7.2 Profitt som funksjon av pris eller kvantum | Matematikk for økonomi

Å maksimere profitt når pris, etterspørsel og kostnad er gitt ved funksjoner.

45 min

6 oppgaver

ProfittmaksimeringOptimering

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Hvor er profitten størst?

I kapittel 7.1 satte vi opp profittfunksjonen $O(x) = I(x) - K(x)$ og fant når bedriften går i balanse. Men en bedrift vil sjelden bare unngå underskudd — den vil tjene mest mulig.

Da spør vi: hvilken $x$ gir den største verdien av $O(x)$ ?

Dette er et optimeringsproblem, og verktøyet er derivasjon fra kapittel 6. Profitten vokser så lenge $O'(x) > 0$ og synker når $O'(x) < 0$ . I toppen snur det, og der er $O'(x) = 0$ .

I dette kapittelet gjør vi det samme to veier: vi lar kvantumet $x$ være den frie variabelen, og vi lar prisen $p$ være den frie variabelen. De to spørsmålene har ikke samme svar.

📜Størst mulig profitt

Profitten

O

har et toppunkt der

$O'(x) = 0$

og $O'(x)$ skifter fra positiv til negativ: profitten vokser til venstre for punktet og synker til høyre for det.

Slik gjør vi det:

1. Sett opp $O(x) = I(x) - K(x)$ .
2. Deriver: finn $O'(x)$ .
3. Løs likningen $O'(x) = 0$ . Løsningene er kandidater.
4. Forkast kandidater som ligger utenfor gyldighetsområdet (for eksempel negative antall).
5. Fortegnslinje: finn fortegnet til $O'$ på hver side av kandidaten. Går det fra pluss til minus, har vi et toppunkt — altså størst profitt, ikke minst.
6. Regn ut $O$ i kandidaten, og svar i hele setninger med benevning.

NB: Fortegnslinja er ikke pynt. At $O'(x) = 0$ betyr bare at grafen flater ut — det kan like gjerne være et bunnpunkt. Uten fortegnet til $O'$ på hver side vet vi ikke om vi har funnet det beste eller det verste punktet.

Alternativ (dobbeltderivert): Er $O''$ negativ i kandidaten, er punktet et toppunkt.

✏️Eksempel 1: Størst profitt ved gitt kvantum

Mikrobryggeriet fra kapittel 7.1 har profittfunksjonen

$O(x) = -0{,}2x^2 + 180x - 5000$

der $x$ er antall kasser øl per uke og $O(x)$ er i kroner.

Hvor mange kasser bør bryggeriet produsere per uke for å tjene mest mulig, og hvor stor blir profitten da?

Hva vet vi? Profittfunksjonen

O(x) = -0{,}2x^2 + 180x - 5000

Hva må vi finne? Den $x$ -verdien som gir størst $O(x)$ .

Deriver. Vi deriverer ledd for ledd:

$O'(x) = -0{,}2 \cdot 2x + 180$
$O'(x) = -0{,}4x + 180$

Løs $O'(x) = 0$ .

$-0{,}4x + 180 = 0 \qquad | \; - 180$
$-0{,}4x = -180 \qquad | \; : (-0{,}4)$
$x = 450$

Gyldighetsområdet. Bryggeriet kan ikke produsere et negativt antall kasser, så vi trenger $x > 0$ . Kandidaten $x = 450$ er gyldig.

Fortegnslinje. Vi faktoriserer den deriverte:

$O'(x) = -0{,}4x + 180 = -0{,}4(x - 450)$

Faktoren $-0{,}4$ er negativ overalt. Faktoren $(x - 450)$ er negativ til venstre for 450 og positiv til høyre. Produktet $O'(x)$ er derfor positivt for $x < 450$ og negativt for $x > 450$ (se linja under løsningen). Profitten vokser fram til 450 kasser og synker etterpå, så $x = 450$ er et toppunkt — vi har funnet størst profitt og ikke minst.

Alternativ (dobbeltderivert): $O''(x) = -0{,}4 < 0$ for alle $x$ , altså toppunkt.

Regn ut profitten.

