6.5 Grensekostnad og grenseinntekt | Matematikk for økonomi

Den deriverte av kostnads- og inntektsfunksjoner, og hva grenseverdiene forteller.

45 min

6 oppgaver

GrensekostnadGrenseinntekt

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Én enhet til

Fram til nå har vi sagt at «den deriverte er den momentane vekstfarten». I økonomi har den et eget navn og en helt konkret betydning:

- $K'(x)$ heter grensekostnaden — hva den neste enheten koster.
- $I'(x)$ heter grenseinntekten — hva den neste enheten gir.

Ordet «grense» kommer fra at vi ser på grensen av produksjonen, altså den siste enheten, ikke på alt bedriften lager. Det er sjelden lønnsomt å spørre «hva koster hele produksjonen?». Det som avgjør om du skal lage én til, er hva akkurat den ene koster og gir.

Grensekostnad og grenseinntekt

K(x)

✏️Eksempel 1: Grensekostnaden i en fabrikk

En fabrikk har kostnadene

$K(x) = 0{,}02x^3 - 3x^2 + 180x + 6000$

kroner ved $x$ enheter, for $0 \le x \le 100$ .

a) Finn grensekostnaden.

b) Regn ut $K'(20)$ , $K'(50)$ og $K'(80)$ , og tolk.

c) Kontroller $K'(50)$ mot den faktiske kostnaden ved enhet nummer 51.

a) Grensekostnaden er den deriverte:

$K'(x) = 0{,}06x^2 - 6x + 180$

b) Vi setter inn:

$K'(20) = 0{,}06 \cdot 400 - 120 + 180 = 24 - 120 + 180 = 84$
$K'(50) = 0{,}06 \cdot 2500 - 300 + 180 = 150 - 300 + 180 = 30$
$K'(80) = 0{,}06 \cdot 6400 - 480 + 180 = 384 - 480 + 180 = 84$

Ved 20 enheter koster den neste enheten $84$ kroner, ved 50 enheter bare $30$ kroner, og ved 80 enheter igjen $84$ kroner.

Grensekostnaden faller altså først og stiger så. Det er det vanlige mønsteret i produksjon: i starten er man ineffektiv, midtveis utnytter man maskinene godt, og mot slutten må man betale overtid og leie inn ekstra kapasitet.

c) Vi regner ut begge kostnadene:

$K(50) = 0{,}02 \cdot 125\,000 - 3 \cdot 2500 + 9000 + 6000$
$K(50) = 2500 - 7500 + 9000 + 6000 = 10\,000$

$K(51) = 0{,}02 \cdot 132\,651 - 3 \cdot 2601 + 9180 + 6000$
$K(51) = 2653{,}02 - 7803 + 9180 + 6000 = 10\,030{,}02$

$K(51) - K(50) = 10\,030{,}02 - 10\,000 = 30{,}02$

Svar: a) $K'(x) = 0{,}06x^2 - 6x + 180$ . b) $84$ , $30$ og $84$ kroner per enhet. c) Enhet nummer 51 koster faktisk $30{,}02$ kroner — grensekostnaden $30$ er en god tilnærming.

📝Oppgave 6.5.1

En bedrift har kostnadene $K(x) = 0{,}03x^2 + 25x + 8000$ kroner ved $x$ enheter.

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Regn ut $K'(100)$ , og forklar hva tallet betyr.

Regn ut $K'(300)$ .

Regn ut $K(100)$ og $K(101)$ , og finn differansen.

Hva sier svarene i b) og c) om hvordan bedriften drives?

Løs oppgaven

Grenseinntekt når prisen avhenger av mengden

Selger bedriften til en fast pris $p$ , er inntekten $I(x) = p \cdot x$ , og grenseinntekten er rett og slett $I'(x) = p$ . Hver ny enhet gir like mye.

Men som regel må bedriften sette prisen ned for å få solgt flere enheter. Prisen er da selv en funksjon av mengden:

$p(x) = \text{den prisen som gjør at nøyaktig } x \text{ enheter blir solgt}$

Inntekten blir da

$I(x) = x \cdot p(x)$

og grenseinntekten er ikke lenger lik prisen. Den blir mindre enn prisen, for den siste enheten selges billigere — og prisnedgangen gjelder alle de andre enhetene også.

