6.2 Momentan vekstfart og den deriverte | Matematikk for økonomi

Fra sekant til tangent; den deriverte som momentan endring.

45 min

6 oppgaver

Momentan vekstfartDen deriverte

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Fra hele intervallet til ett punkt

I 6.1 regnet vi ut vekstfarten over et intervall. Men en bedriftsleder spør sjelden «hva har kostnaden vokst med i gjennomsnitt de siste hundre enhetene?». Hun spør: «Hva koster det oss å lage én enhet til — akkurat nå?»

Det er et spørsmål om vekstfarten i ett bestemt punkt. Vi kaller den momentan vekstfart (av latin momentum, «øyeblikk»).

Problemet er at formelen vår ikke tåler det. Setter vi $a = b$ , blir nevneren $b - a = 0$ , og vi kan ikke dele på null. Løsningen er ikke å sette dem like, men å la dem nærme seg hverandre og se hvor svaret havner.

La intervallet krympe

Vi holder det ene punktet fast i $x = a$ og flytter det andre nærmere og nærmere. Kaller vi avstanden mellom dem $h$ , blir det andre punktet $a + h$ , og den gjennomsnittlige vekstfarten er

$\frac{f(a + h) - f(a)}{(a + h) - a} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

(Nevneren: $(a + h) - a = h$ . Vi skriver vanligvis ikke mellomregningen, men den er verdt å se én gang — det er derfor $h$ står alene nede.)

Så gjør vi $h$ mindre og mindre og ser hva brøken nærmer seg.

✏️Eksempel 1: Vi lar intervallet krympe (bakeriet fra 6.1)

Bakeriet har kostnadene $K(x) = 0{,}05x^2 + 12x + 4000$ kroner per dag ved $x$ brød.

Undersøk hva den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 100$ nærmer seg når intervallet krymper.

Vi har $K(100) = 5700$ fra 6.1. Så regner vi ut den gjennomsnittlige vekstfarten for stadig mindre $h$ :

$h$	$K(100 + h)$	$\dfrac{K(100+h) - K(100)}{h}$
$10$	$5925$	$22{,}5$
$1$	$5722{,}05$	$22{,}05$
$0{,}1$	$5702{,}2005$	$22{,}005$
$0{,}01$	$5700{,}220005$	$22{,}0005$
$0{,}001$	$5700{,}02200005$	$22{,}00005$

Tallene i siste kolonne nærmer seg

22

, og de kommer nærmere for hvert steg.

Tre paneler på rad, merket A, B og C fra venstre. Alle tre har tallmerkede akser og viser den samme kostnadskurven K(x) i blått og en rød sekant fra punktet ved x lik 100, men i stadig trangere vindu: x fra 97 til 113 i A, fra 99,7 til 101,3 i B og fra 99,97 til 100,13 i C — altså h = 10, h = 1 og h = 0,1. Sekantens stigningstall er merket 22,5 i panel A, 22,05 i panel B og 22,005 i panel C. Kurven og sekanten ligger så tett sammen at de ikke kan skilles med øyet i noe av panelene; det er aksetallene og de tre stigningstallene som viser krympingen.

Krympetabellen som bilde: $22{,}5 \to 22{,}05 \to 22{,}005$ , på vei mot $K'(100) = 22$ . Grenseverdien er ikke noe man må tro på — den er noe man ser.
Svar: Den momentane vekstfarten i

x = 100

ser ut til å være

22

kroner per brød.
NB: Vi har ikke bevist noe her — vi har sett en tendens. Neste eksempel viser hvordan vi regner ut tallet eksakt, uten å prøve oss fram.

📝Oppgave 6.2.1

Gjør den samme undersøkelsen for kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 30x + 5000$ kroner, med utgangspunkt i $x = 150$ . Du får bruke kalkulator eller regneark.

Regn ut $K(150)$ .

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 150$ med $h = 10$ .

Gjenta med $h = 1$ .

Gjenta med $h = 0{,}1$ .

Hvilket tall nærmer vekstfarten seg?

Løs oppgaven

Den deriverte

f

✏️Eksempel 2: Den deriverte regnet ut fra definisjonen

Bruk definisjonen til å finne $K'(x)$ når $K(x) = 0{,}05x^2 + 12x + 4000$ . Finn så $K'(100)$ .