$O(450) = -0{,}2 \cdot 450^2 + 180 \cdot 450 - 5000$
$O(450) = -0{,}2 \cdot 202\,500 + 81\,000 - 5000$
$O(450) = -40\,500 + 81\,000 - 5000$
$O(450) = 35\,500$

Svar: Bryggeriet bør produsere 450 kasser i uken. Da blir profitten 35 500 kr per uke.

NB: I kapittel 7.1 fant vi i en tabell at 450 kasser ga den største verdien blant $0, 50, 100, \ldots$ Derivasjonen gir det samme svaret — men nå vet vi at det er det aller største, ikke bare det største i tabellen.

Fortegnslinje for O'(x) = -0,4(x - 450)

x-linje

450

-0,4

(x-450)

O'(x)

📝Oppgave 7.2.1

En bedrift har profittfunksjonen $O(x) = -0{,}1x^2 + 60x - 4000$ kroner, der $x$ er antall enheter per måned.

Finn $O'(x)$ .

Hvilket antall enheter gir størst profitt?

Vis med fortegnslinje at du har funnet et toppunkt.

Hvor stor er den største profitten (i kroner)?

Hva forteller $O(0) = -4000$ om bedriften?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7.2.2

Et snekkerverksted har kostnadene $K(x) = 0{,}25x^2 + 30x + 1200$ kroner ved å lage $x$ krakker i måneden. Hver krakk selges for 130 kr.

Sett opp $I(x)$ .

Vis at $O(x) = -0{,}25x^2 + 100x - 1200$ .

Hvor mange krakker gir størst profitt?

Hvor stor er den største profitten (i kroner)?

Regn ut $O(150)$ og $O(250)$ . Hva legger du merke til?

Løs oppgaven

Når prisen er den frie variabelen

Hittil har vi latt bedriften bestemme hvor mye den skal produsere, og gått ut fra at alt blir solgt til en fast pris. Ofte er det motsatt: bedriften bestemmer prisen, og markedet bestemmer hvor mye som blir solgt.

Setter butikken prisen høyt, selger den få. Setter den prisen lavt, selger den mange. Sammenhengen mellom pris og salg kaller vi etterspørselen.

Etterspørselsfunksjonen

q(p)

✏️Eksempel 2: Prisen som gir størst inntekt — og prisen som gir størst profitt

En nettbutikk selger en ryggsekk. Salget per uke avhenger av prisen

p

(i kroner) slik:

$q(p) = 2000 - 20p$

Butikken betaler 20 kr til leverandøren for hver ryggsekk den selger, og har ingen andre kostnader.

a) Finn prisen som gir størst inntekt.

b) Finn prisen som gir størst profitt.

c) Sammenlign de to svarene.

a) Inntekten er pris ganger antall:

$I(p) = p \cdot q(p)$
$I(p) = p(2000 - 20p)$
$I(p) = 2000p - 20p^2$

Vi deriverer og setter lik null:

$I'(p) = 2000 - 40p$
$2000 - 40p = 0 \qquad | \; + 40p$
$2000 = 40p \qquad | \; : 40$
$p = 50$

Fortegnslinje: $I'(p) = -40(p - 50)$ er positiv for $p < 50$ og negativ for $p > 50$ , altså toppunkt.

$I(50) = 2000 \cdot 50 - 20 \cdot 50^2 = 100\,000 - 50\,000 = 50\,000$

Svar: Prisen 50 kr gir størst inntekt, 50 000 kr per uke. Da selges $q(50) = 2000 - 1000 = 1000$ ryggsekker.

b) Nå må vi trekke fra kostnadene. Butikken betaler 20 kr per solgte ryggsekk, og antall solgte er $q(p)$ :

$K(p) = 20 \cdot q(p)$
$K(p) = 20(2000 - 20p)$
$K(p) = 40\,000 - 400p$

$O(p) = I(p) - K(p)$
$O(p) = 2000p - 20p^2 - (40\,000 - 400p)$
$O(p) = 2000p - 20p^2 - 40\,000 + 400p$
$O(p) = -20p^2 + 2400p - 40\,000$

Vi deriverer og setter lik null:

$O'(p) = -40p + 2400$
$-40p + 2400 = 0$
$p = 60$

Fortegnslinje: $O'(p) = -40(p - 60)$ er positiv for $p < 60$ og negativ for $p > 60$ , altså toppunkt.

