6.3 Derivasjonsregler | Matematikk for økonomi

Derivasjon av polynomer, potenser, e^x og ln x — reglene vi trenger i økonomi.

45 min

6 oppgaver

DerivasjonsreglerPotensregelene^x og ln x

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Reglene som gjør jobben kort

I 6.2 deriverte vi fra definisjonen. Det virker alltid, men det er tungt — fire–fem linjer for hver eneste funksjon.

Vi trenger ikke gjøre det på nytt hver gang. Setter vi opp definisjonen én gang for $x^2$ , én gang for $x^3$ og så videre, ser vi et mønster. Det mønsteret er potensregelen, og sammen med noen få andre regler dekker den alt vi trenger i økonomi.

De fem–seks reglene i dette kapittelet skal sitte. Det er ikke pugging for puggingens skyld: når derivasjonen går av seg selv, har du hodet fritt til å tenke på hva svaret betyr. Og det er der matematikken for økonomi egentlig ligger.

Potensregelen fra definisjonen

Vi deriverer $f(x) = x^3$ med samme oppsett som i 6.2, eksempel 2.

Finn $f(x + h)$ .

$f(x + h) = (x + h)^3 = (x^2 + 2xh + h^2)(x + h)$
$f(x + h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

Trekk fra $f(x)$ . Leddet $x^3$ faller bort:

$f(x + h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

Del på $h$ .

$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2$

La $h$ gå mot null.

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\left(3x^2 + 3xh + h^2\right) = 3x^2$

Samme oppsett gir $(x^2)' = 2x$ (oppgave 6.3.1 a), og i 6.2 fant vi at en rett linje $f(x) = x$ har stigningstall $1$ :

$f(x)$	$f'(x)$
$x^1$	$1 = 1 \cdot x^0$
$x^2$	$2x = 2 \cdot x^1$
$x^3$	$3x^2$

Mønsteret: eksponenten kommer ned som faktor, og den nye eksponenten er én mindre. Det gjelder for alle

n

. Når

(x + h)^n

ganges ut, er de to første leddene

x^n + n \cdot x^{n-1}h

(vi får

x^{n-1}h

på

n

måter, én for hver parentes vi tar

h

fra). Alle de andre leddene har minst

h^2

som faktor, så de forsvinner når vi deler på

h

og lar

h

gå mot null.

📜Grunnreglene

Konstant:

f(x) = c \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = 0

Potensregelen:
$f(x) = x^n \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{\,n-1}$

Konstantfaktor:
$f(x) = c \cdot g(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = c \cdot g'(x)$

Sum og differanse:
$f(x) = u(x) \pm v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \pm v'(x)$

Potensregelen er mønsteret vi fant over. De tre andre reglene kommer rett ut av definisjonen på samme måte — det viser du i oppgave 6.3.1.

De to siste er grunnen til at vi kan derivere et polynom ledd for ledd, og bare la tallene foran stå.

📝Oppgave 6.3.1

Bruk definisjonen av den deriverte, med samme oppsett som i utledningen av $(x^3)'$ , til å vise reglene.

Vis at $f(x) = x^2$ gir $f'(x) = 2x$ .

Vis at en konstant funksjon $f(x) = c$ har $f'(x) = 0$ .

La $f(x) = c \cdot g(x)$ , der $c$ er et tall. Vis at $f'(x) = c \cdot g'(x)$ .

La $f(x) = u(x) + v(x)$ . Vis at $f'(x) = u'(x) + v'(x)$ .

Vis at $f(x) = \dfrac{1}{x}$ gir $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ for $x > 0$ . Kontroller at potensregelen med $n = -1$ gir det samme.

Løs oppgaven

Potensregelen er lettere å bruke hvis vi først gjør det usynlige synlig.

Slik det står	Slik det egentlig er	Den deriverte
$x$	$x^1$	$1 \cdot x^0 = 1$
$5x$	$5 \cdot x^1$	$5 \cdot 1 \cdot x^0 = 5$
$x^2$	$x^2$	$2 \cdot x^1 = 2x$
$7$	$7 \cdot x^0$	$0$

(Vi skriver vanligvis ikke 1-tallet i

x^1

, og vi skriver ikke

x^0

bak et tall. Men når du deriverer, er det nettopp de usynlige tallene regelen får tak i.)
NB: Et konstantledd blir

0

. Det forsvinner ikke fordi vi glemmer det — et konstantledd endrer seg ikke når

x

endrer seg, og en endring som er null, er null. For en bedrift er det de faste kostnadene: de er der, men de vokser ikke med produksjonen.

