2.4
Alle fag for VG2

2.4 Delte funksjonsuttrykk

Stykkevis definerte funksjonar, diskontinuitet, trappefunksjonar og absoluttverdifunksjonen.

50 min
14 oppgaver
Stykkevis definerte funksjonarDiskontinuitetTrappefunksjonarAbsoluttverdifunksjon
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver

Stykkevis definerte funksjonar

Ikkje alle funksjonar kan skildrast med eitt enkelt uttrykk på heile definisjonsmengda. Ein stykkevis definert funksjon bruker forskjellige uttrykk på forskjellige intervall. Slike funksjonar dukkar opp naturleg i mange praktiske samanhengar -- til dømes trinnvis prising, skattesatsar og fysiske modellar med faseovergangar.

I dette kapittelet lærer du å definere, analysere og skissere stykkevis definerte funksjonar, og vi studerer omgrepet kontinuitet i denne samanhengen.

Stykkevis definert funksjon
Ein stykkevis definert funksjon er ein funksjon som er definert ved forskjellige uttrykk på forskjellige delar av definisjonsmengda:

f(x)={f1(x)na˚r x∈I1f2(x)na˚r x∈I2⋮⋮fn(x)na˚r x∈Inf(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{når } x \in I_1 \\ f_2(x) & \text{når } x \in I_2 \\ \vdots & \vdots \\ f_n(x) & \text{når } x \in I_n \end{cases}

der I1,I2,…,InI_1, I_2, \ldots, I_n er intervall som til saman utgjer definisjonsmengda, og f1,f2,…,fnf_1, f_2, \ldots, f_n er funksjonsuttrykk.

✏️Døme 1: Enkel stykkevis funksjon

Lat f(x)={x2na˚r x<12x−1na˚r x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{når } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{når } x \geq 1 \end{cases}

a) Finn f(0)f(0), f(1)f(1) og f(3)f(3).
b) Skisser grafen til ff.
c) Er ff kontinuerleg i x=1x = 1?

Løysing:

a) f(0)=02=0f(0) = 0^2 = 0 (bruker x2x^2 sidan 0<10 < 1)
f(1)=2⋅1−1=1f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1 (bruker 2x−12x - 1 sidan 1≥11 \geq 1)
f(3)=2⋅3−1=5f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5 (bruker 2x−12x - 1 sidan 3≥13 \geq 1)

b) For x<1x < 1 teiknar vi parabelen y=x2y = x^2. For x≥1x \geq 1 teiknar vi linja y=2x−1y = 2x - 1. Delane møtest i punktet (1,1)(1, 1).

c) Vi sjekkar:
- Venstregrense: lim⁡x→1−x2=1\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1
- Høgregrense: lim⁡x→1+(2x−1)=1\lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1
- Funksjonsverdi: f(1)=1f(1) = 1

Alle tre er like, så ff er kontinuerleg i x=1x = 1.

📝Oppgave 1

Lat f(x)={−xna˚r x<0x2na˚r 0≤x<24na˚r x≥2f(x) = \begin{cases} -x & \text{når } x < 0 \\ x^2 & \text{når } 0 \leq x < 2 \\ 4 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}. Rekn ut funksjonsverdiane.

a
f(−3)f(-3)
b
f(0)f(0)
c
f(1)f(1)
d
f(2)f(2)
e
f(5)f(5)
Løs oppgaven
Kontinuitet i eit punkt
Ein funksjon ff er kontinuerleg i x=ax = a dersom:

1. f(a)f(a) er definert
2. lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) eksisterer
3. lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

For stykkevis definerte funksjonar må vi sjekke kontinuitet i skøytepunkta -- der funksjonsuttrykket skiftar. Funksjonen er kontinuerleg i skøytepunktet x=ax = a dersom:

lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Her er lim⁡x→a−f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) (venstregrensa) den verdien greina til venstre for aa nærmar seg når xx går mot aa, og lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^+} f(x) (høgregrensa) tilsvarande for greina til høgre. Er greina eit polynom, finn vi verdien ved å setje x=ax = a inn i uttrykket for greina. Grenseverdiar blir behandla grundig i delkapittel 3.1, og kontinuitet igjen i 3.2.

