7.5 Modellvurdering

$$K(400) = 12 \cdot 400 + 3200 = 4800 + 3200 = 8000$$
$$K(600) = 12 \cdot 600 + 3200 = 7200 + 3200 = 10\,400$$

Svar: 400 brød kostar 8000 kr, og 600 brød kostar 10 400 kr. Begge ligg innanfor gyldigheitsområdet $0 \le x \le 600$.

b) Modellen gir

$$K(900) = 12 \cdot 900 + 3200 = 10\,800 + 3200 = 14\,000$$

Rekninga er rett. Svaret er likevel feil, for 900 ligg utanfor gyldigheitsområdet. Konstantleddet 3200 i modellen føreset éin omn, og med éin omn kan bakeriet ikkje bake 900 brød i det heile.

Svar: Modellen gir 14 000 kr, men talet tyder ingenting — bakeriet kan ikkje bake 900 brød med det utstyret modellen byggjer på.

c) Med ein omn til aukar dei faste kostnadene:

$$3200 + 1900 = 5100$$

Dei variable kostnadene per brød er uendra — mjølet kostar det same uansett kva omn brødet blir steikt i:

$$K_{\text{ny}}(x) = 12x + 5100, \qquad 600 < x \le 1200$$

$$K_{\text{ny}}(900) = 12 \cdot 900 + 5100 = 10\,800 + 5100 = 15\,900$$

Svar: Med to omnar kostar 900 brød 15 900 kr — altså 1900 kr meir enn den gamle modellen påstod.

NB: Legg merke til at vi ikkje kasta den gamle modellen. Vi gav kvar modell sitt gyldigheitsområde. Slik er det ofte i økonomi: éin modell for normal drift, ein annan når bedrifta har vakse.

$$89\,000 - 72\,000 = 17\,000$$

Svar: Modellane er usamde om 17 000 kr — nesten ein fjerdedel av det den lineære modellen reknar med.

c) To ting talar for den kvadratiske:
- Han treffer alle målepunkta eksakt.
- Han stemmer med det vi veit om produksjon: kostnaden per eining plar å auke ved høg produksjon (overtid, slitasje, dyrare råvarer). Ein lineær modell seier at eining nummer 800 kostar like mykje som eining nummer 1.
Men legg merke til kva vi ikkje kan slutte: at $K_K(800) = 89\,000$ er rett. Begge modellane er laga frå målingar mellom 0 og 400. Ved 800 einingar ekstrapolerer vi dobbelt så langt som dataa rekk.

Svar: Vi brukar den kvadratiske modellen, både fordi han passar best og fordi forma stemmer med faget. Men svaret ved 800 einingar oppgir vi som eit overslag med atterhald, og vi rår bedrifta til å måle nokre punkt over 400 før ho tek ei avgjerd som avheng av talet.

NB: Dette er den viktigaste setninga i kapittelet: at ein modell passar godt til dataa, seier ingenting om kor godt han passar utanfor dei.

Toppunktet ligg ved $x = 450$, og det ligg utanfor gyldigheitsområdet. Då kan vi ikkje bruke det.

Vi undersøkjer korleis $O$ oppfører seg i det området vi faktisk har:

$$O'(x) = -0{,}4x + 180$$
$$O'(300) = -0{,}4 \cdot 300 + 180 = -120 + 180 = 60$$

Den deriverte er positiv i $x = 300$. Sidan $O'$ er ei søkkande rett linje som først blir null i $x = 450$, er $O'(x) > 0$ for alle $x$ mellom 0 og 300. Profitten stig altså heile vegen fram til kapasitetsgrensa.

Når ein funksjon stig på heile intervallet, ligg den største verdien i høgre endepunkt:

$$O(300) = -0{,}2 \cdot 300^2 + 180 \cdot 300 - 5000$$
$$O(300) = -0{,}2 \cdot 90\,000 + 54\,000 - 5000$$
$$O(300) = -18\,000 + 54\,000 - 5000$$
$$O(300) = 31\,000$$

Toppunktet ligg utanfor gyldigheitsområdet. Sidan $O'(x) > 0$ heile vegen fram til kapasitetsgrensa, ligg den største verdien i ENDEPUNKTET: 300 kassar og 31 000 kr.

Svar: Bryggeriet bør fylle kapasiteten og produsere 300 kassar i veka. Profitten blir 31 000 kr.

Kva kapasitetsgrensa kostar bryggeriet, ser vi ved å samanlikne:

$$35\,500 - 31\,000 = 4500$$

Svar: Bryggeriet går glipp av 4500 kr i veka fordi tankane er for små. Det talet er nyttig: skal bryggeriet vurdere å kjøpe fleire tankar, er 4500 kr per veke det investeringa må målast mot.

NB: Her er poenget at $O'(x) = 0$ ikkje var svaret. Når toppunktet ligg utanfor gyldigheitsområdet, må vi undersøkje endepunkta. Å svare «450 kassar» ville ha vore rett rekna og likevel gale.

$$p(5) = \frac{1000}{10} = 100$$
$$p(50) = \frac{1000}{55} \approx 18{,}18$$
$$p(500) = \frac{1000}{505} \approx 1{,}98$$
$$p(5000) = \frac{1000}{5005} \approx 0{,}20$$

Verdiane blir mindre og mindre, men aldri null:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1000}{x + 5} = 0$$

Modellen seier altså at det alltid finst fleire kjøparar, berre prisen blir sett lågt nok. Vil vi selje 99 995 einingar, må prisen ned i 1 øre:

$$\frac{1000}{x + 5} = 0{,}01 \qquad | \; \cdot (x + 5)$$
$$1000 = 0{,}01(x + 5) \qquad | \; : 0{,}01$$
$$100\,000 = x + 5$$
$$x = 99\,995$$

Er det rimeleg? Nei, ikkje utan vidare:

- Det finst eit endeleg tal på menneske i marknaden. Ei etterspurnadskurve som aldri treffer $x$-aksen, seier at marknaden er uendeleg stor.
- Svært låge prisar ville i praksis ha utløyst noko heilt anna enn meir sal: folk ville ha kjøpt for vidaresal, eller mistenkt at vara var defekt.

Modellen er brukbar i området han er laga for — rundt marknadskrysset ved om lag 37,3 einingar og 23,65 kr. At kurva aldri treffer $x$-aksen, tyder matematisk at det alltid finst fleire kjøparar, og det sluttar å gjelde lenge før prisen er 1 øre.

Svar: Modellen er brukbar i det området han er laga for — rundt marknadskrysset ved om lag 37,3 einingar. Utanfor blir han urimeleg, og han skal ikkje brukast til å svare på spørsmål om massesal til låge prisar.

NB: Legg merke til at det ikkje er noko gale med funksjonen $\displaystyle \frac{1000}{x+5}$ i seg sjølv. Det er koplinga mellom funksjonen og røynda som sluttar å gjelde. Ein modell har alltid eit gyldigheitsområde, også når formelen er definert overalt.