✏️Eksempel 2: Grenseinntekt er ikke pris

En bedrift må ta prisen

$p(x) = 400 - 0{,}5x$

kroner per enhet for å få solgt $x$ enheter.

a) Finn inntektsfunksjonen $I(x)$ og grenseinntekten $I'(x)$ .

b) Regn ut prisen og grenseinntekten ved $x = 100$ , og forklar forskjellen.

a) Inntekten er antall enheter ganger prisen per enhet:

$I(x) = x \cdot p(x) = x(400 - 0{,}5x)$

Vi ganger ut — det må vi, for potensregelen tar ikke et produkt:

$I(x) = 400x - 0{,}5x^2$

Så deriverer vi ledd for ledd:

$I'(x) = 400 - x$

b) Prisen ved 100 enheter:

$p(100) = 400 - 0{,}5 \cdot 100 = 400 - 50 = 350$

Grenseinntekten ved 100 enheter:

$I'(100) = 400 - 100 = 300$

De er ikke like — grenseinntekten er 50 kroner lavere enn prisen.

Forklaringen: enhet nummer 101 selges for 349,50 kroner. Men for å få solgt den må bedriften sette prisen ned med 50 øre på alle de 100 andre enhetene også, og det koster 50 kroner. Netto sitter de igjen med omtrent 300 kroner.

Kontroll:

$I(100) = 40\,000 - 5000 = 35\,000$
$I(101) = 400 \cdot 101 - 0{,}5 \cdot 101^2 = 40\,400 - 5100{,}50 = 35\,299{,}50$
$I(101) - I(100) = 299{,}50$

Koordinatsystem med antall enheter x fra 0 til 400 og kroner per enhet fra 0 til 450. En blå rett linje merket p av x faller fra 400 til 200. En brattere rød stiplet linje merket I derivert av x faller fra 400 til 0. Ved x lik 100 er begge linjene markert med en prikk: p er 350 og I derivert er 300. Mellom de to punktene står et loddrett mål merket 50 kr.

Ved 100 enheter er prisen 350 kr, men grenseinntekten bare 300 kr. De 50 kronene i mellom er prisnedgangen på de enhetene bedriften allerede solgte. Legg merke til at $I'$ -linja faller dobbelt så bratt som $p$ .

Svar: a) $I(x) = 400x - 0{,}5x^2$ og $I'(x) = 400 - x$ . b) Prisen er $350$ kroner, grenseinntekten $300$ kroner per enhet. Forskjellen er prisnedgangen på de enhetene bedriften allerede solgte.

📝Oppgave 6.5.2

En bedrift må ta prisen $p(x) = 250 - 0{,}4x$ kroner per enhet for å selge $x$ enheter.

Finn inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Finn grenseinntekten $I'(x)$ .

Regn ut prisen og grenseinntekten ved $x = 150$ .

Forklar hvorfor grenseinntekten er lavere enn prisen.

Løs $I'(x) = 0$ , og forklar hva løsningen betyr.

Løs oppgaven

📜Størst overskudd der grenseinntekt = grensekostnad

Overskuddet er

O(x) = I(x) - K(x)

, og derfor

$O'(x) = I'(x) - K'(x)$

Overskuddet er størst der $O'(x) = 0$ , altså der

$I'(x) = K'(x)$

I ord: produser så lenge den neste enheten gir mer enn den koster. Slutt når den gir nøyaktig det samme.

Dette er kanskje den mest brukte setningen i all økonomi. Den er også lett å forstå uten matematikk: gir den neste enheten mer enn den koster, er det dumt å la være å lage den. Koster den mer enn den gir, er det dumt å lage den.

NB: At $O'(x) = 0$ betyr bare at grafen står stille i punktet — det kan like gjerne være et bunnpunkt som et toppunkt. Derfor kontrollerer vi alltid hvilken type punkt vi har. Vi deriverer $O'$ en gang til og får den andrederiverte, som vi skriver $O''(x)$ (les: «O dobbeltderivert»):

- Er $O''(x) < 0$ i punktet, krummer grafen nedover, og vi har et toppunkt.
- Er $O''(x) > 0$ i punktet, krummer grafen oppover, og vi har et bunnpunkt.

Dette kalles andrederiverttesten, og den skal alltid med. Kontroller i tillegg at løsningen ligger innenfor det bedriften faktisk kan produsere.

