7.3 Tilbud, etterspørsel og markedskryss

Hva vet vi? De to kurvene $E$ og $T$.

Hva må vi finne? Den $x$-verdien der de er like store.

Vi setter kurvene lik hverandre:

$$E(x) = T(x)$$
$$120 - 0{,}4x = 20 + 0{,}6x$$

Vi samler leddene med $x$ på høyre side og tallene på venstre:

$$120 - 0{,}4x = 20 + 0{,}6x \qquad | \; + 0{,}4x$$
$$120 = 20 + x \qquad | \; - 20$$
$$100 = x$$

Likevektskvantumet er $x^{*} = 100$ paneler.

Prisen finner vi ved å sette inn i en av kurvene:

$$E(100) = 120 - 0{,}4 \cdot 100 = 120 - 40 = 80$$

Vi kontrollerer med den andre:

$$T(100) = 20 + 0{,}6 \cdot 100 = 20 + 60 = 80$$

Begge gir 80, så regningen stemmer.

Svar: Likevektskvantumet er 100 paneler per dag, og likevektsprisen er 80 (altså 8000 kr per panel).

b) $E(0) = 120$ er den prisen kjøperne er villige til å betale for det aller første panelet. Ingen vil betale mer enn 120 for et panel — over den prisen er etterspørselen null.

$T(0) = 20$ er den laveste prisen noen produsent er villig til å selge for. Under 20 er det ingen som vil produsere i det hele tatt.

Svar: Handel er bare mulig i prisområdet mellom 20 og 120. Likevektsprisen 80 ligger inni det området, slik den må.

$$90 - 0{,}2x = 30 + 0{,}1x \qquad | \; + 0{,}2x$$
$$90 = 30 + 0{,}3x \qquad | \; - 30$$
$$60 = 0{,}3x \qquad | \; : 0{,}3$$
$$x = 200$$

$$E(200) = 90 - 0{,}2 \cdot 200 = 90 - 40 = 50$$

Svar: Likevektskvantumet er 200 hjelmer og likevektsprisen 50 kr.

b) Nå kjenner vi prisen og skal finne mengdene. Da snur vi begge kurvene.

Etterspurt mengde: vi løser $E(x) = 60$:

$$90 - 0{,}2x = 60 \qquad | \; - 90$$
$$-0{,}2x = -30 \qquad | \; : (-0{,}2)$$
$$x = 150$$

Tilbudt mengde: vi løser $T(x) = 60$:

$$30 + 0{,}1x = 60 \qquad | \; - 30$$
$$0{,}1x = 30 \qquad | \; : 0{,}1$$
$$x = 300$$

Svar: Ved 60 kr blir 150 hjelmer etterspurt, mens 300 hjelmer blir tilbudt.

c) Selgerne tilbyr 300 hjelmer, men bare 150 blir kjøpt:

$$300 - 150 = 150$$

Overskuddstilbud er en vannrett avstand: ved 60 kr vil kjøperne ha 150 hjelmer, mens selgerne tilbyr 300. De 150 som blir til overs, presser prisen ned mot 50 kr.

Svar: Det blir et overskuddstilbud på 150 hjelmer. De blir stående usolgt på lageret, og butikkene vil før eller siden sette ned prisen. Prisen presses mot 50 kr — likevektsprisen.

NB: Legg merke til hva vi gjorde i b). Når prisen er oppgitt og vi skal finne mengden, løser vi likningen $E(x) = p$ i stedet for å sette inn.

$$\frac{1000}{x + 5} = 5 + 0{,}5x$$

Vi ganger begge sider med $x + 5$ (den er positiv når $x > 0$):

$$1000 = (5 + 0{,}5x)(x + 5)$$
$$1000 = 5x + 25 + 0{,}5x^2 + 2{,}5x$$
$$1000 = 0{,}5x^2 + 7{,}5x + 25$$

Vi flytter alt over på én side:

$$0{,}5x^2 + 7{,}5x - 975 = 0$$

og ganger med 2 for å få 1-tallet foran $x^2$:

$$x^2 + 15x - 1950 = 0$$

abc-formelen med $a = 1$, $b = 15$ og $c = -1950$:

$$x = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1950)}}{2 \cdot 1}$$
$$x = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 7800}}{2}$$
$$x = \frac{-15 \pm \sqrt{8025}}{2}$$
$$x = \frac{-15 \pm 89{,}58}{2}$$

Den negative løsningen forkaster vi — et antall enheter kan ikke være negativt. Den positive er

$$x = \frac{-15 + 89{,}58}{2} \approx 37{,}29$$

Alternativ 2 (CAS):

E(x):=1000/(x+5)
T(x):=5+0.5x
Løs(E(x)=T(x), x)

CAS gir den eksakte løsningen $\displaystyle x = \frac{5\sqrt{321} - 15}{2} \approx 37{,}29$ — samme tall.

Prisen finner vi ved å sette inn:

$$E(37{,}29) = \frac{1000}{37{,}29 + 5} \approx 23{,}65$$

Kontroll med den andre kurven:

$$T(37{,}29) = 5 + 0{,}5 \cdot 37{,}29 \approx 23{,}65$$

Svar: Markedskrysset ligger ved om lag 37,3 enheter og en pris på om lag 23,65 kr.

NB: Legg merke til at etterspørselskurven her aldri treffer $x$-aksen — $\displaystyle \frac{1000}{x+5}$ er positiv uansett hvor stor $x$ blir. Modellen sier altså at det alltid finnes noen som vil kjøpe, bare prisen er lav nok. Om det er rimelig, ser vi nærmere på i kapittel 7.5.

$$T_{\text{ny}}(x) = 30 + 0{,}1x + 9 = 39 + 0{,}1x$$

Vi finner det nye markedskrysset:

$$90 - 0{,}2x = 39 + 0{,}1x \qquad | \; + 0{,}2x$$
$$90 = 39 + 0{,}3x \qquad | \; - 39$$
$$51 = 0{,}3x \qquad | \; : 0{,}3$$
$$x = 170$$

$$E(170) = 90 - 0{,}2 \cdot 170 = 90 - 34 = 56$$

Svar: Den nye likevekten er 170 hjelmer til 56 kr.

b) Vi sammenligner med den gamle likevekten (200 hjelmer til 50 kr).

Kjøperen betalte 50 kr før og betaler 56 kr nå:

$$56 - 50 = 6$$

Selgeren får 56 kr inn, men må betale 9 kr i avgift:

$$56 - 9 = 47$$

Selgeren satt igjen med 50 kr før og sitter igjen med 47 kr nå:

$$50 - 47 = 3$$

Kontroll: $6 + 3 = 9$, altså hele avgiften.

Avgiften på 9 kr flytter hele tilbudskurven opp. Kjøperen betaler 6 kr mer enn før, selgeren sitter igjen med 3 kr mindre — $6 + 3 = 9$. Fordelingen bestemmes av hvor bratte kurvene er, ikke av hvem som betaler inn.

Svar: Av avgiften på 9 kr bærer kjøperen 6 kr og selgeren 3 kr. Staten får inn $9 \cdot 170 = 1530$ kr per dag.

NB: Avgiften ble ikke betalt av den som sender pengene til staten. Hvor mye hver part bærer, bestemmes av hvor bratte kurvene er — ikke av hvem skjemaet står i navnet på.