7.4 Konsument- og produsentoverskot | Matematikk for økonomi

Overskot som areal, og kva som skjer når prisen flyttar seg.

45 min

6 oppgaver

KonsumentoverskotProdusentoverskot

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Kva tener partane på handelen?

I marknadskrysset frå kapittel 7.3 låg likevektsprisen på 80 — og der var prisane i hundre kroner, altså 8000 kr per panel. Men etterspurnadskurva fortel at nokre kjøparar var viljuge til å betale 120 (12 000 kr), og andre 100 (10 000 kr). Dei fekk panelet for 8000 kr — og sparte altså pengar.

På same måte var det seljarar som hadde selt for 20 eller 50. Dei fekk 80, og tente meir enn dei trong.

Denne vinninga ved å handle kan vi måle. Og fordi vinninga per eining varierer frå eining til eining, blir den samla vinninga eit areal mellom to kurver.

Er kurvene rette linjer — og det er dei i dei fleste oppgåvene — er området ein trekant eller eit trapes, og då held formlane du kan frå før. Er ei av kurvene krum, lèt vi eit digitalt verktøy måle arealet.

Konsumentoverskot og produsentoverskot

x^{*}

✏️Døme 1: Overskot som trekantar

I marknaden for solcellepanel frå kapittel 7.3 er

$p(x) = 120 - 0{,}4x \qquad \text{og} \qquad T(x) = 20 + 0{,}6x$

med likevekta $x^{*} = 100$ og $p^{*} = 80$ . Som i kapittel 7.3 er prisane i hundre kroner.

Begge kurvene er rette linjer. Finn KO og PO.

Kva veit vi? Begge kurvene er rette linjer, og likevekta er

(100, 80)

Vi reknar i sjølve likevekta, og der møter begge kurvene prislinja i høgre ende. Den høgre sida i trapeset er altså null, og begge områda er trekantar:

$A = \frac{g \cdot h}{2}$

Konsumentoverskotet. Trekanten har hjørna $(0, 80)$ , $(0, 120)$ og $(100, 80)$ :

- Grunnlinja er den stipla prislinja: $g = 100$
- Høgda er avstanden opp til $p(0)$ : $h = 120 - 80 = 40$

$\text{KO} = \frac{g \cdot h}{2}$
$\text{KO} = \frac{100 \cdot 40}{2}$
$\text{KO} = \frac{4000}{2}$
$\text{KO} = 2000$

Produsentoverskotet. Trekanten har hjørna $(0, 80)$ , $(0, 20)$ og $(100, 80)$ :

- Grunnlinja er den same: $g = 100$
- Høgda er avstanden ned til $T(0)$ : $h = 80 - 20 = 60$

$\text{PO} = \frac{100 \cdot 60}{2}$
$\text{PO} = \frac{6000}{2}$
$\text{PO} = 3000$

Eininga. Prisane er i hundre kroner, og mengda er eit tal på panel. Areala er difor også i hundre kroner, og vi gongar med 100 for å få kroner:

$2000 \cdot 100 = 200\,000$
$3000 \cdot 100 = 300\,000$

Svar: Konsumentoverskotet er 2000, altså 200 000 kr, og produsentoverskotet 3000, altså 300 000 kr. Til saman gir handelen ei vinning på 5000, det vil seie 500 000 kr.

NB: Rekn i dei einingane kurvene er gitt i, og gjer om til kroner heilt til slutt. Gjer du om undervegs, må du hugse at begge aksane er med i eit areal — og då er det lett å gonge med 100 éin gong for mykje.

NB: Legg merke til at kjøparane og seljarane ikkje får like mykje. Seljarane får mest her, fordi tilbodskurva er brattare enn etterspurnadskurva — avstanden frå likevektsprisen ned til $T(0)$ er større enn avstanden opp til $p(0)$ .

📝Oppgave 7.4.1

I kakemarknaden frå oppgåve 7.3.1 er $p(x) = 60 - 0{,}5x$ og $T(x) = 10 + 0{,}5x$ , med likevekt i $x^{*} = 50$ og $p^{*} = 35$ (kroner).

Kva er $p(0)$ og $T(0)$ (i kroner)?

Finn høgda i KO-trekanten (i kroner).

Rekn ut konsumentoverskotet (i kroner).

Rekn ut produsentoverskotet (i kroner).

Kvifor blir KO og PO nøyaktig like store i denne marknaden?

Løs oppgaven

Når ei av kurvene er krum

Trekant- og trapesformelen verkar berre når kurvene er rette linjer. Er éi av dei krum, har området ein boge som side, og då finst det ingen enkel arealformel.

Då lèt vi eit digitalt verktøy måle arealet. I GeoGebra gjer kommandoen

Integral(f, a, b)

nettopp det: han måler arealet mellom grafen til $f$ og førsteaksen frå $x = a$ til $x = b$ .

