7.4 Konsument- og produsentoverskudd | Matematikk for økonomi

Overskudd som areal, og hva som skjer når prisen flytter seg.

45 min

6 oppgaver

KonsumentoverskuddProdusentoverskudd

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Hva tjener partene på handelen?

I markedskrysset fra kapittel 7.3 lå likevektsprisen på 80 — og der var prisene i hundre kroner, altså 8000 kr per panel. Men etterspørselskurven forteller at noen kjøpere var villige til å betale 120 (12 000 kr), og andre 100 (10 000 kr). De fikk panelet for 8000 kr — og sparte altså penger.

På samme måte var det selgere som hadde solgt for 20 eller 50. De fikk 80, og tjente mer enn de trengte.

Denne gevinsten ved å handle kan vi måle. Og fordi gevinsten per enhet varierer fra enhet til enhet, blir den samlede gevinsten et areal mellom to kurver.

Er kurvene rette linjer — og det er de i de fleste oppgavene — er området en trekant eller et trapes, og da holder formlene du kan fra før. Er en av kurvene krum, lar vi et digitalt verktøy måle arealet.

Konsumentoverskudd og produsentoverskudd

x^{*}

✏️Eksempel 1: Overskudd som trekanter

I markedet for solcellepaneler fra kapittel 7.3 er

$E(x) = 120 - 0{,}4x \qquad \text{og} \qquad T(x) = 20 + 0{,}6x$

med likevekten $x^{*} = 100$ og $p^{*} = 80$ . Som i kapittel 7.3 er prisene i hundre kroner.

Begge kurvene er rette linjer. Finn KO og PO.

Hva vet vi? Begge kurvene er rette linjer, og likevekten er

(100, 80)

Vi regner i selve likevekten, og der møter begge kurvene prislinjen i høyre ende. Den høyre siden i trapeset er altså null, og begge områdene er trekanter:

$A = \frac{g \cdot h}{2}$

Konsumentoverskuddet. Trekanten har hjørnene $(0, 80)$ , $(0, 120)$ og $(100, 80)$ :

- Grunnlinjen er den stiplede prislinjen: $g = 100$
- Høyden er avstanden opp til $E(0)$ : $h = 120 - 80 = 40$

$\text{KO} = \frac{g \cdot h}{2}$
$\text{KO} = \frac{100 \cdot 40}{2}$
$\text{KO} = \frac{4000}{2}$
$\text{KO} = 2000$

Produsentoverskuddet. Trekanten har hjørnene $(0, 80)$ , $(0, 20)$ og $(100, 80)$ :

- Grunnlinjen er den samme: $g = 100$
- Høyden er avstanden ned til $T(0)$ : $h = 80 - 20 = 60$

$\text{PO} = \frac{100 \cdot 60}{2}$
$\text{PO} = \frac{6000}{2}$
$\text{PO} = 3000$

Enheten. Prisene er i hundre kroner, og mengden er et antall paneler. Arealene er derfor også i hundre kroner, og vi ganger med 100 for å få kroner:

$2000 \cdot 100 = 200\,000$
$3000 \cdot 100 = 300\,000$

Svar: Konsumentoverskuddet er 2000, altså 200 000 kr, og produsentoverskuddet 3000, altså 300 000 kr. Til sammen gir handelen en gevinst på 5000, det vil si 500 000 kr.

NB: Regn i de enhetene kurvene er gitt i, og gjør om til kroner helt til slutt. Gjør du om underveis, må du huske at begge aksene er med i et areal — og da er det lett å gange med 100 én gang for mye.

NB: Legg merke til at kjøperne og selgerne ikke får like mye. Selgerne får mest her, fordi tilbudskurven er brattere enn etterspørselskurven — avstanden fra likevektsprisen ned til $T(0)$ er større enn avstanden opp til $E(0)$ .

📝Oppgave 7.4.1

I kakemarkedet fra oppgave 7.3.1 er $E(x) = 60 - 0{,}5x$ og $T(x) = 10 + 0{,}5x$ , med likevekt i $x^{*} = 50$ og $p^{*} = 35$ (kroner).

Hva er $E(0)$ og $T(0)$ (i kroner)?

Finn høyden i KO-trekanten (i kroner).

