7.2 Profitt som funksjon av pris eller kvantum

Hva må vi finne? Den $x$-verdien som gir størst $O(x)$.

Steg 1 — vi deriverer. Vi deriverer ledd for ledd:

$$O'(x) = -0{,}2 \cdot 2x + 180$$
$$O'(x) = -0{,}4x + 180$$

Steg 2 — vi løser $O'(x) = 0$:

$$-0{,}4x + 180 = 0 \qquad | \; - 180$$
$$-0{,}4x = -180 \qquad | \; : (-0{,}4)$$
$$x = 450$$

Steg 3 — gyldighetsområdet. Bryggeriet kan ikke produsere et negativt antall kasser, så vi trenger $x > 0$. Kandidaten $x = 450$ er gyldig.

Steg 4 — andrederiverttest. Vi deriverer én gang til:

$$O''(x) = -0{,}4$$

Den andrederiverte er negativ for alle $x$, og dermed også i $x = 450$. Da er $x = 450$ et toppunkt — vi har funnet størst profitt og ikke minst.

Steg 5 — vi regner ut profitten:

$$O(450) = -0{,}2 \cdot 450^2 + 180 \cdot 450 - 5000$$
$$O(450) = -0{,}2 \cdot 202\,500 + 81\,000 - 5000$$
$$O(450) = -40\,500 + 81\,000 - 5000$$
$$O(450) = 35\,500$$

Svar: Bryggeriet bør produsere 450 kasser i uken. Da blir profitten 35 500 kr per uke.

NB: I kapittel 7.1 fant vi i en tabell at 450 kasser ga den største verdien blant $0, 50, 100, \ldots$ Derivasjonen gir det samme svaret — men nå vet vi at det er det aller største, ikke bare det største i tabellen.

$$I(p) = p \cdot q(p)$$
$$I(p) = p(2000 - 20p)$$
$$I(p) = 2000p - 20p^2$$

Vi deriverer og setter lik null:

$$I'(p) = 2000 - 40p$$
$$2000 - 40p = 0 \qquad | \; + 40p$$
$$2000 = 40p \qquad | \; : 40$$
$$p = 50$$

Andrederiverttest: $I''(p) = -40 < 0$, altså toppunkt.

$$I(50) = 2000 \cdot 50 - 20 \cdot 50^2 = 100\,000 - 50\,000 = 50\,000$$

Svar: Prisen 50 kr gir størst inntekt, 50 000 kr per uke. Da selges $q(50) = 2000 - 1000 = 1000$ ryggsekker.

b) Nå må vi trekke fra kostnadene. Butikken betaler 20 kr per solgte ryggsekk, og antall solgte er $q(p)$:

$$K(p) = 20 \cdot q(p)$$
$$K(p) = 20(2000 - 20p)$$
$$K(p) = 40\,000 - 400p$$

$$O(p) = I(p) - K(p)$$
$$O(p) = 2000p - 20p^2 - (40\,000 - 400p)$$
$$O(p) = 2000p - 20p^2 - 40\,000 + 400p$$
$$O(p) = -20p^2 + 2400p - 40\,000$$

Vi deriverer og setter lik null:

$$O'(p) = -40p + 2400$$
$$-40p + 2400 = 0$$
$$p = 60$$

Andrederiverttest: $O''(p) = -40 < 0$, altså toppunkt.

$$O(60) = -20 \cdot 60^2 + 2400 \cdot 60 - 40\,000$$
$$O(60) = -72\,000 + 144\,000 - 40\,000$$
$$O(60) = 32\,000$$

Svar: Prisen 60 kr gir størst profitt, 32 000 kr per uke. Da selges $q(60) = 2000 - 1200 = 800$ ryggsekker.

c) Prisen som gir størst profitt (60 kr) er høyere enn prisen som gir størst inntekt (50 kr).

Grunnen er at hver ryggsekk koster butikken 20 kr. Ved 50 kr selger den 200 flere sekker enn ved 60 kr, men de 200 ekstra sekkene koster også penger å skaffe. Inntekten blir større, men det som blir igjen, blir mindre:

$$O(50) = -20 \cdot 2500 + 2400 \cdot 50 - 40\,000 = 30\,000$$

Toppunktet i profitten ligger til HØYRE for toppunktet i inntekten: butikken bør ta 60 kr, ikke 50. Å jage størst mulig omsetning er ikke det samme som å tjene mest.