✏️Eksempel 3: Det optimale produksjonstallet

En bedrift har

$K(x) = 0{,}01x^3 - 1{,}5x^2 + 90x + 5000 \qquad \text{og} \qquad I(x) = 190x - 0{,}5x^2$

begge i kroner ved $x$ enheter.

Finn det produksjonstallet som gir størst overskudd, og regn ut overskuddet.

Steg 1 — finn grensekostnad og grenseinntekt:

$K'(x) = 0{,}03x^2 - 3x + 90$
$I'(x) = 190 - x$

Steg 2 — sett dem lik hverandre:

$0{,}03x^2 - 3x + 90 = 190 - x$

Vi samler alt på venstre side:

$0{,}03x^2 - 3x + x + 90 - 190 = 0$
$0{,}03x^2 - 2x - 100 = 0$

Steg 3 — løs med abc. Her er $a = 0{,}03$ , $b = -2$ og $c = -100$ :

$b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 0{,}03 \cdot (-100) = 4 + 12 = 16$
$\sqrt{16} = 4$
$x = \frac{2 \pm 4}{2 \cdot 0{,}03} = \frac{2 \pm 4}{0{,}06}$

$x_1 = \frac{6}{0{,}06} = 100 \qquad\qquad x_2 = \frac{-2}{0{,}06} \approx -33{,}3$

Den negative løsningen forkaster vi — bedriften kan ikke produsere et negativt antall enheter.

Steg 4 — regn ut overskuddet. Først setter vi opp $O$ :

$O(x) = I(x) - K(x) = (190x - 0{,}5x^2) - (0{,}01x^3 - 1{,}5x^2 + 90x + 5000)$
$O(x) = -0{,}01x^3 + x^2 + 100x - 5000$

$O(100) = -0{,}01 \cdot 1\,000\,000 + 10\,000 + 10\,000 - 5000$
$O(100) = -10\,000 + 10\,000 + 10\,000 - 5000 = 5000$

Steg 5 — kontroll. Grenseverdiene skal være like i punktet:

$K'(100) = 0{,}03 \cdot 10\,000 - 300 + 90 = 300 - 300 + 90 = 90$
$I'(100) = 190 - 100 = 90$

Og $O'(x) = -0{,}03x^2 + 2x + 100$ gir $O'(100) = -300 + 200 + 100 = 0$ .

Steg 6 — andrederiverttest. Vi deriverer $O'$ en gang til:

$O''(x) = -0{,}06x + 2$
$O''(100) = -0{,}06 \cdot 100 + 2 = -6 + 2 = -4$

$O''(100) < 0$ , altså krummer grafen nedover: $x = 100$ er et toppunkt. Det er her overskuddet er størst, ikke minst.

Svar: Bedriften bør produsere $100$ enheter. Overskuddet blir $5000$ kroner, og både grenseinntekten og grensekostnaden er $90$ kroner per enhet der.

Grensekostnad og grenseinntekt fra Eksempel 3

Den stiplede, synkende linja er grenseinntekten. Den heltrukne kurven er grensekostnaden, som først faller og så stiger. De krysser hverandre ved 100 enheter, og der er overskuddet størst.

K'(x) = 0{,}03x^2 - 3x + 90

I'(x) = 190 - x

📝Oppgave 6.5.3

En bedrift har $K(x) = 0{,}02x^2 + 30x + 12\,000$ og $I(x) = 150x - 0{,}03x^2$ , begge i kroner ved $x$ enheter.

Finn grensekostnaden og grenseinntekten.

Finn det produksjonstallet som gir størst overskudd.

Regn ut $I(1200)$ og $K(1200)$ .

Hvor stort blir overskuddet?

Kontroller svaret ved å sette opp $O(x)$ og løse $O'(x) = 0$ .

Løs oppgaven

Enhetskostnad

K_e(x) = \frac{K(x)}{x}

✏️Eksempel 4: Når er enhetskostnaden lavest?