✏️Eksempel 1: Deriver et polynom ledd for ledd

En fabrikk har kostnadene

$K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}2x^2 + 45x + 8000$

kroner ved $x$ enheter.

a) Finn $K'(x)$ .

b) Finn $K'(20)$ og $K'(50)$ , og tolk svarene.

a) Vi tar ett ledd om gangen og lar tallene foran stå:

$0{,}02x^3 \quad \longrightarrow \quad 0{,}02 \cdot 3x^2 = 0{,}06x^2$
$-1{,}2x^2 \quad \longrightarrow \quad -1{,}2 \cdot 2x = -2{,}4x$
$45x \quad \longrightarrow \quad 45$
$8000 \quad \longrightarrow \quad 0$

Satt sammen:

$K'(x) = 0{,}06x^2 - 2{,}4x + 45$

b) Vi setter inn:

$K'(20) = 0{,}06 \cdot 20^2 - 2{,}4 \cdot 20 + 45$
$K'(20) = 0{,}06 \cdot 400 - 48 + 45 = 24 - 48 + 45 = 21$

$K'(50) = 0{,}06 \cdot 50^2 - 2{,}4 \cdot 50 + 45$
$K'(50) = 0{,}06 \cdot 2500 - 120 + 45 = 150 - 120 + 45 = 75$

Svar: a) $K'(x) = 0{,}06x^2 - 2{,}4x + 45$ . b) $K'(20) = 21$ og $K'(50) = 75$ kroner per enhet.

Tolkningen: ved 20 enheter koster det omtrent 21 kroner å lage én enhet til, ved 50 enheter omtrent 75 kroner. Fabrikken er altså mye dyrere å drive på høyt produksjonsnivå — det er typisk når maskiner og lokaler nærmer seg kapasitetsgrensen.

📝Oppgave 6.3.2

Deriver funksjonene.

f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 2x - 9

K(x) = 0{,}03x^3 - 1{,}5x^2 + 60x + 12\,000

I(x) = 120x - 0{,}4x^2

O(x) = -0{,}25x^2 + 85x - 3000

P(x) = 5

Løs oppgaven

Potensregelen tåler mer enn hele tall

Potensregelen gjelder for alle eksponenter — negative og brøker også (oppgave 6.3.1 e) viser det for $n = -1$ ). Det er nyttig, for i økonomi møter vi stadig uttrykk som

$\frac{5000}{x} \qquad \text{og} \qquad \sqrt{x}$

Triks: skriv om til potensform først, deriver, og skriv om tilbake hvis svaret skal være pent.

$\frac{1}{x^n} = x^{-n} \qquad\qquad \sqrt{x} = x^{1/2}$

(Likheten gjelder begge veier! Det er den samme regelen som lar deg gå tilbake til slutt.)

✏️Eksempel 2: Brøk og rot

Deriver $f(x) = \dfrac{5}{x} + 3\sqrt{x}$ for $x > 0$ .

Skriv om til potensform.

$\frac{5}{x} = 5x^{-1} \qquad\qquad 3\sqrt{x} = 3x^{1/2}$
$f(x) = 5x^{-1} + 3x^{1/2}$

Deriver ledd for ledd med potensregelen.

$5x^{-1} \quad \longrightarrow \quad 5 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -5x^{-2}$
$3x^{1/2} \quad \longrightarrow \quad 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2} = \frac{3}{2}x^{-1/2}$

(Eksponentene: $-1 - 1 = -2$ , og $\displaystyle \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$ . Det er her de fleste feilene skjer — regn dem ut, ikke gjett dem.)

$f'(x) = -5x^{-2} + \frac{3}{2}x^{-1/2}$

Skriv om tilbake.