Svar: Butikken bør ta 60 kr. Å jage størst mulig omsetning er ikke det samme som å tjene mest mulig.

$$K_e(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{0{,}5x^2 + 60x + 9000}{x}$$
$$K_e(x) = 0{,}5x + 60 + \frac{9000}{x}$$

Vi skriver om til potensform og deriverer:

$$K_e(x) = 0{,}5x + 60 + 9000x^{-1}$$
$$K_e'(x) = 0{,}5 - 9000x^{-2} = 0{,}5 - \frac{9000}{x^2}$$

Så løser vi $K_e'(x) = 0$:

$$0{,}5 - \frac{9000}{x^2} = 0$$
$$\frac{9000}{x^2} = 0{,}5$$
$$x^2 = \frac{9000}{0{,}5} = 18\,000$$
$$x = \sqrt{18\,000} = 60\sqrt{5} \approx 134{,}16$$

(Den negative løsningen forkaster vi — antall kasser må være positivt.)

Alternativ 2 (CAS):

K_e(x):=0.5x+60+9000/x
Løs(K_e'(x)=0, x)

Andrederiverttest: $K_e''(x) = \dfrac{18\,000}{x^3}$, som er positiv for alle $x > 0$. Altså et bunnpunkt — vi har funnet minst enhetskostnad.

$$K_e(134{,}16) \approx 194{,}16$$

Gartneriet kan ikke pakke 0,16 kasse. Vi sjekker de to nabotallene:

$$K_e(134) \approx 194{,}1642 \qquad K_e(135) \approx 194{,}1667$$

Svar: 134 kasser gir lavest enhetskostnad, om lag 194 kr per kasse.

b) Profitten er

$$O(x) = 300x - (0{,}5x^2 + 60x + 9000)$$
$$O(x) = -0{,}5x^2 + 240x - 9000$$

$$O'(x) = -x + 240$$
$$-x + 240 = 0$$
$$x = 240$$

Andrederiverttest: $O''(x) = -1 < 0$, altså toppunkt.

$$O(240) = -0{,}5 \cdot 57\,600 + 240 \cdot 240 - 9000$$
$$O(240) = -28\,800 + 57\,600 - 9000$$
$$O(240) = 19\,800$$

De to målene ligger på forskjellige steder langs den samme x-aksen: minst kostnad per kasse ved 134 kasser, størst samlet profitt ved 240.

Svar: 240 kasser gir størst profitt, 19 800 kr per uke.

NB: Legg merke til at de to svarene ikke er like. Ved 240 kasser er ikke gartneriet så «effektivt» som det kunne vært — hver kasse koster mer enn 194 kr å produsere. Men prisen er 300 kr, og de ekstra kassene mellom 134 og 240 gir fortsatt mer inn enn de koster. Minst kostnad per enhet og størst samlet profitt er to forskjellige mål.

$$I(x) = 700x$$
$$O(x) = 700x - 200x \cdot 1{,}02^x - 200$$

Hva må vi finne? Den $x$-verdien som gir størst $O(x)$.

Denne funksjonen kan vi ikke derivere og løse for hånd på rimelig tid — produktet $x \cdot 1{,}02^x$ krever produktregelen, og likningen som kommer ut, har ingen eksakt løsning. Derfor bruker vi CAS.

I GeoGebra CAS skriver vi:

O(x):=700x-200x*1.02^x-200
NLøs(O'(x)=0, x)

CAS gir $x \approx 36{,}05$.

Andrederiverttest i CAS:

O''(36.05)

gir om lag $-21{,}9$. Negativ andrederivert betyr toppunkt.

Bedriften monterer hele biler, så vi sjekker nabotallene:

$$O(36) \approx 10\,312{,}8 \qquad O(37) \approx 10\,302{,}9$$

Den eksponentielle faktoren $1{,}02^x$ gjør at hver ny bil koster litt mer å montere enn den forrige. Når kostnaden for den neste passerer prisen, snur profitten — og kurven er så flat rundt toppen at 36 og 37 biler nesten er like gode.

Svar: Bedriften bør montere 36 biler i måneden. Profitten blir da om lag 10 313 000 kr, altså cirka 10,3 millioner kroner.

NB: Legg merke til hvorfor profitten snur. Prisen per bil er den samme uansett, men faktoren $1{,}02^x$ gjør at hver ny bil koster litt mer å montere enn den forrige. Når kostnaden for den neste bilen passerer 700 000 kr, lønner det seg ikke lenger å montere flere.