$O(60) = -20 \cdot 60^2 + 2400 \cdot 60 - 40\,000$
$O(60) = -72\,000 + 144\,000 - 40\,000$
$O(60) = 32\,000$

Svar: Prisen 60 kr gir størst profitt, 32 000 kr per uke. Da selges $q(60) = 2000 - 1200 = 800$ ryggsekker.

c) Prisen som gir størst profitt (60 kr) er høyere enn prisen som gir størst inntekt (50 kr).

Grunnen er at hver ryggsekk koster butikken 20 kr. Ved 50 kr selger den 200 flere sekker enn ved 60 kr, men de 200 ekstra sekkene koster også penger å skaffe. Inntekten blir større, men det som blir igjen, blir mindre:

$O(50) = -20 \cdot 2500 + 2400 \cdot 50 - 40\,000 = 30\,000$

Koordinatsystem med pris p fra 0 til 110 kroner og kroner per uke fra 0 til 60000. En blå parabel merket I av p har toppunkt i det markerte punktet (50, 50000). En lavere grønn parabel merket O av p har toppunkt i det markerte punktet (60, 32000). Stiplede hjelpelinjer går fra begge toppunktene ned til prisaksen ved 50 og 60.

Toppunktet i profitten ligger til HØYRE for toppunktet i inntekten: butikken bør ta 60 kr, ikke 50. Å jage størst mulig omsetning er ikke det samme som å tjene mest.

Svar: Butikken bør ta 60 kr. Å jage størst mulig omsetning er ikke det samme som å tjene mest mulig.

📝Oppgave 7.2.3

En bedrift selger hodetelefoner. Antall solgte per uke ved prisen

p

kroner er

$q(p) = 800 - 4p$

Hvert par koster bedriften 50 kr i innkjøp.

Vis at $I(p) = 800p - 4p^2$ .

Hvor stor blir inntekten hvis prisen settes til 40 kr (i kroner)?

Hvilken pris gir størst inntekt (i kroner)?

Vis at $O(p) = -4p^2 + 1000p - 40\,000$ , og finn prisen som gir størst profitt (i kroner).

Hvor mange par selges ved hver av de to prisene, og hvor stor blir profitten ved den beste prisen?

Løs oppgaven

Minste enhetskostnad

Et annet spørsmål bedrifter stiller, er: ved hvilken produksjonsmengde produserer vi mest mulig effektivt? Da leter vi ikke etter størst profitt, men etter minst enhetskostnad — den produksjonsmengden der hver enhet koster minst mulig å lage.

Metoden er den samme, men nå leter vi etter et bunnpunkt: $K_e'(x) = 0$ , og $K_e'$ skifter fra minus til pluss.

✏️Eksempel 3 (Del 2): Minste enhetskostnad

Gartneriet fra kapittel 7.1 har kostnadene

$K(x) = 0{,}5x^2 + 60x + 9000$

kroner per uke ved $x$ kasser tomater.

a) Finn produksjonsmengden som gir minst enhetskostnad, og hvor stor enhetskostnaden er da.

b) Tomatene selges for 300 kr per kasse. Finn produksjonsmengden som gir størst profitt, og sammenlign med a).

a) Enhetskostnaden er kostnaden delt på antallet:

$K_e(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{0{,}5x^2 + 60x + 9000}{x}$
$K_e(x) = 0{,}5x + 60 + \frac{9000}{x}$

Vi skriver om til potensform og deriverer:

$K_e(x) = 0{,}5x + 60 + 9000x^{-1}$
$K_e'(x) = 0{,}5 - 9000x^{-2} = 0{,}5 - \frac{9000}{x^2}$

Så løser vi $K_e'(x) = 0$ :

$0{,}5 - \frac{9000}{x^2} = 0$
$\frac{9000}{x^2} = 0{,}5$
$x^2 = \frac{9000}{0{,}5} = 18\,000$
$x = \sqrt{18\,000} = 60\sqrt{5} \approx 134{,}16$

(Den negative løsningen forkaster vi — antall kasser må være positivt.)