En bedrift har kostnadene

$K(x) = 0{,}01x^2 + 40x + 4900$

kroner ved $x$ enheter.

a) Sett opp enhetskostnaden $K_e(x)$ .

b) Finn den produksjonen som gir lavest enhetskostnad.

c) Vis at grensekostnaden er lik enhetskostnaden i det punktet.

a) Vi deler hvert ledd på

x

$K_e(x) = \frac{0{,}01x^2 + 40x + 4900}{x} = \frac{0{,}01x^2}{x} + \frac{40x}{x} + \frac{4900}{x}$
$K_e(x) = 0{,}01x + 40 + \frac{4900}{x}$

Legg merke til hva de tre leddene er: det første vokser med produksjonen, det andre er konstant per enhet, og det siste er de faste kostnadene fordelt på stadig flere enheter.

b) Vi skriver om til potensform og deriverer:

$K_e(x) = 0{,}01x + 40 + 4900x^{-1}$
$K_e'(x) = 0{,}01 - 4900x^{-2} = 0{,}01 - \frac{4900}{x^2}$

Så løser vi $K_e'(x) = 0$ :

$0{,}01 - \frac{4900}{x^2} = 0$
$\frac{4900}{x^2} = 0{,}01 \qquad | \cdot x^2$
$4900 = 0{,}01x^2 \qquad | : 0{,}01$
$x^2 = 490\,000$
$x = 700$

(Bare den positive løsningen er aktuell — bedriften kan ikke produsere $-700$ enheter.)

Enhetskostnaden der:

$K_e(700) = 0{,}01 \cdot 700 + 40 + \frac{4900}{700} = 7 + 40 + 7 = 54$

c) Grensekostnaden er

$K'(x) = 0{,}02x + 40$
$K'(700) = 0{,}02 \cdot 700 + 40 = 14 + 40 = 54$

De er like, slik regelen sier.

Grensekostnaden skjærer enhetskostnaden nøyaktig i bunnpunktet. Til venstre for 700 ligger $K'$ under $K_e$ (og trekker snittet ned), til høyre over (og trekker det opp) — det er hele begrunnelsen for regelen.

Svar: a) $K_e(x) = 0{,}01x + 40 + \dfrac{4900}{x}$ . b) $700$ enheter gir lavest enhetskostnad, $54$ kroner per enhet. c) $K'(700) = K_e(700) = 54$ .

📝Oppgave 6.5.4

En bedrift har kostnadene $K(x) = 0{,}05x^2 + 20x + 2000$ kroner ved $x$ enheter.

Sett opp $K_e(x)$ og skriv den med tre ledd.

Finn $K_e'(x)$ .

Finn den produksjonen som gir lavest enhetskostnad.

Regn ut den laveste enhetskostnaden, og kontroller at $K'$ er lik den der.

Bedriften produserer i dag 120 enheter. Bør de øke eller redusere produksjonen hvis de vil ha lavest mulig enhetskostnad?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 5: Fast markedspris (Del 2)

Fabrikken fra Eksempel 1 har $K(x) = 0{,}02x^3 - 3x^2 + 180x + 6000$ kroner. Varen selges til en fast markedspris på $150$ kroner per enhet, uansett hvor mye fabrikken produserer.

Hvor mye bør de produsere?

Steg 1 — inntekt og grenseinntekt. Med fast pris er inntekten

$I(x) = 150x \qquad \Longrightarrow \qquad I'(x) = 150$

Grenseinntekten er altså konstant: hver ny enhet gir 150 kroner, uansett.

Steg 2 — sett grenseinntekt lik grensekostnad:

$0{,}06x^2 - 6x + 180 = 150$
$0{,}06x^2 - 6x + 30 = 0$

Steg 3 — løs med abc ( $a = 0{,}06$ , $b = -6$ , $c = 30$ ):

$b^2 - 4ac = 36 - 4 \cdot 0{,}06 \cdot 30 = 36 - 7{,}2 = 28{,}8$
$\sqrt{28{,}8} \approx 5{,}3666$
$x = \frac{6 \pm 5{,}3666}{0{,}12}$

$x_1 \approx \frac{0{,}6334}{0{,}12} \approx 5{,}28 \qquad\qquad x_2 \approx \frac{11{,}3666}{0{,}12} \approx 94{,}72$

Steg 4 — hvilken av dem? Vi setter opp overskuddet:

$O(x) = 150x - K(x) = -0{,}02x^3 + 3x^2 - 30x - 6000$

$O(5{,}28) \approx -6077{,}71 \qquad\qquad O(94{,}72) \approx 1077{,}71$

Andrederiverttesten sier det samme:

$O''(x) = -0{,}12x + 6$
$O''(5{,}28) \approx -0{,}63 + 6 \approx 5{,}37 > 0 \qquad\qquad O''(94{,}72) \approx -11{,}37 + 6 \approx -5{,}37 < 0$

Den første løsningen er altså et bunnpunkt — der er overskuddet på sitt aller verste — og den andre et toppunkt. Grensekostnaden faller jo først, så under $x \approx 5{,}28$ koster hver enhet mer enn 150 kroner, mellom de to tallene koster den mindre, og over $x \approx 94{,}72$ koster den mer igjen. Overskuddet synker, vokser og synker.

