15 & \text{når } 0 < w \leq 20 \\ 25 & \text{når } 20 < w \leq 50 \\ 35 & \text{når } 50 < w \leq 100 \\ 50 & \text{når } 100 < w \leq 250 \end{cases}$

a) Kva kostar det å sende eit brev på 45 g?
b) Skisser grafen til $P$ .

Løysing:

a) $45 \in (20, 50]$ , så $P(45) = 25$ kr.

b) Grafen består av horisontale linjestykke. Kvart linjestykke har eit ope endepunkt til venstre (open sirkel) og eit lukka endepunkt til høgre (fylt sirkel), bortsett frå det første som er lukka i begge endar for $w > 0$ .

📝Oppgave 5

Ein parkeringsplass tek 20 kr per påbyrja time, med maks 120 kr per døgn.

Skriv prisen $P(t)$ som ein stykkevis definert funksjon for $0 < t \leq 24$ timar.

Kva er prisen for 3 timar og 15 minutt?

Løs oppgaven Tren

Tips for grafskissering av stykkevis funksjonar:
1. Teikn kvart deluttrykk på sitt intervall
2. Marker skøytepunkta tydeleg med fylt sirkel (inkludert) eller open sirkel (ekskludert)
3. Sjekk om delane heng saman (kontinuitet)
4. Bruk stipla linje for å antyde framhaldet av kvart uttrykk utanfor sitt intervall

📝Oppgave 6

Skisser grafen og bestem verdimengda til funksjonen.

f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{når } x \leq -1 \\ x^2 & \text{når } -1 < x < 1 \\ 2 - x & \text{når } x \geq 1 \end{cases}

g(x) = \begin{cases} -1 & \text{når } x < 0 \\ 0 & \text{når } x = 0 \\ 1 & \text{når } x > 0 \end{cases}

📝Oppgave 7

Løys likningane.

|2x - 6| = x

|x - 1| = |x + 3|

|x^2 - 4| = 3x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Bestem konstantane $a$ og $b$ .

f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{når } x < 1 \\ x^2 & \text{når } 1 \leq x \leq 3 \\ ax + b & \text{når } x > 3 \end{cases}

skal vere kontinuerleg overalt.

📝Oppgave 9

Bestem alle verdiar av $x$ som oppfyller ulikskapen $|x^2 - 5x + 4| < 2$ .

Oppsummering

- Ein stykkevis definert funksjon bruker ulike uttrykk på ulike intervall
- I skøytepunkta sjekkar vi kontinuitet ved å samanlikne venstre- og høgregrense med funksjonsverdien
- Absoluttverdifunksjonen $|f(x)|$ blir skriven stykkevis ved å finne nullpunkta til $f(x)$
- Trappefunksjonar er stykkevis konstante funksjonar med mange praktiske bruksområde
- Ved likningar og ulikskapar med absoluttverdi: del opp i tilfelle

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.