Regn ut konsumentoverskuddet (i kroner).

Regn ut produsentoverskuddet (i kroner).

Hvorfor blir KO og PO nøyaktig like store i dette markedet?

Løs oppgaven

Når en av kurvene er krum

Trekant- og trapesformelen virker bare når kurvene er rette linjer. Er én av dem krum, har området en bue som side, og da finnes det ingen enkel arealformel.

Da lar vi et digitalt verktøy måle arealet. I GeoGebra gjør kommandoen

Integral(f, a, b)

nettopp det: den måler arealet mellom grafen til $f$ og førsteaksen fra $x = a$ til $x = b$ .

Trikset er å la $f$ være differansen mellom de to kurvene. Da er avstanden fra grafen ned til førsteaksen akkurat like stor som avstanden mellom kurven og prislinjen — og arealet blir konsument- eller produsentoverskuddet.

Det lønner seg å lære kommandoen på et marked vi allerede kan svaret på. Da ser vi at de to veiene gir det samme.

✏️Eksempel 2 (Del 2): Det samme markedet med digitalt verktøy

Kontroller svarene fra eksempel 1 med GeoGebra.

$E(x) = 120 - 0{,}4x \qquad \text{og} \qquad T(x) = 20 + 0{,}6x$

Likevekten er $x^{*} = 100$ og $p^{*} = 80$ .

Vi legger først inn de to kurvene og likevektsprisen:

E(x)=120-0.4x
T(x)=20+0.6x
p=80

Konsumentoverskuddet. Vi ber om arealet under differansen $E(x) - p$ , fra 0 til likevektskvantumet 100:

Integral(E(x)-p, 0, 100)

GeoGebra svarer $2000$ .

Produsentoverskuddet. Samme kommando, med differansen den andre veien:

Integral(p-T(x), 0, 100)

GeoGebra svarer $3000$ .

Svar: $\text{KO} = 2000$ og $\text{PO} = 3000$ , altså 200 000 kr og 300 000 kr — nøyaktig som med trekantformelen i eksempel 1.

NB: Grensene er alltid 0 og den mengden som faktisk blir omsatt. Det er derfor vi finner likevekten — eller den regulerte mengden — først.

NB: Legg merke til at vi skrev inn differansen, ikke kurven selv. Kommandoen Integral(E(x), 0, 100) gir 10 000: arealet helt ned til førsteaksen. Det er noe annet, og mye større.

Kommandoen Integral(f, a, b) har et matematisk navn: den regner ut det bestemte integralet

$\int_{a}^{b} f(x)\,dx$

Tallet er arealet mellom grafen til $f$ og førsteaksen fra $x = a$ til $x = b$ . Tegnet $\int$ er en langstrakt S og står for sum: vi tenker oss området delt opp i svært mange, svært tynne søyler, og legger arealene sammen.

For hånd regner vi det ut ved å finne en funksjon som har $f$ som sin deriverte, sette inn den øvre grensen, og trekke fra det samme med den nedre. For markedet i eksempel 1 blir det slik:

$\text{KO} = \int_{0}^{100} (120 - 0{,}4x - 80)\,dx$
$\text{KO} = \int_{0}^{100} (40 - 0{,}4x)\,dx$
$\text{KO} = \Big[\, 40x - 0{,}4 \cdot \frac{x^2}{2} \,\Big]_{0}^{100}$
$\text{KO} = \Big[\, 40x - 0{,}2x^2 \,\Big]_{0}^{100}$
$\text{KO} = \big(40 \cdot 100 - 0{,}2 \cdot 100^2\big) - \big(40 \cdot 0 - 0{,}2 \cdot 0^2\big)$
$\text{KO} = (4000 - 2000) - 0$
$\text{KO} = 2000$

Dette er ikke pensum i matematikk for økonomi. Integralregning står ikke i læreplanen for faget, og du blir ikke bedt om det på eksamen. Trekantformelen, trapesformelen og kommandoen Integral(f, a, b) dekker alt du trenger i kapittel 7.4. Regningen står her fordi den forklarer hva verktøyet gjør — og fordi du møter den igjen hvis du velger matematikk R2 eller studerer økonomi videre.

