6.6 Elastisitet

Steg 1 — deriver:

$$E'(p) = -8$$

Steg 2 — ved $p = 25$. Først funksjonsverdien:

$$E(25) = 500 - 8 \cdot 25 = 500 - 200 = 300$$

Så setter vi inn i formelen — tom først, med tall etterpå:

$$\text{El}_p\, E(p) = \frac{p}{E(p)} \cdot E'(p)$$
$$\text{El}_p\, E(25) = \frac{25}{300} \cdot (-8) = \frac{-200}{300} = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67$$

Tallverdien er $0{,}67 < 1$: etterspørselen er uelastisk ved denne prisen.

Steg 3 — ved $p = 40$:

$$E(40) = 500 - 8 \cdot 40 = 500 - 320 = 180$$
$$\text{El}_p\, E(40) = \frac{40}{180} \cdot (-8) = \frac{-320}{180} = -\frac{16}{9} \approx -1{,}78$$

Tallverdien er $1{,}78 > 1$: etterspørselen er elastisk ved denne prisen.

Inntekten er arealet av rektangelet $p \cdot E(p)$. Det høye, smale rektangelet ved $p = 25$ er STØRRE enn det lave, brede ved $p = 40$ — derfor synker inntekten når prisen settes opp i det elastiske området.

Svar: $\text{El}_p E(25) \approx -0{,}67$ (uelastisk) og $\text{El}_p E(40) \approx -1{,}78$ (elastisk).

Legg merke til at $E'(p) = -8$ hele veien — salget faller med 8 enheter per krone uansett pris. Elastisiteten er likevel helt forskjellig. Det er fordi 1 krone er en større andel av 25 kroner enn av 40 kroner, og 8 enheter er en mindre andel av 300 enn av 180.

$$p_{\text{ny}} = 40 \cdot 1{,}01 = 40{,}40$$

Steg 2 — det nye salget:

$$E(40{,}40) = 500 - 8 \cdot 40{,}40 = 500 - 323{,}20 = 176{,}80$$

Steg 3 — den prosentvise endringen. Vi bruker vekstfaktoren, eller like gjerne endringen delt på det vi startet med:

$$\frac{176{,}80 - 180}{180} = \frac{-3{,}20}{180} = -0{,}0177\overline{7}$$

Ganget med 100 blir det $-1{,}78\ \%$.

Svar: Salget faller med omtrent $1{,}78\ \%$ — nøyaktig det elastisiteten sa.

Hva vi kan bruke det til. Butikken selger 180 enheter til 40 kroner, altså $180 \cdot 40 = 7200$ kroner i uka. Etter prisøkningen: $176{,}80 \cdot 40{,}40 \approx 7142{,}72$ kroner. Inntekten går ned.

Det er det elastisk etterspørsel betyr i praksis: prisen opp 1 %, salget ned 1,78 % — tapet i antall er større enn gevinsten i pris.

NB: For en lineær etterspørselsfunksjon stemmer tolkningen eksakt for små endringer. For andre funksjoner er den en god tilnærming, på samme måte som grensekostnaden var en god tilnærming til kostnaden ved den neste enheten.

$$\frac{p}{500 - 8p} \cdot (-8) = -1$$
$$\frac{-8p}{500 - 8p} = -1 \qquad | \cdot (500 - 8p)$$
$$-8p = -(500 - 8p)$$
$$-8p = -500 + 8p \qquad | -8p$$
$$-16p = -500 \qquad | : (-16)$$
$$p = 31{,}25$$

(Vi kan gange opp med $500 - 8p$ fordi den er positiv så lenge det i det hele tatt selges noe, altså for $p < 62{,}5$.)

b) Inntekten er

$$I(p) = p \cdot E(p) = p(500 - 8p) = 500p - 8p^2$$

Vi deriverer og setter lik null:

$$I'(p) = 500 - 16p$$
$$500 - 16p = 0 \qquad | +16p$$
$$500 = 16p \qquad | : 16$$
$$p = 31{,}25$$

Siden $I$ er en parabel som vender nedover ($a = -8 < 0$), er dette et toppunkt. Inntekten der:

$$I(31{,}25) = 500 \cdot 31{,}25 - 8 \cdot 31{,}25^2 = 15\,625 - 7812{,}50 = 7812{,}50$$

c) De to metodene gir samme pris, $31{,}25$ kroner. Det er ikke en tilfeldighet — det er nettopp innholdet i regelen fra forrige avsnitt.