$f'(x) = -\frac{5}{x^2} + \frac{3}{2\sqrt{x}}$

Kontroll med et tall. Vi setter inn $x = 4$ :

$f'(4) = -\frac{5}{16} + \frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{16} + \frac{3}{4} = -\frac{5}{16} + \frac{12}{16} = \frac{7}{16} = 0{,}4375$

Svar: $f'(x) = -\dfrac{5}{x^2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x}}$

📝Oppgave 6.3.3

Deriver. Skriv om til potensform først, og skriv svaret uten negative eksponenter. Alle funksjonene gjelder for $x > 0$ .

f(x) = \dfrac{1}{x}

f(x) = \dfrac{8}{x^2}

f(x) = \sqrt{x}

f(x) = 6\sqrt{x} + \dfrac{2}{x}

En bedrift har enhetskostnaden $K_e(x) = \dfrac{2000}{x} + 15$ kroner per enhet ved $x$ enheter. Finn $K_e'(x)$ , og regn ut $K_e'(20)$ .

Løs oppgaven

📜Eksponentialfunksjonen og logaritmen

f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x

Opphav: $\dfrac{e^{x + h} - e^x}{h} = e^x \cdot \dfrac{e^h - 1}{h}$ , og brøken $\dfrac{e^h - 1}{h}$ nærmer seg $1$ når $h$ går mot null ( $h = 0{,}01$ gir $1{,}00502$ , $h = 0{,}001$ gir $1{,}00050$ ). Det undersøker du i oppgave 6.3.4 f).

$f(x) = \ln x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x} \qquad (x > 0)$

Opphav: brøken $\dfrac{\ln(x + h) - \ln x}{h}$ nærmer seg $\dfrac{1}{x}$ når $h$ går mot null. Det undersøker du for $x = 2$ i oppgave 6.3.5 f).

Hurtigregel (den du trenger i økonomi, der veksten nesten alltid har en rentesats i eksponenten):

$f(x) = e^{kx} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = k \cdot e^{kx}$

Konstanten $k$ i eksponenten kommer altså ned som faktor foran. Opphav: $e^{k(x + h)} - e^{kx} = e^{kx}\left(e^{kh} - 1\right)$ , og $\dfrac{e^{kh} - 1}{h} = k \cdot \dfrac{e^{kh} - 1}{kh}$ nærmer seg $k \cdot 1 = k$ , av samme grunn som over. Sammen med konstantfaktorregelen gir det

$f(x) = c \cdot e^{kx} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = c \cdot k \cdot e^{kx}$

NB: $e^x$ (og $c \cdot e^x$ ) er de eneste funksjonene som er sin egen deriverte. Det er nettopp derfor $e$ er det naturlige grunntallet for vekst: farten veksten skjer med, er proporsjonal med hvor mye du har.

✏️Eksempel 3: Kontinuerlig vekst

Et fond forvalter en kapital som vokser kontinuerlig:

$B(t) = 250\,000 \cdot e^{0{,}08t}$

der $B(t)$ er kroner og $t$ er antall år.

a) Finn $B'(t)$ .

b) Hvor fort vokser kapitalen ved $t = 0$ og ved $t = 10$ ?

a) Her er

c = 250\,000

k = 0{,}08

. Hurtigregelen sier at

k

kommer ned som faktor:

$B'(t) = 250\,000 \cdot 0{,}08 \cdot e^{0{,}08t}$
$B'(t) = 20\,000 \cdot e^{0{,}08t}$

b) Ved $t = 0$ :

$B'(0) = 20\,000 \cdot e^{0} = 20\,000 \cdot 1 = 20\,000$

Ved $t = 10$ :

$B'(10) = 20\,000 \cdot e^{0{,}08 \cdot 10} = 20\,000 \cdot e^{0{,}8} \approx 44\,510{,}82$

Svar: a) $B'(t) = 20\,000 \cdot e^{0{,}08t}$ . b) $20\,000$ kroner per år ved starten, og omtrent $44\,511$ kroner per år etter ti år.

Legg merke til dette: $B(10) = 250\,000 \cdot e^{0{,}8} \approx 556\,385$ kroner, og

$\frac{B'(10)}{B(10)} = \frac{20\,000 \cdot e^{0{,}8}}{250\,000 \cdot e^{0{,}8}} = \frac{20\,000}{250\,000} = 0{,}08$

Den relative vekstfarten er $8\ \%$ — den samme hele tiden. Det er nettopp det $k$ i eksponenten betyr: den kontinuerlige rentesatsen.

Kapitalen B(t) med tangenten ved t = 10

Den heltrukne kurven er kapitalen som vokser kontinuerlig med 8 prosent. Den stiplede linja er tangenten i punktet der t er 10; stigningstallet er den momentane vekstfarten, omtrent 44 511 kroner per år.