📝Oppgave 7.4.2

I verktøymarkedet fra oppgave 7.3.2 er $E(x) = 200 - 2x$ og $T(x) = 50 + x$ (kroner), med likevekt i $x^{*} = 50$ og $p^{*} = 100$ .

Vis at høyden i KO-trekanten er 100 kr.

Regn ut konsumentoverskuddet (i kroner).

Vis at høyden i PO-trekanten er 50 kr.

Regn ut produsentoverskuddet (i kroner).

Kontroller begge svarene med GeoGebra.

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3 (Del 2): Når etterspørselskurven er krum

I et marked for en ny type varmepumpe er

$E(x) = 100 - 0{,}03x^2 \qquad \text{og} \qquad T(x) = 20 + 0{,}8x$

der prisene er i tusen kroner.

a) Finn likevekten.

b) Finn konsumentoverskuddet.

c) Finn produsentoverskuddet.

a) Vi setter kurvene lik hverandre:

$100 - 0{,}03x^2 = 20 + 0{,}8x$

Vi flytter alt over på én side:

$0 = 0{,}03x^2 + 0{,}8x - 80$

Dette er en andregradslikning. Med $a = 0{,}03$ , $b = 0{,}8$ og $c = -80$ gir abc-formelen

$x = \frac{-0{,}8 \pm \sqrt{0{,}8^2 - 4 \cdot 0{,}03 \cdot (-80)}}{2 \cdot 0{,}03}$
$x = \frac{-0{,}8 \pm \sqrt{0{,}64 + 9{,}6}}{0{,}06}$
$x = \frac{-0{,}8 \pm \sqrt{10{,}24}}{0{,}06}$
$x = \frac{-0{,}8 \pm 3{,}2}{0{,}06}$

Det gir $x = 40$ eller $\displaystyle x = -\frac{4}{0{,}06} \approx -66{,}7$ .

Et antall varmepumper kan ikke være negativt, så vi forkaster den negative løsningen.

$E(40) = 100 - 0{,}03 \cdot 40^2 = 100 - 0{,}03 \cdot 1600 = 100 - 48 = 52$

Kontroll: $T(40) = 20 + 0{,}8 \cdot 40 = 20 + 32 = 52$ .

Svar: Likevektskvantumet er 40 varmepumper og likevektsprisen 52 (altså 52 000 kr).

b) Etterspørselskurven er ikke en rett linje, så området har en bue som side. Trekantformelen virker ikke, og vi lar GeoGebra måle arealet mellom $E(x)$ og prislinjen $p = 52$ :

E(x)=100-0.03x^2
Integral(E(x)-52, 0, 40)

GeoGebra svarer $1280$ .

Svar: Konsumentoverskuddet er 1280, altså 1 280 000 kr.

c) Tilbudskurven er en rett linje, og vi er i likevekt, så området er en trekant. Grunnlinjen er 40, og høyden er avstanden ned til $T(0)$ :

$h = 52 - 20 = 32$
$\text{PO} = \frac{40 \cdot 32}{2}$
$\text{PO} = \frac{1280}{2}$
$\text{PO} = 640$

Kontroll i GeoGebra: Integral(52-(20+0.8x), 0, 40) gir 640.

Konsumentoverskuddet har en bue som side, og da svikter trekantformelen — arealet må regnes med integral. Produsentoverskuddet er fortsatt en trekant, fordi tilbudskurven er rett.

Svar: Produsentoverskuddet er 640, altså 640 000 kr. Samlet overskudd i markedet er $1280 + 640 = 1920$ , altså 1 920 000 kr.

NB: Legg merke til at vi bare brukte verktøyet der vi måtte. Er den ene kurven rett, regner vi den delen for hånd — det går fortere, og det gir en kontroll på at verktøyet ble matet riktig.

📝Oppgave 7.4.3

I et marked er

$E(x) = 80 - 0{,}05x^2 \qquad \text{og} \qquad T(x) = 20 + 0{,}5x$

der prisene er i kroner. Bruk digitalt verktøy der kurven er krum.

Vis at likevektskvantumet er 30.

Finn likevektsprisen (i kroner).

Regn ut konsumentoverskuddet (i kroner).

Regn ut produsentoverskuddet (i kroner).