Hva vet vi? Vi skal sette opp brøken

\dfrac{K(x + h) - K(x)}{h}

, forenkle den så langt at

h

forsvinner fra nevneren, og så la

h

gå mot null.

Finn $K(x + h)$ . Overalt der det står $x$ , setter vi inn $x + h$ :

$K(x + h) = 0{,}05(x + h)^2 + 12(x + h) + 4000$
$K(x + h) = 0{,}05(x^2 + 2xh + h^2) + 12x + 12h + 4000$
$K(x + h) = 0{,}05x^2 + 0{,}1xh + 0{,}05h^2 + 12x + 12h + 4000$

Trekk fra $K(x)$ . Alle ledd uten $h$ står i begge uttrykkene og faller bort.

$K(x + h) - K(x) = 0{,}1xh + 0{,}05h^2 + 12h$

Del på $h$ . Hvert ledd har en faktor $h$ , så vi kan forkorte:

$\frac{K(x+h) - K(x)}{h} = \frac{h(0{,}1x + 0{,}05h + 12)}{h} = 0{,}1x + 0{,}05h + 12$

La $h$ gå mot null. Nå står $h$ bare i ett ledd, og $0{,}05h$ blir mindre og mindre:

$K'(x) = \lim_{h \to 0} \left(0{,}1x + 0{,}05h + 12\right) = 0{,}1x + 12$

Sett inn $x = 100$ .

$K'(100) = 0{,}1 \cdot 100 + 12 = 10 + 12 = 22$

Svar: $K'(x) = 0{,}1x + 12$ , og $K'(100) = 22$ kroner per brød.

Det er nøyaktig tallet vi nærmet oss i Eksempel 1 — men nå vet vi det, vi gjetter det ikke.

📝Oppgave 6.2.2

Bruk definisjonen av den deriverte på funksjonen $f(x) = 3x^2 - 5x$ . Følg de samme stegene som i Eksempel 2.

Sett opp $f(x + h)$ og gang ut.

Regn ut $f(x + h) - f(x)$ .

Del på $h$ og forkort.

La $h \to 0$ og skriv opp $f'(x)$ .

Finn $f'(4)$ .

Løs oppgaven

Hva den deriverte betyr i økonomi

Den deriverte har samme enhet som den gjennomsnittlige vekstfarten: enheten til $f$ per enhet til $x$ .

Funksjon	Den deriverte	Tolkning
$K(x)$ — kostnad ved $x$ enheter	$K'(x)$	kostnaden ved å lage én enhet til (grensekostnad, 6.5)
$I(x)$ — inntekt ved $x$ enheter	$I'(x)$	inntekten av å selge én enhet til (grenseinntekt, 6.5)
$O(x)$ — overskudd ved $x$ enheter	$O'(x)$	hvor mye overskuddet endrer seg av én enhet til
$q(p)$ — etterspørsel ved pris $p$	$q'(p)$	hvor mange færre enheter vi selger per krone prisøkning

Fortegnet bærer beskjeden:
-

f'(a) > 0

— funksjonen vokser i

a

.
-

f'(a) < 0

— funksjonen synker i

a

.
-

f'(a) = 0

— funksjonen står stille akkurat der. Dette punktet skal vi jakte på i 6.4.

✏️Eksempel 3: Hva 22 kroner egentlig betyr

Bakeriet har $K'(x) = 0{,}1x + 12$ , og vi fant $K'(100) = 22$ kroner per brød.

Hvor mye øker kostnaden faktisk hvis de baker brød nummer 101?

Den eksakte økningen er differansen mellom kostnaden ved 101 og ved 100 brød:

$K(101) - K(100) = 5722{,}05 - 5700 = 22{,}05$

Den deriverte sa $22$ kroner.

Forskjellen er $5$ øre. Den deriverte er altså ikke det nøyaktige svaret på «hva koster brød nummer 101», men den er svært nær — og den er mye lettere å regne med, fordi vi får en formel som gjelder for alle $x$ på én gang.

Svar: Kostnaden øker med $22{,}05$ kroner. Den deriverte, $22$ kroner, er en god tilnærming.

Slik brukes den deriverte i økonomi: som kostnaden ved den neste enheten. Vi kommer tilbake til dette som grensekostnad i 6.5.

📝Oppgave 6.2.3

Forklar i hvert tilfelle hva tallet betyr for bedriften. Husk enheten.

