7.1 Kostnad, inntekt og profitt

Hva vet vi?
- Faste kostnader: 3200 kr per dag
- Variable kostnader: 12 kr per brød

Hva må vi finne? Et uttrykk for de samlede kostnadene ved $x$ brød.

Vi setter opp formelen med ord først:

$$K(x) = \text{variable kostnader} + \text{faste kostnader}$$

De variable kostnadene er 12 kr for hvert brød. Med $x$ brød blir det $12 \cdot x$ kroner:

$$K(x) = 12 \cdot x + 3200$$
$$K(x) = 12x + 3200$$

(Vi skriver vanligvis ikke gangetegnet mellom tallet og bokstaven.)

b) Vi setter inn $x = 400$:

$$K(400) = 12 \cdot 400 + 3200$$
$$K(400) = 4800 + 3200$$
$$K(400) = 8000$$

Svar: Det koster 8000 kr å bake 400 brød på én dag.

c) Vi setter inn $x = 0$:

$$K(0) = 12 \cdot 0 + 3200 = 3200$$

Svar: Selv om bakeriet ikke baker et eneste brød, koster dagen 3200 kr. Det er de faste kostnadene.

NB: Stigningstallet 12 forteller hva ett brød til koster. Baker vi ett brød ekstra, øker kostnaden med nøyaktig 12 kr — uansett om vi går fra 100 til 101 brød eller fra 400 til 401.

$$I(x) = 27 \cdot x = 27x$$

Profitten er inntekt minus kostnad:

$$O(x) = I(x) - K(x)$$
$$O(x) = 27x - (12x + 3200)$$

Vi løser opp parentesen. Minustegnet foran parentesen skifter fortegn på begge leddene inni:

$$O(x) = 27x - 12x - 3200$$
$$O(x) = 15x - 3200$$

NB: Tallet 15 er det bakeriet sitter igjen med per brød etter at melet og emballasjen er betalt: $27 - 12 = 15$ kr. Det kalles dekningsbidraget per brød.

b) Vi setter inn $x = 400$:

$$O(400) = 15 \cdot 400 - 3200$$
$$O(400) = 6000 - 3200$$
$$O(400) = 2800$$

Svar: Bakeriet tjener 2800 kr den dagen.

c) Bedriften går i balanse når $O(x) = 0$:

$$15x - 3200 = 0 \qquad | \; + 3200$$
$$15x = 3200 \qquad | \; : 15$$
$$x = \frac{3200}{15} \approx 213{,}33$$

Her må vi tenke oss om. Et bakeri kan ikke selge 213,33 brød, og 213 brød er for lite:

$$O(213) = 15 \cdot 213 - 3200 = 3195 - 3200 = -5$$
$$O(214) = 15 \cdot 214 - 3200 = 3210 - 3200 = 10$$

Svar: Bakeriet må selge minst 214 brød for å gå med overskudd.

NB: Svaret på en likning er ikke alltid svaret på oppgaven. Her måtte vi runde oppover, fordi 213 brød gir underskudd.

$$K_e(x) = \frac{K(x)}{x}$$
$$K_e(x) = \frac{12x + 3200}{x}$$

Vi deler ledd for ledd på $x$:

$$K_e(x) = \frac{12x}{x} + \frac{3200}{x}$$
$$K_e(x) = 12 + \frac{3200}{x}$$

b) Vi setter inn hver verdi for seg. Legg merke til at de tre linjene har nøyaktig samme form:

$$K_e(200) = 12 + \frac{3200}{200} = 12 + 16 = 28$$
$$K_e(400) = 12 + \frac{3200}{400} = 12 + 8 = 20$$
$$K_e(800) = 12 + \frac{3200}{800} = 12 + 4 = 16$$

Svar: Enhetskostnaden er 28 kr per brød ved 200 brød, 20 kr ved 400 brød og 16 kr ved 800 brød.

c) Uttrykket har to ledd, og bare det ene endrer seg:

- Leddet $12$ er de variable kostnadene. De er like store for hvert eneste brød.
- Leddet $\dfrac{3200}{x}$ er de faste kostnadene fordelt på brødene. Jo flere brød, jo mindre faste kostnader faller på hvert brød.

Enhetskostnaden synker fordi de faste kostnadene deles på flere brød — men den kommer aldri under 12 kr. Brøken $\displaystyle \frac{3200}{x}$ blir liten, aldri null.

Svar: Enhetskostnaden synker fordi husleien og de andre faste kostnadene deles på flere brød. Uansett hvor mange brød bakeriet baker, kommer enhetskostnaden aldri under 12 kr — brøken $\displaystyle \frac{3200}{x}$ blir liten, men aldri null.

$$I(x) = 300x$$

Profitten er inntekt minus kostnad:

$$O(x) = I(x) - K(x)$$
$$O(x) = 300x - (0{,}5x^2 + 60x + 9000)$$
$$O(x) = 300x - 0{,}5x^2 - 60x - 9000$$

Vi samler leddene med $x$:

$$O(x) = -0{,}5x^2 + 240x - 9000$$

b) Vi skal finne når $O(x) > 0$. Først finner vi nullpunktene. Dette er en vanlig andregradslikning, og den løser vi for hånd:

$$-0{,}5x^2 + 240x - 9000 = 0$$

Vi ganger begge sider med $-2$. Da blir vi kvitt både desimaltallet og minustegnet foran $x^2$:

$$x^2 - 480x + 18\,000 = 0$$

abc-formelen med $a = 1$, $b = -480$ og $c = 18\,000$:

$$x = \frac{480 \pm \sqrt{(-480)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18\,000}}{2 \cdot 1}$$
$$x = \frac{480 \pm \sqrt{230\,400 - 72\,000}}{2}$$
$$x = \frac{480 \pm \sqrt{158\,400}}{2}$$
$$x = \frac{480 \pm 397{,}995}{2}$$

$$x_1 = \frac{480 - 397{,}995}{2} \approx 41{,}00 \qquad x_2 = \frac{480 + 397{,}995}{2} \approx 439{,}00$$

Alternativ 2 (CAS): Har du hjelpemidler, kan du kontrollere med

O(x):=-0.5x^2+240x-9000
Løs(O(x)=0, x)

CAS gir de eksakte nullpunktene $x = 240 \pm 60\sqrt{11}$ — de samme tallene.

Siden koeffisienten foran $x^2$ er negativ, vender parabelen den hule siden ned. Da er $O(x)$ positiv mellom nullpunktene.

Gartneriet kan ikke selge en del av en kasse, så vi sjekker heltallene rundt nullpunktene:

$$O(41) = -0{,}5 \cdot 41^2 + 240 \cdot 41 - 9000 = -0{,}5$$
$$O(42) = -0{,}5 \cdot 42^2 + 240 \cdot 42 - 9000 = 198$$
$$O(438) = 198$$
$$O(439) = -0{,}5$$

Svar: Gartneriet går med overskudd når det selger mellom 42 og 438 kasser i uken. Selger det færre, dekker ikke inntektene de faste kostnadene på 9000 kr. Selger det flere, blir produksjonen så dyr at kostnadene spiser opp inntekten.

NB: Legg merke til at nullpunktene ikke er hele tall. Det ene ligger rett over 41 ($240 - 60\sqrt{11} \approx 41{,}0025$), og det andre rett under 439 ($240 + 60\sqrt{11} \approx 438{,}9975$). Sjekker du ikke heltallene, er det lett å svare 41 og 439 — og begge gir faktisk et bittelite underskudd.