Hvilken av de to partene tjener mest på handelen i dette markedet, og hvorfor?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7.4.4

I et marked er begge kurvene krumme:

$E(x) = 120 - 0{,}02x^2 \qquad \text{og} \qquad T(x) = 20 + 0{,}03x^2$

der prisene er i kroner. Likevekten finner du for hånd; overskuddene måler du med digitalt verktøy.

Finn likevektskvantumet eksakt.

Finn likevektsprisen (i kroner).

Regn ut konsumentoverskuddet med digitalt verktøy. Rund av til nærmeste hele krone.

Regn ut produsentoverskuddet med digitalt verktøy. Rund av til nærmeste hele krone.

Forklar hvorfor du ikke kunne brukt trekant- eller trapesformelen her.

Løs oppgaven

Når prisen ikke får være i likevekt

Noen ganger bestemmer myndighetene prisen. En minstepris (prisgulv) hindrer prisen i å falle under et bestemt nivå, en maksimalpris (pristak) hindrer den i å stige over et nivå.

Da blir det ikke lenger handlet $x^{*}$ enheter. Det blir handlet den minste av de to mengdene:

- Ved minstepris over likevekt vil selgerne selge mye, men kjøperne kjøpe lite. Det er etterspørselen som bestemmer hvor mye som faktisk blir omsatt.
- Ved maksimalpris under likevekt vil kjøperne kjøpe mye, men selgerne selge lite. Det er tilbudet som bestemmer.

Begge deler gjør det samlede overskuddet mindre. Forskjellen kalles dødvektstapet — gevinsten av de handlene som aldri blir gjennomført.

NB: Nå er det bare én av kurvene som treffer prislinjen der området slutter. Det området blir en trekant som før, mens det andre får to loddrette sider og blir et trapes.

✏️Eksempel 4: En minstepris og dødvektstapet

I markedet for solcellepaneler fra eksempel 1 er $E(x) = 120 - 0{,}4x$ og $T(x) = 20 + 0{,}6x$ , med likevekt i 100 paneler til prisen 80 (altså 8000 kr per panel). Prisene er i hundre kroner.

Myndighetene innfører en minstepris på 90, altså 9000 kr per panel.

a) Hvor mange paneler blir omsatt?

b) Finn KO og PO med den nye prisen.

c) Hvor stort er dødvektstapet?

a) Ved prisen 90 vil kjøperne bare kjøpe så mye som etterspørselskurven tillater. Vi løser

E(x) = 90

$120 - 0{,}4x = 90 \qquad | \; - 120$
$-0{,}4x = -30 \qquad | \; : (-0{,}4)$
$x = 75$

Selgerne ville gjerne solgt mer — vi løser $T(x) = 90$ og får $\displaystyle x = \frac{350}{3} \approx 116{,}7$ — men de får ikke solgt mer enn kjøperne vil ha.

Svar: 75 paneler blir omsatt.

b) Nå er prisen 90 og den omsatte mengden 75.

Konsumentoverskuddet. Ved $x = 75$ er $E(75) = 90$ — etterspørselskurven treffer prislinjen akkurat der området slutter. Den høyre siden er null, så området er en trekant:

- Grunnlinjen: $g = 75$
- Høyden: $h = E(0) - 90 = 120 - 90 = 30$

$\text{KO} = \frac{g \cdot h}{2}$
$\text{KO} = \frac{75 \cdot 30}{2}$
$\text{KO} = \frac{2250}{2}$
$\text{KO} = 1125$

Produsentoverskuddet. Tilbudskurven treffer ikke prislinjen ved $x = 75$ : der er $T(75) = 65$ , og det er fremdeles 25 opp til 90. Området har to loddrette sider, og er derfor et trapes:

- Venstre side: $a = 90 - T(0) = 90 - 20 = 70$
- Høyre side: $b = 90 - T(75) = 90 - 65 = 25$
- Bredden: $h = 75$

$\text{PO} = \frac{a + b}{2} \cdot h$
$\text{PO} = \frac{70 + 25}{2} \cdot 75$
$\text{PO} = \frac{95}{2} \cdot 75$
$\text{PO} = 47{,}5 \cdot 75$
$\text{PO} = 3562{,}5$

Svar: Konsumentoverskuddet er 1125 (112 500 kr) mot 2000 (200 000 kr) før, og produsentoverskuddet 3562,5 (356 250 kr) mot 3000 (300 000 kr) før.