Alternativ (CAS):

K_e(x):=0.5x+60+9000/x
Løs(K_e'(x)=0, x)

Fortegnslinje: vi skriver den deriverte på felles brøkstrek.

$K_e'(x) = \frac{0{,}5x^2 - 9000}{x^2} = \frac{0{,}5(x^2 - 18\,000)}{x^2}$

Nevneren er positiv. For $0 < x < 60\sqrt{5}$ er $x^2 < 18\,000$ , så $K_e'(x) < 0$ . For $x > 60\sqrt{5}$ er $K_e'(x) > 0$ . Den deriverte skifter fra minus til pluss, altså et bunnpunkt — vi har funnet minst enhetskostnad.

Alternativ (dobbeltderivert): $K_e''(x) = \dfrac{18\,000}{x^3} > 0$ for alle $x > 0$ , altså bunnpunkt.

$K_e(134{,}16) \approx 194{,}16$

Gartneriet kan ikke pakke 0,16 kasse. Vi sjekker de to nabotallene:

$K_e(134) \approx 194{,}1642 \qquad K_e(135) \approx 194{,}1667$

Svar: 134 kasser gir lavest enhetskostnad, om lag 194 kr per kasse.

b) Profitten er

$O(x) = 300x - (0{,}5x^2 + 60x + 9000)$
$O(x) = -0{,}5x^2 + 240x - 9000$

$O'(x) = -x + 240$
$-x + 240 = 0$
$x = 240$

Fortegnslinje: $O'(x) = -(x - 240)$ er positiv for $x < 240$ og negativ for $x > 240$ , altså toppunkt.

$O(240) = -0{,}5 \cdot 57\,600 + 240 \cdot 240 - 9000$
$O(240) = -28\,800 + 57\,600 - 9000$
$O(240) = 19\,800$

De to målene ligger på forskjellige steder langs den samme x-aksen: minst kostnad per kasse ved 134 kasser, størst samlet profitt ved 240.

Svar: 240 kasser gir størst profitt, 19 800 kr per uke.

NB: Legg merke til at de to svarene ikke er like. Ved 240 kasser er ikke gartneriet så «effektivt» som det kunne vært — hver kasse koster mer enn 194 kr å produsere. Men prisen er 300 kr, og de ekstra kassene mellom 134 og 240 gir fortsatt mer inn enn de koster. Minst kostnad per enhet og størst samlet profitt er to forskjellige mål.

📝Oppgave 7.2.4

En bedrift har kostnadene $K(x) = 0{,}4x^2 + 50x + 6250$ kroner ved $x$ enheter per dag.

Vis at $K_e(x) = 0{,}4x + 50 + \dfrac{6250}{x}$ .

Finn $K_e'(x)$ .

Hvilken produksjonsmengde gir minst enhetskostnad?

Hvor stor er den minste enhetskostnaden (i kroner)?

Regn ut $K'(125)$ . Hva legger du merke til?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4 (Del 2): Når kostnadene vokser eksponentielt

En bedrift monterer elbiler. Kostnadene ved å montere

x

biler i måneden er

$K(x) = 200x \cdot 1{,}02^x + 200$

der $K(x)$ er i tusen kroner. Hver bil selges for 700 000 kr.

Hvor mange biler bør bedriften montere i måneden?

Hva vet vi? Alle beløp er i tusen kroner, så prisen per bil er 700.

$I(x) = 700x$
$O(x) = 700x - 200x \cdot 1{,}02^x - 200$

Hva må vi finne? Den $x$ -verdien som gir størst $O(x)$ .

Denne funksjonen kan vi ikke derivere og løse for hånd på rimelig tid — produktet $x \cdot 1{,}02^x$ krever produktregelen, og likningen som kommer ut, har ingen eksakt løsning. Derfor bruker vi CAS.

I GeoGebra CAS skriver vi:

O(x):=700x-200x*1.02^x-200
NLøs(O'(x)=0, x)

CAS gir $x \approx 36{,}05$ .

Fortegnet til den deriverte på hver side av kandidaten, i CAS:

O'(36)
O'(37)

gir om lag $1{,}18$ og $-21{,}0$ . Den deriverte skifter fra pluss til minus, altså toppunkt.

