6.4 Nullpunkt, ekstremalpunkt og funksjonsdrøfting

Steg 1 — sett opp likningen og les av $a$, $b$ og $c$:

$$-0{,}5x^2 + 90x - 1600 = 0$$

$$a = -0{,}5 \qquad b = 90 \qquad c = -1600$$

Steg 2 — regn ut det under rottegnet først. Det er verdt å gjøre for seg; da ser vi med én gang om det går opp.

$$b^2 - 4ac = 90^2 - 4 \cdot (-0{,}5) \cdot (-1600)$$
$$b^2 - 4ac = 8100 - 3200 = 4900$$
$$\sqrt{4900} = 70$$

Steg 3 — sett inn i abc-formelen:

$$x = \frac{-90 \pm 70}{2 \cdot (-0{,}5)} = \frac{-90 \pm 70}{-1}$$

$$x_1 = \frac{-90 + 70}{-1} = \frac{-20}{-1} = 20$$
$$x_2 = \frac{-90 - 70}{-1} = \frac{-160}{-1} = 160$$

Dekningspunktene er der $O(x) = 0$, toppunktet der $O'(x) = 0$. De tre punktene ligger på samme kurve, men svarer på hvert sitt spørsmål: hvor bedriften går i null, og hvor den tjener mest.

Svar: Dekningspunktene er $x = 20$ og $x = 160$ enheter.

Siden $a = -0{,}5 < 0$, vender parabelen nedover. Den ligger derfor over $x$-aksen mellom nullpunktene: bedriften går med overskudd når de produserer mellom 20 og 160 enheter, og med underskudd utenfor.

$$O(x) = -0{,}5x^2 + 90x - 1600$$
$$O'(x) = -x + 90$$

Steg 2 — faktoriser som én kjede. Vi setter $-1$ utenfor:

$$O'(x) = -x + 90 = -1 \cdot (x - 90)$$

Nå ser vi direkte at den deriverte er null når $x = 90$.

Steg 3 — fortegnslinje. Vi lager én rad for konstantfaktoren $-1$ og én for $(x - 90)$ — i den rekkefølgen de står i uttrykket. Se linja under løsningen.

Faktoren $-1$ er negativ overalt, så raden er stiplet hele veien. Faktoren $(x - 90)$ er negativ til venstre for 90, null i 90 og positiv til høyre. Produktet blir da positivt til venstre og negativt til høyre — ett minustegn ganget med ett minustegn gir pluss.

Steg 4 — $y$-verdien. Vi setter $x = 90$ inn i den opprinnelige funksjonen:

$$O(90) = -0{,}5 \cdot 90^2 + 90 \cdot 90 - 1600$$
$$O(90) = -0{,}5 \cdot 8100 + 8100 - 1600$$
$$O(90) = -4050 + 8100 - 1600 = 2450$$

Steg 5 — konkluder. Den deriverte går fra positiv til negativ i $x = 90$. Funksjonen vokser først og synker etterpå, så dette er et toppunkt.

Svar: Toppunktet er $(90,\ 2450)$. Overskuddet vokser for $x < 90$ og synker for $x > 90$. Det største overskuddet er $2450$ kroner, ved en produksjon på $90$ enheter.

$$O(x) = -0{,}01x^3 + 1{,}5x^2 - 48x + 500$$
$$O'(x) = -0{,}03x^2 + 3x - 48$$

Steg 2 — faktoriser som én kjede. Vi setter $-0{,}03$ utenfor og faktoriserer parentesen med sum og produkt (to tall med sum $100$ og produkt $1600$: det er $20$ og $80$):

$$O'(x) = -0{,}03x^2 + 3x - 48 = -0{,}03(x^2 - 100x + 1600) = -0{,}03(x - 20)(x - 80)$$

Nå ser vi direkte at den deriverte er null når $x = 20$ og når $x = 80$.

Steg 3 — fortegnslinje med tre rader: konstantfaktoren $-0{,}03$, faktoren $(x - 20)$ og faktoren $(x - 80)$. Se linja under løsningen.

I det venstre intervallet er alle tre negative — tre minuser er et oddetall, så produktet er negativt. I midten er $-0{,}03$ og $(x-80)$ negative, altså to minuser, og produktet er positivt. Til høyre er bare $-0{,}03$ negativ, og produktet er negativt igjen.