B(t) = 250\,000e^{0{,}08t}

tangent i $t = 10$

📝Oppgave 6.3.4

Deriver, og svar på spørsmålene.

f(x) = e^x

f(x) = 5e^x

En konto har beløpet $B(t) = 40\,000 \cdot e^{0{,}05t}$ kroner etter $t$ år. Finn $B'(t)$ .

Regn ut $B'(0)$ og $B'(20)$ . Rund av til nærmeste krone.

Regn ut $\displaystyle \frac{B'(20)}{B(20)}$ , og forklar resultatet.

Undersøk med regneark eller kalkulator: regn ut $\dfrac{e^h - 1}{h}$ for $h = 0{,}1$ , $h = 0{,}01$ og $h = 0{,}001$ . Hva nærmer tallet seg, og hva betyr det for $(e^x)'$ ?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4: Logaritmisk kostnadsmodell

En bedrift har kostnadene

$K(x) = 400 \ln x + 25x$

kroner ved $x$ enheter, for $x \ge 1$ (for $x < 1$ blir $\ln x$ negativ, og modellen gir ingen mening).

a) Finn $K'(x)$ .

b) Regn ut $K'(50)$ og $K'(100)$ , og forklar hva sammenlikningen viser.

a) Vi deriverer ledd for ledd. Konstantfaktoren

400

blir stående, og

\ln x

deriveres til

\displaystyle \frac{1}{x}

$400 \ln x \quad \longrightarrow \quad 400 \cdot \frac{1}{x} = \frac{400}{x}$
$25x \quad \longrightarrow \quad 25$

$K'(x) = \frac{400}{x} + 25$

b) Vi setter inn:

$K'(50) = \frac{400}{50} + 25 = 8 + 25 = 33$
$K'(100) = \frac{400}{100} + 25 = 4 + 25 = 29$

Koordinatsystem med antall enheter x fra 0 til 200 og kroner per enhet fra 0 til 60. En blå kurve merket K'(x) synker bratt fra venstre og flater ut mot høyre. To punkter er markert og navngitt: (50, 33) og (100, 29). En grå stiplet vannrett linje ligger ved 25 kroner og er merket «gulvet: 25 kr»; kurven nærmer seg den uten å nå den.

Grensekostnaden $\displaystyle K'(x) = \frac{400}{x} + 25$ kommer aldri under 25 kroner. Brøken blir liten, men aldri null — og det er nettopp en asymptote.

Svar: a) $K'(x) = \dfrac{400}{x} + 25$ . b) $K'(50) = 33$ og $K'(100) = 29$ kroner per enhet.

Sammenlikningen viser at kostnaden ved én enhet til synker når produksjonen øker — fra 33 til 29 kroner. Det er stordriftsfordeler: logaritmeleddet vokser saktere og saktere, mens $25x$ -leddet vokser jevnt. Uansett hvor stor produksjonen blir, kommer $K'$ aldri under 25 kroner, for $\displaystyle \frac{400}{x}$ er positiv for alle $x \ge 1$ .

📝Oppgave 6.3.5

Deriver, og tolk resultatene. Alle funksjonene gjelder for $x > 0$ .

f(x) = \ln x

f(x) = 300 \ln x

En nettbutikk får $N(x) = 120 + 45 \ln x$ nye kunder per måned når de bruker $x$ tusen kroner på annonser. Finn $N'(x)$ .

Regn ut $N'(10)$ og $N'(100)$ .

Butikken vurderer å tidoble annonsebudsjettet fra 10 000 til 100 000 kroner. Hva forteller svarene i d) om den siste tusenlappen?

Undersøk med regneark eller kalkulator: regn ut $\dfrac{\ln(2 + h) - \ln 2}{h}$ for $h = 0{,}1$ , $h = 0{,}01$ og $h = 0{,}001$ . Sammenlikn med $f'(2)$ fra a).