Trikset er å la $f$ vere differansen mellom dei to kurvene. Då er avstanden frå grafen ned til førsteaksen akkurat like stor som avstanden mellom kurva og prislinja — og arealet blir konsument- eller produsentoverskotet.

Det lønner seg å lære kommandoen på ein marknad vi alt kan svaret på. Då ser vi at dei to vegane gir det same.

✏️Døme 2 (Del 2): Den same marknaden med digitalt verktøy

Kontroller svara frå døme 1 med GeoGebra.

$p(x) = 120 - 0{,}4x \qquad \text{og} \qquad T(x) = 20 + 0{,}6x$

Likevekta er $x^{*} = 100$ og $p^{*} = 80$ .

Vi legg først inn dei to kurvene:

p(x)=120-0.4x
T(x)=20+0.6x

Konsumentoverskotet. Vi ber om arealet under differansen $p(x) - 80$ mellom kurva og likevektsprisen, frå 0 til likevektskvantumet 100:

Integral(p(x)-80, 0, 100)

GeoGebra svarer $2000$ .

Produsentoverskotet. Same kommando, med differansen den andre vegen:

Integral(80-T(x), 0, 100)

GeoGebra svarer $3000$ .

Svar: $\text{KO} = 2000$ og $\text{PO} = 3000$ , altså 200 000 kr og 300 000 kr — nøyaktig som med trekantformelen i døme 1.

NB: Grensene er alltid 0 og den mengda som faktisk blir omsett. Det er difor vi finn likevekta — eller den regulerte mengda — først.

NB: Legg merke til at vi skreiv inn differansen, ikkje sjølve kurva. Kommandoen Integral(p(x), 0, 100) gir 10 000: arealet heilt ned til førsteaksen. Det er noko anna, og mykje større.

Kommandoen Integral(f, a, b) har eit matematisk namn: han reknar ut det bestemte integralet

$\int_{a}^{b} f(x)\,dx$

Talet er arealet mellom grafen til $f$ og førsteaksen frå $x = a$ til $x = b$ . Teiknet $\int$ er ein langstrekt S og står for sum: vi tenkjer oss området delt opp i svært mange, svært tynne søyler, og legg areala saman.

For hand reknar vi det ut ved å finne ein funksjon som har $f$ som den deriverte sin, setje inn den øvre grensa, og trekkje frå det same med den nedre. For marknaden i døme 1 blir det slik:

$\text{KO} = \int_{0}^{100} (120 - 0{,}4x - 80)\,dx$
$\text{KO} = \int_{0}^{100} (40 - 0{,}4x)\,dx$
$\text{KO} = \Big[\, 40x - 0{,}4 \cdot \frac{x^2}{2} \,\Big]_{0}^{100}$
$\text{KO} = \Big[\, 40x - 0{,}2x^2 \,\Big]_{0}^{100}$
$\text{KO} = \big(40 \cdot 100 - 0{,}2 \cdot 100^2\big) - \big(40 \cdot 0 - 0{,}2 \cdot 0^2\big)$
$\text{KO} = (4000 - 2000) - 0$
$\text{KO} = 2000$

Dette er fordjupingsstoff. Integralrekning for hand blir ikkje brukt elles i boka. Trekantformelen, trapesformelen og kommandoen Integral(f, a, b) dekkjer alt du treng i kapittel 7.4. Rekninga står her fordi ho forklarer kva verktøyet gjer — og fordi du møter henne igjen dersom du vel matematikk R2 eller studerer økonomi vidare.

📝Oppgave 7.4.2

I verktøymarknaden frå oppgåve 7.3.2 er $p(x) = 200 - 2x$ og $T(x) = 50 + x$ (kroner), med likevekt i $x^{*} = 50$ og $p^{*} = 100$ .

Vis at høgda i KO-trekanten er 100 kr.

Rekn ut konsumentoverskotet (i kroner).

Vis at høgda i PO-trekanten er 50 kr.

Rekn ut produsentoverskotet (i kroner).

Kontroller begge svara med GeoGebra.

Løs oppgaven

✏️Døme 3 (Del 2): Når etterspurnadskurva er krum

I ein marknad for ein ny type varmepumpe er

$p(x) = 100 - 0{,}03x^2 \qquad \text{og} \qquad T(x) = 20 + 0{,}8x$

der prisane er i tusen kroner.

a) Finn likevekta.

b) Finn konsumentoverskotet.

c) Finn produsentoverskotet.

a) Vi set kurvene lik kvarandre:

$100 - 0{,}03x^2 = 20 + 0{,}8x$

Vi flyttar alt over på éi side:

$0 = 0{,}03x^2 + 0{,}8x - 80$

Dette er ei andregradslikning. Med $a = 0{,}03$ , $b = 0{,}8$ og $c = -80$ gir abc-formelen

$x = \frac{-0{,}8 \pm \sqrt{0{,}8^2 - 4 \cdot 0{,}03 \cdot (-80)}}{2 \cdot 0{,}03}$
$x = \frac{-0{,}8 \pm \sqrt{0{,}64 + 9{,}6}}{0{,}06}$
$x = \frac{-0{,}8 \pm \sqrt{10{,}24}}{0{,}06}$
$x = \frac{-0{,}8 \pm 3{,}2}{0{,}06}$

Det gir $x = 40$ eller $\displaystyle x = -\frac{4}{0{,}06} \approx -66{,}7$ .