Steg 4 — $y$-verdiene fra den opprinnelige funksjonen:

$$O(20) = -0{,}01 \cdot 8000 + 1{,}5 \cdot 400 - 48 \cdot 20 + 500$$
$$O(20) = -80 + 600 - 960 + 500 = 60$$

$$O(80) = -0{,}01 \cdot 512\,000 + 1{,}5 \cdot 6400 - 48 \cdot 80 + 500$$
$$O(80) = -5120 + 9600 - 3840 + 500 = 1140$$

Steg 5 — konkluder. I $x = 20$ skifter den deriverte fra minus til pluss: bunnpunkt $(20,\ 60)$. I $x = 80$ skifter den fra pluss til minus: toppunkt $(80,\ 1140)$.

Svar: Bunnpunkt $(20,\ 60)$ og toppunkt $(80,\ 1140)$.

Overskuddet synker fra starten ned til 60 kroner ved 20 enheter, vokser så jevnt til 1140 kroner ved 80 enheter, og synker deretter igjen. Bedriften bør altså legge produksjonen på 80 enheter.

Vi regner derfor ut $O$ i fire punkter: de to endepunktene og de to ekstremalpunktene.

$$O(0) = 500$$
$$O(20) = 60 \qquad \text{(bunnpunkt)}$$
$$O(80) = 1140 \qquad \text{(toppunkt)}$$
$$O(100) = -0{,}01 \cdot 1\,000\,000 + 1{,}5 \cdot 10\,000 - 4800 + 500$$
$$O(100) = -10\,000 + 15\,000 - 4800 + 500 = 700$$

Vi sammenlikner de fire tallene: $500$, $60$, $1140$ og $700$.

På et lukket intervall er endepunktene kandidater de også. Her vinner toppunktet $1140$, men legg merke til at $O(100) = 700$ er større enn $O(0) = 500$ — hadde intervallet gått lenger, kunne endepunktet tatt over.

Svar: Det største overskuddet er $1140$ kroner ved $x = 80$ enheter, og det minste er $60$ kroner ved $x = 20$ enheter.

Her falt begge ytterverdiene sammen med ekstremalpunktene. Men merk at $O(100) = 700$ er større enn $O(0) = 500$ — hadde intervallet gått lenger, kunne endepunktet lett tatt over. Derfor sjekker vi alltid endepunktene når området er begrenset.

I(x):=900x-0.5x^2
K(x):=0.04x^3-6x^2+400x+20000
O(x):=I(x)-K(x)

Kommandoen O(x) gir

$$O(x) = -0{,}04x^3 + 5{,}5x^2 + 500x - 20\,000$$

Steg 2 — dekningspunktene. Vi løser $O(x) = 0$:

Løs(O(x)=0, x)

CAS gir tre løsninger: $x \approx -83{,}59$, $x \approx 31{,}56$ og $x \approx 189{,}53$.

Den negative forkaster vi — bedriften kan ikke produsere et negativt antall enheter.

Steg 3 — det største overskuddet. Vi deriverer og løser:

O'(x)
Løs(O'(x)=0, x)

$$O'(x) = -0{,}12x^2 + 11x + 500$$

Løsningene er $\displaystyle x = -\frac{100}{3} \approx -33{,}33$ og $x = 125$. Igjen forkaster vi den negative.

Kontroll for hånd med abc på $O'(x) = 0$:

$$b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-0{,}12) \cdot 500 = 121 + 240 = 361$$
$$\sqrt{361} = 19$$
$$x = \frac{-11 \pm 19}{-0{,}24}$$

Det gir $\displaystyle x = \frac{8}{-0{,}24} \approx -33{,}33$ og $\displaystyle x = \frac{-30}{-0{,}24} = 125$.

Steg 4 — overskuddet i toppunktet:

O(125)

gir $50\,312{,}5$.

Svar: $O(x) = -0{,}04x^3 + 5{,}5x^2 + 500x - 20\,000$. Bedriften går i null ved omtrent $32$ og omtrent $190$ enheter, og har det største overskuddet, $50\,312{,}50$ kroner, ved $125$ enheter.

Legg merke til at vi kontrollerte CAS-svaret for hånd. Det er ikke mistillit til verktøyet — det er en sjekk på at vi har tastet inn den modellen vi trodde.