6.2 Momentan vekstfart og den deriverte

Vi har $K(100) = 5700$ fra 6.1. Så regner vi ut den gjennomsnittlige vekstfarten for stadig mindre $h$:

$h$	$K(100 + h)$	$\dfrac{K(100+h) - K(100)}{h}$
$10$	$5925$	$22{,}5$
$1$	$5722{,}05$	$22{,}05$
$0{,}1$	$5702{,}2005$	$22{,}005$
$0{,}01$	$5700{,}220005$	$22{,}0005$
$0{,}001$	$5700{,}02200005$	$22{,}00005$

Tallene i siste kolonne nærmer seg $22$, og de kommer nærmere for hvert steg.

Krympetabellen som bilde: $22{,}5 \to 22{,}05 \to 22{,}005$, på vei mot $K'(100) = 22$. Grenseverdien er ikke noe man må tro på — den er noe man ser.
Svar: Den momentane vekstfarten i $x = 100$ ser ut til å være $22$ kroner per brød.
NB: Vi har ikke bevist noe her — vi har sett en tendens. Neste eksempel viser hvordan vi regner ut tallet eksakt, uten å prøve oss fram.

Hva vet vi? Vi skal sette opp brøken $\dfrac{K(x + h) - K(x)}{h}$, forenkle den så langt at $h$ forsvinner fra nevneren, og så la $h$ gå mot null.

Steg 1 — finn $K(x + h)$. Overalt der det står $x$, setter vi inn $x + h$:

$$K(x + h) = 0{,}05(x + h)^2 + 12(x + h) + 4000$$
$$K(x + h) = 0{,}05(x^2 + 2xh + h^2) + 12x + 12h + 4000$$
$$K(x + h) = 0{,}05x^2 + 0{,}1xh + 0{,}05h^2 + 12x + 12h + 4000$$

Steg 2 — trekk fra $K(x)$. Nå ser vi hvorfor dette går bra: alle ledd uten $h$ i seg står i begge uttrykkene og faller bort.

$$K(x + h) - K(x) = 0{,}1xh + 0{,}05h^2 + 12h$$

Steg 3 — del på $h$. Hvert ledd har en faktor $h$, så vi kan forkorte:

$$\frac{K(x+h) - K(x)}{h} = \frac{h(0{,}1x + 0{,}05h + 12)}{h} = 0{,}1x + 0{,}05h + 12$$

Steg 4 — la $h$ gå mot null. Nå står $h$ bare i ett ledd, og $0{,}05h$ blir mindre og mindre:

$$K'(x) = \lim_{h \to 0} \left(0{,}1x + 0{,}05h + 12\right) = 0{,}1x + 12$$

Steg 5 — sett inn $x = 100$:

$$K'(100) = 0{,}1 \cdot 100 + 12 = 10 + 12 = 22$$

Svar: $K'(x) = 0{,}1x + 12$, og $K'(100) = 22$ kroner per brød.

Det er nøyaktig tallet vi nærmet oss i Eksempel 1 — men nå vet vi det, vi gjetter det ikke.

Den eksakte økningen er differansen mellom kostnaden ved 101 og ved 100 brød:

$$K(101) - K(100) = 5722{,}05 - 5700 = 22{,}05$$

Den deriverte sa $22$ kroner.

Forskjellen er $5$ øre. Den deriverte er altså ikke det nøyaktige svaret på «hva koster brød nummer 101», men den er svært nær — og den er mye lettere å regne med, fordi vi får en formel som gjelder for alle $x$ på én gang.

Svar: Kostnaden øker med $22{,}05$ kroner. Den deriverte, $22$ kroner, er en god tilnærming.

Slik brukes den deriverte i økonomi: som kostnaden ved den neste enheten. Vi kommer tilbake til dette som grensekostnad i 6.5.

a) Vi setter inn $x + h$ overalt der det står $x$:

$$I(x + h) = 90(x + h) - 0{,}1(x + h)^2$$
$$I(x + h) = 90x + 90h - 0{,}1(x^2 + 2xh + h^2)$$
$$I(x + h) = 90x + 90h - 0{,}1x^2 - 0{,}2xh - 0{,}1h^2$$

Trekker vi fra $I(x) = 90x - 0{,}1x^2$, blir det igjen:

$$I(x + h) - I(x) = 90h - 0{,}2xh - 0{,}1h^2$$

Vi deler på $h$ og forkorter:

$$\frac{I(x+h) - I(x)}{h} = \frac{h(90 - 0{,}2x - 0{,}1h)}{h} = 90 - 0{,}2x - 0{,}1h$$

Og lar $h$ gå mot null:

$$I'(x) = 90 - 0{,}2x$$

b) Vi setter inn $x = 100$:

$$I'(100) = 90 - 0{,}2 \cdot 100 = 90 - 20 = 70$$

Den momentane vekstfarten er $70$ kroner per enhet, mens gjennomsnittet over hele intervallet fra 100 til 300 var $50$ kroner per enhet.

At den momentane er størst, stemmer med figuren: kurven er brattest i starten av intervallet og flater ut mot slutten. Gjennomsnittet ligger imellom.

c) Tangenten er en rett linje $y = ax + b$ med $a = I'(100) = 70$. Den går gjennom $(100,\ 8000)$:

$$8000 = 70 \cdot 100 + b$$
$$8000 = 7000 + b \qquad | -7000$$
$$b = 1000$$

Svar: a) $I'(x) = 90 - 0{,}2x$. b) $I'(100) = 70$ kroner per enhet, mot $50$ i gjennomsnitt over $[100,\ 300]$. c) $y = 70x + 1000$.

Steg 1 — definer funksjonen i CAS (kolon-lik-tegn definerer, ett likhetstegn ville laget en likning):

K(x):=0.01x^3-1.5x^2+90x+2500

Steg 2 — la CAS derivere:

K'(x)

Svaret blir

$$K'(x) = 0{,}03x^2 - 3x + 90$$

Steg 3 — sett inn verdien:

K'(50)

gir $15$.

Kontroll for hånd (den har et poeng — den avslører om vi har tastet feil):

$$K'(50) = 0{,}03 \cdot 50^2 - 3 \cdot 50 + 90 = 0{,}03 \cdot 2500 - 150 + 90 = 75 - 150 + 90 = 15$$

Sammenlikning. I 6.1 fant vi at den gjennomsnittlige vekstfarten var $16$ kroner per enhet både på $[40,\ 50]$ og på $[50,\ 60]$. Den momentane i $x = 50$ er $15$ kroner per enhet — litt lavere, fordi $x = 50$ ligger nettopp der kurven er på sitt slakeste.

Svar: $K'(x) = 0{,}03x^2 - 3x + 90$ og $K'(50) = 15$ kroner per enhet.