Svar: Etterspørselen er enhetselastisk ved $p = 31{,}25$ kroner, og det er også prisen som gir størst inntekt: $7812{,}50$ kroner per uke, med et salg på $E(31{,}25) = 250$ enheter.

Sammenlikn med Eksempel 1: ved 25 kroner var etterspørselen uelastisk (inntekt $7500$ kr), og ved 40 kroner elastisk (inntekt $7200$ kr). Toppen ligger imellom, akkurat der elastisiteten passerer $-1$.

$$E(p) = 12\,000p^{-2}$$
$$E'(p) = 12\,000 \cdot (-2) \cdot p^{-3} = -24\,000p^{-3} = -\frac{24\,000}{p^3}$$

Så setter vi inn i formelen. Her lønner det seg å skrive brøkene på potensform hele veien, så vi kan forkorte:

$$\text{El}_p\, E(p) = \frac{p}{E(p)} \cdot E'(p) = \frac{p}{12\,000p^{-2}} \cdot \left(-24\,000p^{-3}\right)$$

$$\text{El}_p\, E(p) = \frac{p \cdot p^{2}}{12\,000} \cdot \left(-\frac{24\,000}{p^{3}}\right) = \frac{p^{3}}{12\,000} \cdot \left(-\frac{24\,000}{p^{3}}\right)$$

$$\text{El}_p\, E(p) = -\frac{24\,000}{12\,000} = -2$$

Alle $p$-ene forkortes bort. Elastisiteten er $-2$ for enhver pris.

b) Inntekten er

$$I(p) = p \cdot \frac{12\,000}{p^2} = \frac{12\,000}{p}$$

Det er en synkende funksjon: jo høyere pris, desto lavere inntekt. Vi kan kontrollere med tall:

E(p):=2400-30p
El(p):=p/E(p)*E'(p)

Steg 2 — dagens situasjon:

E(25)
El(25)

gir $E(25) = 1650$ enheter og

$$\text{El}_p\, E(25) = \frac{25}{1650} \cdot (-30) = \frac{-750}{1650} = -\frac{5}{11} \approx -0{,}45$$

Tallverdien er under 1: etterspørselen er uelastisk ved dagens pris. En prisøkning vil altså gi høyere inntekt.

Steg 3 — hvor langt opp? Vi finner prisen der etterspørselen er enhetselastisk:

Løs(El(p)=-1, p)

gir $p = 40$. For hånd:

$$\frac{p}{2400 - 30p} \cdot (-30) = -1$$
$$-30p = -(2400 - 30p)$$
$$-30p = -2400 + 30p$$
$$-60p = -2400$$
$$p = 40$$

Steg 4 — regn ut inntektene og se hva forskjellen er verdt:

$$I(25) = 25 \cdot 1650 = 41\,250$$
$$E(40) = 2400 - 1200 = 1200 \quad \Longrightarrow \quad I(40) = 40 \cdot 1200 = 48\,000$$

Steg 5 — sjekk at vi ikke går for langt. Ved $p = 60$:

$$E(60) = 2400 - 1800 = 600 \quad \Longrightarrow \quad \text{El} = \frac{60}{600} \cdot (-30) = -3$$
$$I(60) = 60 \cdot 600 = 36\,000$$

Elastisk, og inntekten er tilbake under dagens nivå.

Svar: Bedriften bør sette prisen opp fra 25 til 40 kroner. Inntekten øker da fra $41\,250$ til $48\,000$ kroner per måned, en økning på $6750$ kroner. Går de høyere enn 40 kroner, blir etterspørselen elastisk og inntekten synker igjen.

NB: Dette er et råd om inntekt, ikke om overskudd. Selger bedriften færre enheter, synker også kostnadene. Skal vi svare på hva som gir størst overskudd, må vi ha kostnadsfunksjonen og bruke $I'(x) = K'(x)$ fra 6.5.