En bedrift har $K'(500) = 84$ , der $K(x)$ er kroner og $x$ er antall enheter.

Den samme bedriften har $I'(500) = 120$ .

Hva blir $O'(500)$ , og hva forteller det?

For en annen vare er $q'(60) = -14$ , der $q(p)$ er antall solgte enheter ved prisen $p$ kroner.

En tredje bedrift har $O'(900) = -25$ . Bør de produsere mer eller mindre enn 900 enheter?

Løs oppgaven

Sekanten blir en tangent

I 6.1 så vi at den gjennomsnittlige vekstfarten er stigningstallet til sekanten gjennom to punkter på grafen.

Når vi lar $h \to 0$ , glir det ene punktet inn mot det andre. Sekanten svinger da over i den linja som bare berører grafen i ett punkt — tangenten (av latin tangere, «å berøre»).

Den deriverte er derfor to ting på én gang:

- momentan vekstfart — hvor fort funksjonen endrer seg akkurat der
- stigningstallet til tangenten i punktet

Figuren under viser det: sekantene fra $x = 100$ til $300$ , $200$ , $150$ og $110$ har stigningstall $50$ , $60$ , $65$ og $69$ — og tangenten, helt innerst, har stigningstall $70$ .

Sekantene nærmer seg tangenten i x = 100

Inntektskurven med fire sekanter fra punktet (100, 8000) ut til stadig nærmere punkter, og tangenten innerst. Jo nærmere det andre punktet ligger, desto brattere ligger sekanten — helt til den faller sammen med tangenten.

I(x) = 90x - 0{,}1x^2

sekant til $x=300$ ( $a = 50$ )

sekant til $x=200$ ( $a = 60$ )

sekant til $x=150$ ( $a = 65$ )

sekant til $x=110$ ( $a = 69$ )

tangent i $x=100$ ( $a = 70$ )

✏️Eksempel 4: Tangenten til inntektskurven

En bedrift har inntektsfunksjonen $I(x) = 90x - 0{,}1x^2$ kroner ved $x$ enheter.

a) Bruk definisjonen til å finne $I'(x)$ .

b) Finn den momentane vekstfarten ved $x = 100$ , og sammenlikn med den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 100$ til $x = 300$ (som vi fant til $50$ i 6.1).

c) Finn likningen for tangenten i punktet $(100, 8000)$ .

a) Vi setter inn

x + h

overalt der det står

x

$I(x + h) = 90(x + h) - 0{,}1(x + h)^2$
$I(x + h) = 90x + 90h - 0{,}1(x^2 + 2xh + h^2)$
$I(x + h) = 90x + 90h - 0{,}1x^2 - 0{,}2xh - 0{,}1h^2$

Trekker vi fra $I(x) = 90x - 0{,}1x^2$ , blir det igjen:

$I(x + h) - I(x) = 90h - 0{,}2xh - 0{,}1h^2$

Vi deler på $h$ og forkorter:

$\frac{I(x+h) - I(x)}{h} = \frac{h(90 - 0{,}2x - 0{,}1h)}{h} = 90 - 0{,}2x - 0{,}1h$

Og lar $h$ gå mot null:

$I'(x) = 90 - 0{,}2x$

b) Vi setter inn $x = 100$ :

$I'(100) = 90 - 0{,}2 \cdot 100 = 90 - 20 = 70$

Den momentane vekstfarten er $70$ kroner per enhet, mens gjennomsnittet over hele intervallet fra 100 til 300 var $50$ kroner per enhet.

At den momentane er størst, stemmer med figuren: kurven er brattest i starten av intervallet og flater ut mot slutten. Gjennomsnittet ligger imellom.

c) Tangenten er en rett linje $y = ax + b$ med $a = I'(100) = 70$ . Den går gjennom $(100,\ 8000)$ :

$8000 = 70 \cdot 100 + b$
$8000 = 7000 + b \qquad | -7000$
$b = 1000$

Svar: a) $I'(x) = 90 - 0{,}2x$ . b) $I'(100) = 70$ kroner per enhet, mot $50$ i gjennomsnitt over $[100,\ 300]$ . c) $y = 70x + 1000$ .

📝Oppgave 6.2.4

En bedrift har inntektsfunksjonen $I(x) = -0{,}2x^2 + 40x$ kroner ved $x$ enheter. Det er opplyst at $I'(x) = -0{,}4x + 40$ .