✏️Døme 2: Kontinuitet i eit skøytepunkt

Undersøk om g(x)={x+1na˚r x<2x2−1na˚r x≥2g(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{når } x < 2 \\ x^2 - 1 & \text{når } x \geq 2 \end{cases} er kontinuerleg i x=2x = 2.

Løysing:

Vi reknar grenseverdiane frå begge sider:

- Venstregrense: lim⁡x→2−(x+1)=3\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3
- Høgregrense: lim⁡x→2+(x2−1)=3\lim_{x \to 2^+} (x^2 - 1) = 3
- Funksjonsverdi: g(2)=22−1=3g(2) = 2^2 - 1 = 3

Alle tre verdiane er like (=3= 3), så gg er kontinuerleg i x=2x = 2.

Samanlikn med figuren over: der er den høgre greina x2−3x^2 - 3, som gir 11 i x=2x = 2, og grafen får eit hopp.

📝Oppgave 2

Avgjer om funksjonen er kontinuerleg i det oppgitte punktet.

a
f(x)={2xna˚r x<13−xna˚r x≥1f(x) = \begin{cases} 2x & \text{når } x < 1 \\ 3 - x & \text{når } x \geq 1 \end{cases} i x=1x = 1
b
f(x)={x2na˚r x<25−xna˚r x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{når } x < 2 \\ 5 - x & \text{når } x \geq 2 \end{cases} i x=2x = 2
c
f(x)={ex−1na˚r x≤0xna˚r x>0f(x) = \begin{cases} e^x - 1 & \text{når } x \leq 0 \\ x & \text{når } x > 0 \end{cases} i x=0x = 0
📝Oppgave 3

Bestem verdien av konstanten aa slik at funksjonen blir kontinuerleg overalt.

a
f(x)={ax+1na˚r x<2x2na˚r x≥2f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{når } x < 2 \\ x^2 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}
b
f(x)={x2+ana˚r x<13xna˚r x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{når } x < 1 \\ 3x & \text{når } x \geq 1 \end{cases}
Løs oppgaven

Absoluttverdifunksjonen som delt uttrykk

Absoluttverdifunksjonen ∣x∣|x| er det enklaste dømet på ein stykkevis definert funksjon:

∣x∣={xna˚r x≥0−xna˚r x<0|x| = \begin{cases} x & \text{når } x \geq 0 \\ -x & \text{når } x < 0 \end{cases}

Meir generelt kan vi skrive:

∣f(x)∣={f(x)na˚r f(x)≥0−f(x)na˚r f(x)<0|f(x)| = \begin{cases} f(x) & \text{når } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{når } f(x) < 0 \end{cases}

For å fjerne absoluttverditeikn må vi altså finne ut kvar uttrykket inni er positivt og kvar det er negativt.

✏️Døme 3: Funksjon med absoluttverdi

Skriv f(x)=∣2x−4∣f(x) = |2x - 4| som ein stykkevis definert funksjon og skisser grafen.

Løysing:

Vi finn nullpunktet til uttrykket inni: 2x−4=0⇒x=22x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2.

- Når x≥2x \geq 2: 2x−4≥02x - 4 \geq 0, så ∣2x−4∣=2x−4|2x - 4| = 2x - 4
- Når x<2x < 2: 2x−4<02x - 4 < 0, så ∣2x−4∣=−(2x−4)=4−2x|2x - 4| = -(2x - 4) = 4 - 2x

Altså:

f(x)={4−2xna˚r x<22x−4na˚r x≥2f(x) = \begin{cases} 4 - 2x & \text{når } x < 2 \\ 2x - 4 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}

Grafen er ein V-form med botnpunkt i (2,0)(2, 0).