Løs oppgaven

✏️Eksempel 5: Overskuddet satt sammen av inntekt og kostnad

En bedrift har

$I(x) = 80x - 0{,}04x^2 \qquad \text{og} \qquad K(x) = 0{,}01x^2 + 20x + 7000$

begge i kroner ved $x$ enheter.

a) Finn overskuddsfunksjonen $O(x)$ og $O'(x)$ .

b) Løs likningen $O'(x) = 0$ .

c) Regn ut $I'$ og $K'$ i den $x$ -verdien du fant, og forklar hva du ser.

a) Overskuddet er inntekten minus kostnadene:

$O(x) = I(x) - K(x)$
$O(x) = (80x - 0{,}04x^2) - (0{,}01x^2 + 20x + 7000)$

Vi løser opp parentesen — husk at minus foran snur alle fortegnene inni:

$O(x) = 80x - 0{,}04x^2 - 0{,}01x^2 - 20x - 7000$
$O(x) = -0{,}05x^2 + 60x - 7000$

Så deriverer vi ledd for ledd:

$O'(x) = -0{,}1x + 60$

b) Vi løser likningen:

$-0{,}1x + 60 = 0 \qquad | -60$
$-0{,}1x = -60 \qquad | : (-0{,}1)$
$x = 600$

$O$ er en parabel som vender nedover ( $a = -0{,}05 < 0$ ), så $x = 600$ er et toppunkt og ikke et bunnpunkt — det er der overskuddet er størst.

c) Vi deriverer hver for seg og setter inn $x = 600$ :

$I'(x) = 80 - 0{,}08x \quad \Longrightarrow \quad I'(600) = 80 - 48 = 32$
$K'(x) = 0{,}02x + 20 \quad \Longrightarrow \quad K'(600) = 12 + 20 = 32$

De er like.

Svar: a) $O(x) = -0{,}05x^2 + 60x - 7000$ og $O'(x) = -0{,}1x + 60$ . b) $x = 600$ . c) $I'(600) = K'(600) = 32$ kroner per enhet.

Dette er ikke tilfeldig. Siden $O' = I' - K'$ , gjelder

$O'(x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad I'(x) = K'(x)$

Overskuddet er størst der grenseinntekten er lik grensekostnaden. Den neste enheten koster nøyaktig like mye som den gir. Vi kommer tilbake til dette i 6.5.

Oppsummering — reglene samlet

Hver regel i tabellen er utledet eller begrunnet tidligere i kapitlet: potensregelen i utledningen av $(x^3)'$ , de tre neste i oppgave 6.3.1, og $e^x$ , $e^{kx}$ og $\ln x$ i boksen om eksponentialfunksjonen og logaritmen.

$f(x)$	$f'(x)$
$c$ (konstant)	$0$
$x^n$	$n \cdot x^{\,n-1}$
$c \cdot g(x)$	$c \cdot g'(x)$
$u(x) \pm v(x)$	$u'(x) \pm v'(x)$
$e^x$	$e^x$
$e^{kx}$	$k \cdot e^{kx}$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$

Arbeidsmåten:
1. Skriv om brøker og røtter til potensform.
2. Deriver ledd for ledd. Konstantfaktorer blir stående.
3. Skriv om tilbake til brøk eller rot hvis svaret skal være pent.
4. Kontroller med et tall hvis du er usikker.
Vanlige feil:
- Glemme at

x

x^1

, og derivere

5x

til

5x

i stedet for

5

.
- Regne eksponenten feil for negative tall:

-2 - 1

-3

, ikke

-1

- La konstantleddet bli stående. Det deriveres til $0$ .

📝Oppgave 6.3.6

En bedrift har kostnadene $K(x) = 0{,}01x^2 + 20x + 5000$ kroner og inntekten $I(x) = 60x - 0{,}03x^2$ kroner ved $x$ enheter.

Finn overskuddsfunksjonen $O(x)$ .

Finn $O'(x)$ .

Løs likningen $O'(x) = 0$ .

Regn ut det største overskuddet.

Vis at $I'(500) = K'(500)$ , og forklar hvorfor det måtte bli slik.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6.3.7

Del 2 — digitale verktøy. En kapital vokser kontinuerlig etter modellen

$B(t) = 80\,000 \cdot e^{0{,}042t}$

kroner etter $t$ år.

Finn $B'(t)$ for hånd, og kontroller svaret i CAS.

Hvor fort vokser kapitalen i starten?

Hvor stor er kapitalen etter 15 år, og hvor fort vokser den da? Rund av til nærmeste krone.

Vis at $\dfrac{B'(t)}{B(t)}$ er det samme tallet for alle $t$ . Hvilket tall er det?

En rådgiver sier: «Kontoen vokser med 4,2 % i året, så etter 15 år har den vokst med $15 \cdot 4{,}2\ \% = 63\ \%$ .» Vurder påstanden.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.