Regn ut $I(50)$ .

Finn den momentane vekstfarten ved $x = 50$ .

Finn likningen for tangenten i punktet $(50,\ 1500)$ .

Finn $I'(100)$ , og forklar hva svaret betyr.

Hva skjer med inntekten hvis bedriften selger mer enn 100 enheter?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 5: Momentan vekstfart med digitale verktøy (Del 2)

Fabrikken fra 6.1 har kostnadene

$K(x) = 0{,}01x^3 - 1{,}5x^2 + 90x + 2500$

Bruk CAS til å finne $K'(x)$ og $K'(50)$ , og sammenlikn med den gjennomsnittlige vekstfarten på intervallene rundt $x = 50$ .

Definer funksjonen i CAS (kolon-lik-tegn definerer, ett likhetstegn ville laget en likning):

K(x):=0.01x^3-1.5x^2+90x+2500

La CAS derivere.

K'(x)

Svaret blir

$K'(x) = 0{,}03x^2 - 3x + 90$

Sett inn verdien.

K'(50)

gir $15$ .

Kontroll for hånd (den har et poeng — den avslører om vi har tastet feil):

$K'(50) = 0{,}03 \cdot 50^2 - 3 \cdot 50 + 90 = 0{,}03 \cdot 2500 - 150 + 90 = 75 - 150 + 90 = 15$

Sammenlikning. I 6.1 fant vi den gjennomsnittlige vekstfarten på intervallene rundt $x = 50$ :

$\frac{K(50) - K(40)}{10} = \frac{K(60) - K(50)}{10} = 16$

Den momentane vekstfarten i $x = 50$ er $15$ kroner per enhet — litt lavere, fordi grafen til $K$ er på sitt slakeste nettopp i $x = 50$ .

Svar: $K'(x) = 0{,}03x^2 - 3x + 90$ og $K'(50) = 15$ kroner per enhet.

Oppsummering

- Momentan vekstfart = vekstfarten i ett punkt = den deriverte:
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
- Regneoppskriften fra definisjonen: sett inn $x + h$ → trekk fra $f(x)$ → del på $h$ og forkort → la $h \to 0$ .
- Den deriverte er også stigningstallet til tangenten i punktet.
- Tangentlikningen: $y = ax + b$ der $a = f'(x_1)$ , og $b$ finnes ved å sette punktet inn.
- Enheten er den samme som for den gjennomsnittlige vekstfarten.
- I økonomi leses $f'(x)$ som «endringen ved én enhet til» — grensekostnad, grenseinntekt (6.5).
- Fortegnet: $f' > 0$ vokser, $f' < 0$ synker, $f' = 0$ står stille.

Å derivere fra definisjonen hver gang er tungt. I 6.3 lærer vi reglene som gjør det til noen få linjer.

📝Oppgave 6.2.5

Overskuddet til bedriften fra 6.1 er $O(x) = -0{,}5x^2 + 60x - 800$ kroner ved $x$ enheter. Det er opplyst at $O'(x) = -x + 60$ .

I 6.1 fant vi at den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 20$ til $x = 50$ er $25$ kr per enhet. Finn den momentane vekstfarten i begge endepunktene.

Forklar hvorfor gjennomsnittet $25$ ligger mellom $40$ og $10$ .

Finn den $x$ -verdien der den momentane vekstfarten er nøyaktig lik gjennomsnittet $25$ .

Løs likningen $O'(x) = 0$ , og forklar hva løsningen betyr for bedriften.

Skriv opp likningen for tangenten i toppunktet, og forklar hvorfor den ser ut som den gjør.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6.2.6

Del 2 — digitale verktøy. En fabrikk har kostnadene

$K(x) = 0{,}005x^3 - 0{,}9x^2 + 70x + 9000$

kroner når de produserer $x$ enheter, for $0 \le x \le 120$ .

Bruk CAS til å finne $K'(x)$ .

Regn ut $K'(40)$ og $K'(80)$ .

Tegn grafen til $K'$ og finn den $x$ -verdien der $K'$ er minst.

Kontroller svaret i c) ved å regne ut $K(61) - K(60)$ .

En rådgiver sier: «Produser 60 enheter, for der er kostnadene lavest.» Vurder påstanden.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.