📝Oppgave 4

Skriv funksjonen som eit stykkevis definert uttrykk (utan absoluttverditeikn).

a
f(x)=∣x−3∣f(x) = |x - 3|
b
g(x)=∣x∣+xg(x) = |x| + x
c
h(x)=∣x+1∣+∣x−1∣h(x) = |x + 1| + |x - 1|

Trappefunksjonar

Ein trappefunksjon er ein stykkevis konstant funksjon -- han har ein fast verdi på kvart intervall. Eit vanleg døme er golvfunksjonen (heiltalsdelen):

⌊x⌋=største heile tal som er≤x\lfloor x \rfloor = \text{største heile tal som er} \leq x

Til dømes: ⌊2,7⌋=2\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2, ⌊−1,3⌋=−2\lfloor -1{,}3 \rfloor = -2, ⌊5⌋=5\lfloor 5 \rfloor = 5.

Trappefunksjonar har mange praktiske bruksområde: portotabellar, trinnvis skatt, parkeringsavgifter og taksameter.

✏️Døme 4: Portotabell som trappefunksjon
Eit postselskap tek betalt for brev etter vekta ww (i gram):

P(w)={15na˚r 0<w≤2025na˚r 20<w≤5035na˚r 50<w≤10050na˚r 100<w≤250P(w) = \begin{cases} 15 & \text{når } 0 < w \leq 20 \\ 25 & \text{når } 20 < w \leq 50 \\ 35 & \text{når } 50 < w \leq 100 \\ 50 & \text{når } 100 < w \leq 250 \end{cases}

a) Kva kostar det å sende eit brev på 45 g?
b) Skisser grafen til PP.

Løysing:

a) 45∈⟨20,50]45 \in \langle 20, 50], så P(45)=25P(45) = 25.

Svar: Det kostar 25 kr.

b) Grafen består av horisontale linjestykke. Kvart linjestykke, også det første, har eit ope endepunkt til venstre (open sirkel) og eit lukka endepunkt til høgre (fylt sirkel). Det første trinnet har ope endepunkt i w=0w = 0 fordi w>0w > 0.

📝Oppgave 5

Ein parkeringsplass tek 20 kr per påbyrja time, med maks 120 kr per døgn.

a

Skriv prisen P(t)P(t) som ein stykkevis definert funksjon for 0<t≤240 < t \leq 24 timar.

b

Kva er prisen for 3 timar og 15 minutt?

Løs oppgaven
📝Oppgave 6

Skisser grafen og bestem verdimengda til funksjonen.

a
f(x)={x+2na˚r x≤−1x2na˚r −1<x<12−xna˚r x≥1f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{når } x \leq -1 \\ x^2 & \text{når } -1 < x < 1 \\ 2 - x & \text{når } x \geq 1 \end{cases}
b
g(x)={−1na˚r x<00na˚r x=01na˚r x>0g(x) = \begin{cases} -1 & \text{når } x < 0 \\ 0 & \text{når } x = 0 \\ 1 & \text{når } x > 0 \end{cases}
📝Oppgave 7

Løys likningane.

a
∣2x−6∣=x|2x - 6| = x
b
∣x−1∣=∣x+3∣|x - 1| = |x + 3|
c
∣x2−4∣=3x|x^2 - 4| = 3x
Løs oppgaven
📝Oppgave 8

Bestem konstantane aa og bb.

a
f(x)={ax+bna˚r x<1x2na˚r 1≤x≤3ax+bna˚r x>3f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{når } x < 1 \\ x^2 & \text{når } 1 \leq x \leq 3 \\ ax + b & \text{når } x > 3 \end{cases} skal vere kontinuerleg overalt.
📝Oppgave 9

Bestem alle verdiar av xx som oppfyller ulikskapen ∣x2−5x+4∣<2|x^2 - 5x + 4| < 2.

Oppsummering

- Ein stykkevis definert funksjon bruker ulike uttrykk på ulike intervall
- I skøytepunkta sjekkar vi kontinuitet ved å samanlikne venstre- og høgregrense med funksjonsverdien
- Absoluttverdifunksjonen ∣f(x)∣|f(x)| blir skriven stykkevis ved å finne nullpunkta til f(x)f(x)
- Trappefunksjonar er stykkevis konstante funksjonar med mange praktiske bruksområde
- Ved likningar og ulikskapar med absoluttverdi: del opp i tilfelle

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.