Alternativ (dobbeltderivert): O''(36.05) gir om lag $-21{,}9$ , altså toppunkt.

Bedriften monterer hele biler, så vi sjekker nabotallene:

$O(36) \approx 10\,312{,}8 \qquad O(37) \approx 10\,302{,}9$

Koordinatsystem med antall biler x fra 0 til 60 og tusen kroner fra minus 2000 til 12000. En blå kurve merket O(x) stiger fra minus 200, når en flat topp ved det markerte punktet x lik 36,05 og synker deretter. En tekst sier at kurven er flat rundt toppen: O(36) og O(37) skiller bare 10.

Den eksponentielle faktoren $1{,}02^x$ gjør at hver ny bil koster litt mer å montere enn den forrige. Når kostnaden for den neste passerer prisen, snur profitten — og kurven er så flat rundt toppen at 36 og 37 biler nesten er like gode.

Svar: Bedriften bør montere 36 biler i måneden. Profitten blir da om lag 10 313 000 kr, altså cirka 10,3 millioner kroner.

NB: Legg merke til hvorfor profitten snur. Prisen per bil er den samme uansett, men faktoren $1{,}02^x$ gjør at hver ny bil koster litt mer å montere enn den forrige. Når kostnaden for den neste bilen passerer 700 000 kr, lønner det seg ikke lenger å montere flere.

📝Oppgave 7.2.5

En verftsbedrift bygger småbåter. Kostnadene ved å bygge

x

båter i året er

$K(x) = 120x \cdot 1{,}03^x + 500$

der $K(x)$ er i tusen kroner. Hver båt selges for 400 000 kr. Bruk CAS.

Sett opp $O(x)$ .

Bruk CAS til å finne den $x$ -verdien der $O'(x) = 0$ . Rund av til to desimaler.

Vis med fortegnslinje at punktet gir størst profitt.

Hvor mange båter bør bedriften bygge i året, når den bare kan bygge hele båter?

Bruk CAS til å finne dekningspunktene, og forklar hva de forteller.

Løs oppgaven

Oppsummering

Spørsmål	Funksjon	Vi leter etter
Hvor mange enheter gir mest penger?	$O(x)$	toppunkt: $O'(x) = 0$ , $O'$ skifter fra $+$ til $-$
Hvilken pris gir mest penger?	$O(p)$	toppunkt: $O'(p) = 0$ , $O'$ skifter fra $+$ til $-$
Hvilken pris gir størst omsetning?	$I(p)$	toppunkt: $I'(p) = 0$ , $I'$ skifter fra $+$ til $-$
Når produserer vi mest effektivt?	$K_e(x)$	bunnpunkt: $K_e'(x) = 0$ , $K_e'$ skifter fra $-$ til $+$

Tre ting du skal huske:
1. Fortegnslinja hører med.

O'(x) = 0

alene sier bare at grafen flater ut. Først når vi vet at

O'

skifter fra pluss til minus, vet vi at punktet er et toppunkt.
2. Sjekk gyldighetsområdet. Negative antall og negative priser forkaster vi, og der oppgaven handler om hele enheter, sjekker du de to nabotallene.
3. Størst inntekt er ikke størst profitt. Prisen som gir mest omsetning, er lavere enn prisen som gir mest igjen på bunnlinjen.

📝Oppgave 7.2.6

Bedriften fra oppgave 7.2.4 har $K(x) = 0{,}4x^2 + 50x + 6250$ kroner ved $x$ enheter per dag. Vi fant at enhetskostnaden er minst ved 125 enheter, der den er 150 kr. Bedriften selger nå varen for 250 kr per enhet.

Vis at $O(x) = -0{,}4x^2 + 200x - 6250$ .

Hvilken produksjonsmengde gir størst profitt?

Hvor stor er den største profitten (i kroner)?

Hvor stor er enhetskostnaden ved den produksjonsmengden du fant i b) (i kroner)?

En leder i bedriften sier: «Vi bør produsere 125 enheter, for da er vi mest effektive.» Drøft påstanden. Regn ut $O(125)$ i svaret ditt.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.