c) Vi sammenligner de samlede overskuddene:

$\text{før: } 2000 + 3000 = 5000$
$\text{etter: } 1125 + 3562{,}5 = 4687{,}5$
$5000 - 4687{,}5 = 312{,}5$

Vi kan også regne tapet direkte som en trekant. Den ligger mellom $x = 75$ og $x = 100$ , og høyden er avstanden mellom kurvene ved $x = 75$ :

$E(75) = 120 - 30 = 90 \qquad T(75) = 20 + 45 = 65$
$h = 90 - 65 = 25 \qquad g = 100 - 75 = 25$
$\text{Dødvektstap} = \frac{25 \cdot 25}{2} = 312{,}5$

Med minstepris slutter området der ETTERSPØRSELSKURVEN treffer prislinja: da blir KO en trekant og PO et trapes. Den grå trekanten er dødvektstapet — verdi som hverken kjøper eller selger får.

Svar: Dødvektstapet er 312,5 — altså 31 250 kr.

NB: Selgerne tjente på minsteprisen (PO gikk opp med 562,5, altså 56 250 kr), kjøperne tapte (KO gikk ned med 875, altså 87 500 kr). Tapet til kjøperne er større enn gevinsten til selgerne, og differansen på 31 250 kr forsvinner ut av markedet — ingen får den. Det er verdien av de 25 panelene som kjøpere og selgere var enige om å handle, men som reguleringen stanset.

NB: Legg merke til at det ene området ble en trekant og det andre et trapes. Se alltid etter hvilken kurve som treffer prislinjen der området slutter — det er den som gir siden null.

Oppsummering

Størrelse	Området	I likevekt (trekant)
Konsumentoverskudd	mellom etterspørselskurven og prislinjen	$\dfrac{x^{}\big(E(0) - p^{}\big)}{2}$
Produsentoverskudd	mellom prislinjen og tilbudskurven	$\dfrac{x^{}\big(p^{} - T(0)\big)}{2}$

Er prisen regulert, blir den omsatte mengden mindre enn

x^{*}

, og det ene området får to loddrette sider. Da bruker vi trapesformelen

\displaystyle A = \frac{a + b}{2} \cdot h

.
Slik regner du:
1. Finn prisen og den mengden som faktisk blir omsatt — uten dem har du ingen grenser.

2. Tegn området, og se om den høyre siden er null. Er den det, er området en trekant; ellers et trapes.

3. Sett inn i formelen, og regn ut.

4. Er en av kurvene krum, lar du Integral(f, a, b) måle arealet — med differansen mellom kurven og prislinjen som $f$ .
5. Sjekk enheten til slutt. Er prisene i hundre eller tusen kroner, er arealet det også.
Fordelingen mellom partene bestemmes av hvor bratte kurvene er:
$\text{KO} : \text{PO} = \big(E(0) - p^{*}\big) : \big(p^{*} - T(0)\big)$
Den parten hvis kurve er brattest, sitter igjen med det største overskuddet.

📝Oppgave 7.4.5

I markedet for en type lyspære er $E(x) = 150 - 0{,}5x$ og $T(x) = 30 + 0{,}25x$ (kroner). Myndighetene innfører en maksimalpris på 60 kr.

Finn likevekten uten regulering, og regn ut KO og PO.

Hvor mange pærer blir omsatt ved maksimalprisen på 60 kr?

Hvor stor blir mangelen (forskjellen mellom etterspurt og tilbudt mengde)?

Regn ut KO og PO etter reguleringen.

Drøft: hvem vinner og hvem taper på maksimalprisen, og hvor stort er dødvektstapet?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7.4.6

To markeder har hver sine kurver (prisene er i kroner):

Marked A: $E(x) = 100 - x$ og $T(x) = 20 + 0{,}25x$

Marked B: $E(x) = 100 - 0{,}25x$ og $T(x) = 20 + x$

Vis at begge markedene har likevektskvantum 64.

Finn likevektsprisen i hvert marked (i kroner).

Regn ut KO og PO i marked A (i kroner).

Regn ut KO og PO i marked B (i kroner).

Drøft hva sammenligningen viser om hvem som tjener mest på et marked.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.