6.1 Gjennomsnittlig vekstfart

Hva vet vi? $a = 100$ og $b = 200$. Vi må finne $K(100)$ og $K(200)$ først.

Steg 1 — regn ut $K(100)$:

$$K(100) = 0{,}05 \cdot 100^2 + 12 \cdot 100 + 4000$$
$$K(100) = 0{,}05 \cdot 10\,000 + 1200 + 4000$$
$$K(100) = 500 + 1200 + 4000 = 5700$$

Steg 2 — regn ut $K(200)$:

$$K(200) = 0{,}05 \cdot 200^2 + 12 \cdot 200 + 4000$$
$$K(200) = 0{,}05 \cdot 40\,000 + 2400 + 4000$$
$$K(200) = 2000 + 2400 + 4000 = 8400$$

Steg 3 — sett inn i formelen. Vi skriver formelen tom først, og så med tall:

$$\frac{\Delta K}{\Delta x} = \frac{K(200) - K(100)}{200 - 100}$$
$$\frac{\Delta K}{\Delta x} = \frac{8400 - 5700}{200 - 100} = \frac{2700}{100} = 27$$

Svar: Den gjennomsnittlige vekstfarten er $27$ kroner per brød.

Det betyr: når bakeriet går fra 100 til 200 brød om dagen, koster hvert av de 100 nye brødene i gjennomsnitt 27 kroner ekstra. Legg merke til at det IKKE er det samme som hva ett brød koster — de 4000 kronene i faste kostnader er allerede betalt, og de er ikke med i endringen.

a) Fra 2021 til 2024 er $\Delta x = 2024 - 2021 = 3$ år.

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{21{,}3 - 12{,}5}{2024 - 2021}$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{8{,}8}{3} \approx 2{,}93$$

Omsetningen har vokst med i gjennomsnitt $2{,}93$ millioner kroner per år.

b) Fra 2023 til 2024 er $\Delta x = 1$ år.

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{21{,}3 - 17{,}0}{2024 - 2023} = \frac{4{,}3}{1} = 4{,}3$$

Omsetningen vokste med $4{,}3$ millioner kroner det siste året.

c) Det siste året vokste omsetningen nesten halvannen gang så fort som gjennomsnittet for hele perioden ($4{,}3$ mot $2{,}93$). Veksten er altså ikke jevn — den tiltar.

Gjennomsnittlig vekstfart trekker ÉN rett strek fra første til siste punkt og ser bort fra alt imellom. Det siste året vokste omsetningen nesten halvannen gang så fort som snittet for hele perioden.

Svar: a) $2{,}93$ mill. kr per år, b) $4{,}3$ mill. kr per år, c) veksten tiltar mot slutten av perioden.

NB: Den gjennomsnittlige vekstfarten sier ingenting om hva som skjedde underveis. Den trekker én rett strek fra første til siste punkt og ser bort fra alt imellom. Det er både styrken og svakheten ved den.

a) Vi regner ut funksjonsverdiene:

$$E(20) = 500 - 8 \cdot 20 = 500 - 160 = 340$$
$$E(35) = 500 - 8 \cdot 35 = 500 - 280 = 220$$

Så setter vi inn:

$$\frac{\Delta E}{\Delta p} = \frac{E(35) - E(20)}{35 - 20} = \frac{220 - 340}{15} = \frac{-120}{15} = -8$$

Etterspørselen synker med $8$ enheter per krone prisen settes opp.

b) Samme framgangsmåte:

$$E(35) = 220 \qquad E(60) = 500 - 8 \cdot 60 = 500 - 480 = 20$$
$$\frac{\Delta E}{\Delta p} = \frac{20 - 220}{60 - 35} = \frac{-200}{25} = -8$$

c) Vi får $-8$ begge ganger. Det er ingen tilfeldighet: $E$ er en lineær funksjon, $E(p) = 500 - 8p$, og stigningstallet er $-8$.

For en lineær funksjon er den gjennomsnittlige vekstfarten lik stigningstallet — uansett hvilket intervall vi velger. Grafen er en rett linje, og en rett linje heller like mye overalt.

For en lineær funksjon er den gjennomsnittlige vekstfarten lik stigningstallet — $-8$ — uansett hvilket intervall vi velger. Sekantene ER linja.

Svar: a) $-8$ enheter per krone, b) $-8$ enheter per krone, c) $E$ er lineær, så vekstfarten er lik stigningstallet $-8$ i alle intervaller.

a) Vi regner ut de to funksjonsverdiene:

$$I(100) = 90 \cdot 100 - 0{,}1 \cdot 100^2 = 9000 - 0{,}1 \cdot 10\,000 = 9000 - 1000 = 8000$$
$$I(300) = 90 \cdot 300 - 0{,}1 \cdot 300^2 = 27\,000 - 0{,}1 \cdot 90\,000 = 27\,000 - 9000 = 18\,000$$

Så inn i formelen:

$$\frac{\Delta I}{\Delta x} = \frac{18\,000 - 8000}{300 - 100} = \frac{10\,000}{200} = 50$$

Inntekten øker med i gjennomsnitt $50$ kroner per enhet på dette intervallet.

b) Sekanten er en rett linje, $y = ax + b$. Stigningstallet fant vi i a):

$$a = 50$$

Linja går gjennom $(100,\ 8000)$. Vi setter inn og løser for $b$:

$$8000 = 50 \cdot 100 + b$$
$$8000 = 5000 + b \qquad | -5000$$
$$b = 3000$$

Kontroll (den har et poeng her — den avslører feil fortegn og feil punkt): setter vi $x = 300$ inn i sekanten, skal vi få $18\,000$.

$$50 \cdot 300 + 3000 = 15\,000 + 3000 = 18\,000$$

Det stemmer.

Svar: a) $50$ kroner per enhet. b) $y = 50x + 3000$.

Se på figuren under: sekanten ligger under kurven mellom de to punktene. Det betyr at inntekten faktisk vokste raskere enn 50 kr per enhet i begynnelsen av intervallet og saktere mot slutten. Gjennomsnittet jevner det ut.

a) Legg månedene i kolonne A og kostnadene i kolonne B, med januar i rad 2. I celle C3 skriver vi

=(B3-B2)/1

og fyller nedover til C7. Nevneren er $1$ fordi det er én måned mellom hver rad. (Den kunne vært droppet, men det er verdt å ha den med — da ser du formelen du faktisk bruker, og den tåler at du senere hopper over en måned.)

Regnearket gir:

Overgang	jan → feb	feb → mar	mar → apr	apr → mai	mai → jun
kr per måned	$-430$	$-880$	$-870$	$-660$	$-440$

b) Det største fallet er $-880$ kroner per måned, fra februar til mars.
c) Fra januar til juni er $\Delta x = 5$ måneder:

$$\frac{\Delta K}{\Delta x} = \frac{1540 - 4820}{5} = \frac{-3280}{5} = -656$$

Gjennomsnittet for halvåret, $-656$ kr per måned, finnes ikke i noen enkeltmåned. Det er nettopp poenget med et gjennomsnitt — og grunnen til at vi trenger noe som måler endringen i ett bestemt øyeblikk.

Svar: a) se tabellen, b) fra februar til mars, med $-880$ kroner per måned, c) $-656$ kroner per måned.

NB: Gjennomsnittet for hele halvåret, $-656$, finnes ikke i noen enkeltmåned. Det er nettopp poenget med et gjennomsnitt — og grunnen til at vi i 6.2 trenger noe som måler endringen i ett bestemt øyeblikk.