7.5 Modellvurdering

$$K(400) = 12 \cdot 400 + 3200 = 4800 + 3200 = 8000$$
$$K(600) = 12 \cdot 600 + 3200 = 7200 + 3200 = 10\,400$$

Svar: 400 brød koster 8000 kr, og 600 brød koster 10 400 kr. Begge ligger innenfor gyldighetsområdet $0 \le x \le 600$.

b) Modellen gir

$$K(900) = 12 \cdot 900 + 3200 = 10\,800 + 3200 = 14\,000$$

Regningen er riktig. Svaret er likevel feil, for 900 ligger utenfor gyldighetsområdet. Modellens konstantledd 3200 forutsetter én ovn, og med én ovn kan bakeriet ikke bake 900 brød i det hele tatt.

Svar: Modellen gir 14 000 kr, men tallet betyr ingenting — bakeriet kan ikke bake 900 brød med det utstyret modellen bygger på.

c) Med en ovn til øker de faste kostnadene:

$$3200 + 1900 = 5100$$

De variable kostnadene per brød er uendret — melet koster det samme uansett hvilken ovn brødet stekes i:

$$K_{\text{ny}}(x) = 12x + 5100, \qquad 600 < x \le 1200$$

$$K_{\text{ny}}(900) = 12 \cdot 900 + 5100 = 10\,800 + 5100 = 15\,900$$

Svar: Med to ovner koster 900 brød 15 900 kr — altså 1900 kr mer enn den gamle modellen påsto.

NB: Legg merke til at vi ikke kastet den gamle modellen. Vi ga hver modell sitt gyldighetsområde. Slik er det ofte i økonomi: én modell for normal drift, en annen når bedriften har vokst.

$$89\,000 - 72\,000 = 17\,000$$

Svar: Modellene er uenige om 17 000 kr — nesten en fjerdedel av det den lineære modellen anslår.

c) To ting taler for den kvadratiske:
- Den treffer alle målepunktene eksakt.
- Den stemmer med det vi vet om produksjon: kostnaden per enhet pleier å øke ved høy produksjon (overtid, slitasje, dyrere råvarer). En lineær modell sier at enhet nummer 800 koster like mye som enhet nummer 1.
Men legg merke til hva vi ikke kan slutte: at $K_K(800) = 89\,000$ er riktig. Begge modellene er laget fra målinger mellom 0 og 400. Ved 800 enheter ekstrapolerer vi dobbelt så langt som dataene rekker.

Svar: Vi bruker den kvadratiske modellen, både fordi den passer best og fordi formen stemmer med faget. Men svaret ved 800 enheter oppgir vi som et anslag med forbehold, og vi anbefaler bedriften å måle noen punkter over 400 før den tar en beslutning som avhenger av tallet.

NB: Dette er den viktigste setningen i kapittelet: at en modell passer godt til dataene, sier ingenting om hvor godt den passer utenfor dem.

Toppunktet ligger ved $x = 450$, og det ligger utenfor gyldighetsområdet. Da kan vi ikke bruke det.

Vi undersøker hvordan $O$ oppfører seg i det området vi faktisk har:

$$O'(x) = -0{,}4x + 180$$
$$O'(300) = -0{,}4 \cdot 300 + 180 = -120 + 180 = 60$$

Den deriverte er positiv i $x = 300$. Siden $O'$ er en synkende rett linje som først blir null i $x = 450$, er $O'(x) > 0$ for alle $x$ mellom 0 og 300. Profitten stiger altså hele veien fram til kapasitetsgrensen.

Når en funksjon stiger på hele intervallet, ligger den største verdien i høyre endepunkt:

$$O(300) = -0{,}2 \cdot 300^2 + 180 \cdot 300 - 5000$$
$$O(300) = -0{,}2 \cdot 90\,000 + 54\,000 - 5000$$
$$O(300) = -18\,000 + 54\,000 - 5000$$
$$O(300) = 31\,000$$

Toppunktet ligger utenfor gyldighetsområdet. Siden $O'(x) > 0$ hele veien fram til kapasitetsgrensen, ligger den største verdien i ENDEPUNKTET: 300 kasser og 31 000 kr.

Svar: Bryggeriet bør fylle kapasiteten og produsere 300 kasser i uken. Profitten blir 31 000 kr.

Hva kapasitetsgrensen koster bryggeriet, ser vi ved å sammenligne:

$$35\,500 - 31\,000 = 4500$$

Svar: Bryggeriet går glipp av 4500 kr i uken fordi tankene er for små. Det tallet er nyttig: skal bryggeriet vurdere å kjøpe flere tanker, er 4500 kr per uke det investeringen må måles mot.

NB: Her er poenget at $O'(x) = 0$ ikke var svaret. Når toppunktet ligger utenfor gyldighetsområdet, må vi undersøke endepunktene. Å svare «450 kasser» ville vært riktig regnet og likevel galt.

$$E(5) = \frac{1000}{10} = 100$$
$$E(50) = \frac{1000}{55} \approx 18{,}18$$
$$E(500) = \frac{1000}{505} \approx 1{,}98$$
$$E(5000) = \frac{1000}{5005} \approx 0{,}20$$

Verdiene blir mindre og mindre, men aldri null:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1000}{x + 5} = 0$$

Modellen sier altså at det alltid finnes flere kjøpere, bare prisen settes lavt nok. Vil vi selge 99 995 enheter, må prisen ned i 1 øre:

$$\frac{1000}{x + 5} = 0{,}01 \qquad | \; \cdot (x + 5)$$
$$1000 = 0{,}01(x + 5) \qquad | \; : 0{,}01$$
$$100\,000 = x + 5$$
$$x = 99\,995$$

Er det rimelig? Nei, ikke uten videre:

- Det finnes et endelig antall mennesker i markedet. En etterspørselskurve som aldri treffer $x$-aksen, sier at markedet er uendelig stort.
- Svært lave priser ville i praksis utløst noe helt annet enn mer salg: folk ville kjøpt for videresalg, eller mistenkt at varen var defekt.

Modellen er brukbar i området den er laget for — rundt markedskrysset ved 37 enheter. At kurven aldri treffer $x$-aksen, betyr matematisk at det alltid finnes flere kjøpere, og det slutter å gjelde lenge før prisen er 1 øre.

Svar: Modellen er brukbar i det området den er laget for — rundt markedskrysset ved 37 enheter. Utenfor blir den urimelig, og den skal ikke brukes til å svare på spørsmål om massesalg til lave priser.

NB: Legg merke til at det ikke er noe galt med funksjonen $\displaystyle \frac{1000}{x+5}$ i seg selv. Det er koblingen mellom funksjonen og virkeligheten som slutter å gjelde. En modell har alltid et gyldighetsområde, også når formelen er definert overalt.