Steg 5 — svar i hele enheter. Fabrikken kan ikke produsere 94,72 enheter. Vi sammenlikner de to nærmeste:

$O(94) \approx 1076{,}32 \qquad\qquad O(95) \approx 1077{,}50$

Koordinatsystem med antall enheter x fra 0 til 120 og kroner per enhet fra 0 til 350. En blå parabel merket K'(x) synker til et bunnpunkt og stiger igjen. En rød stiplet vannrett linje merket I' = 150 krysser den TO ganger: ved om lag 5,3, merket «bunnpunkt for O», og ved om lag 94,7, merket «toppunkt for O». Området mellom krysningene, der K' ligger UNDER 150, er skravert grønt.

Abc-formelen gir to løsninger, og bare den ene er svaret. Mellom dem ligger $K'$ under $I'$ — der vokser overskuddet — så det er den ANDRE krysningen som er toppen.

Svar: Fabrikken bør produsere $95$ enheter, og får da et overskudd på omtrent $1078$ kroner.

NB: Her måtte vi regne på begge løsningene. Hadde vi valgt den første fordi den kom først ut av abc-formelen, ville vi anbefalt bedriften det verst tenkelige produksjonstallet.

Oppsummering

Størrelse	Formel	Enhet	Betyr
Grensekostnad	$K'(x)$	kr per enhet	hva den neste enheten koster
Grenseinntekt	$I'(x)$	kr per enhet	hva den neste enheten gir
Enhetskostnad	$K_e(x) = \dfrac{K(x)}{x}$	kr per enhet	hva hver enhet koster i snitt

- Størst overskudd der

I'(x) = K'(x)

— det er det samme som

O'(x) = 0

.
- Lavest enhetskostnad der

K'(x) = K_e(x)

.
- Ved fast pris er

I'(x) = p

, konstant.
- Ved fallende pris

p(x)

I(x) = x \cdot p(x)

, og grenseinntekten er lavere enn prisen.

- Kontroller alltid med andrederiverttesten at løsningen er et toppunkt og ikke et bunnpunkt ( $O''(x) < 0$ gir toppunkt), og at den ligger innenfor det bedriften kan produsere.
Vanlige feil: å forveksle grensekostnad med enhetskostnad; å sette $I(x) = K(x)$ (det gir dekningspunktet, ikke det beste produksjonstallet); å velge den første løsningen fra abc-formelen uten å sjekke hvilken som er toppen.

📝Oppgave 6.5.5

En bedrift har

$K(x) = 0{,}01x^3 - 1{,}2x^2 + 60x + 2000 \qquad \text{og} \qquad I(x) = 100x - 0{,}25x^2$

begge i kroner ved $x$ enheter, for $0 \le x \le 120$ .

Finn grensekostnaden og grenseinntekten.

Sett opp likningen $K'(x) = I'(x)$ , og forenkle den.

Løs likningen. Forkast løsninger som ikke gir mening.

Regn ut $K'(80)$ og $I'(80)$ som kontroll, og finn overskuddet.

Bedriften produserer i dag 100 enheter. Regn ut $K'(100)$ og $I'(100)$ , og gi et råd.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6.5.6

Del 2 — digitale verktøy. En bedrift har kostnadene

$K(x) = 0{,}01x^3 - 2x^2 + 150x + 4000$

kroner ved $x$ enheter, for $0 < x \le 200$ .

Finn grensekostnaden $K'(x)$ , og finn den produksjonen der grensekostnaden er lavest.

Sett opp enhetskostnaden $K_e(x)$ med fire ledd.

Finn $K_e'(x)$ , og bruk CAS til å finne den produksjonen som gir lavest enhetskostnad. Rund av til nærmeste hele enhet.

Regn ut $K_e$ og $K'$ i det punktet du fant, og kontroller at de er like.

Grensekostnaden er lavest ved omtrent 67 enheter, men enhetskostnaden er lavest ved omtrent 115. Forklar hvorfor de to tallene ikke er like.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.