Eit tal på varmepumper kan ikkje vere negativt, så vi forkastar den negative løysinga.

$p(40) = 100 - 0{,}03 \cdot 40^2 = 100 - 0{,}03 \cdot 1600 = 100 - 48 = 52$

Kontroll: $T(40) = 20 + 0{,}8 \cdot 40 = 20 + 32 = 52$ .

Svar: Likevektskvantumet er 40 varmepumper og likevektsprisen 52 (altså 52 000 kr).

b) Etterspurnadskurva er ikkje ei rett linje, så området har ein boge som side. Trekantformelen verkar ikkje, og vi lèt GeoGebra måle arealet mellom $p(x)$ og prislinja $p = 52$ :

p(x)=100-0.03x^2
Integral(p(x)-52, 0, 40)

GeoGebra svarer $1280$ .

Svar: Konsumentoverskotet er 1280, altså 1 280 000 kr.

c) Tilbodskurva er ei rett linje, og vi er i likevekt, så området er ein trekant. Grunnlinja er 40, og høgda er avstanden ned til $T(0)$ :

$h = 52 - 20 = 32$
$\text{PO} = \frac{40 \cdot 32}{2}$
$\text{PO} = \frac{1280}{2}$
$\text{PO} = 640$

Kontroll i GeoGebra: Integral(52-(20+0.8x), 0, 40) gir 640.

Konsumentoverskotet har ein boge som side, og då sviktar trekantformelen — arealet må reknast med integral. Produsentoverskotet er framleis ein trekant, fordi tilbodskurva er rett.

Svar: Produsentoverskotet er 640, altså 640 000 kr. Samla overskot i marknaden er $1280 + 640 = 1920$ , altså 1 920 000 kr.

NB: Legg merke til at vi berre brukte verktøyet der vi måtte. Er den eine kurva rett, reknar vi den delen for hand — det går fortare, og det gir ein kontroll på at verktøyet vart mata rett.

📝Oppgave 7.4.3

I ein marknad er

$p(x) = 80 - 0{,}05x^2 \qquad \text{og} \qquad T(x) = 20 + 0{,}5x$

der prisane er i kroner. Bruk digitalt verktøy der kurva er krum.

Vis at likevektskvantumet er 30.

Finn likevektsprisen (i kroner).

Rekn ut konsumentoverskotet (i kroner).

Rekn ut produsentoverskotet (i kroner).

Kva for ein av dei to partane tener mest på handelen i denne marknaden, og kvifor?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7.4.4

I ein marknad er begge kurvene krumme:

$p(x) = 120 - 0{,}02x^2 \qquad \text{og} \qquad T(x) = 20 + 0{,}03x^2$

der prisane er i kroner. Likevekta finn du for hand; overskota måler du med digitalt verktøy.

Finn likevektskvantumet eksakt.

Finn likevektsprisen (i kroner).

Rekn ut konsumentoverskotet med digitalt verktøy. Rund av til næraste heile krone.

Rekn ut produsentoverskotet med digitalt verktøy. Rund av til næraste heile krone.

Forklar kvifor du ikkje kunne ha brukt trekant- eller trapesformelen her.

Løs oppgaven

Når prisen ikkje får vere i likevekt

Nokre gonger bestemmer styresmaktene prisen. Ein minstepris (prisgolv) hindrar prisen i å falle under eit bestemt nivå, ein maksimalpris (pristak) hindrar han i å stige over eit nivå.

Då blir det ikkje lenger handla $x^{*}$ einingar. Det blir handla den minste av dei to mengdene:

- Ved minstepris over likevekt vil seljarane selje mykje, men kjøparane kjøpe lite. Det er etterspurnaden som bestemmer kor mykje som faktisk blir omsett.
- Ved maksimalpris under likevekt vil kjøparane kjøpe mykje, men seljarane selje lite. Det er tilbodet som bestemmer.

Begge delar gjer det samla overskotet mindre. Skilnaden blir kalla dødvektstapet — vinninga av dei handlane som aldri blir gjennomførte.

NB: No er det berre éi av kurvene som treffer prislinja der området sluttar. Det området blir ein trekant som før, medan det andre får to loddrette sider og blir eit trapes.

✏️Døme 4: Ein minstepris og dødvektstapet

I marknaden for solcellepanel frå døme 1 er $p(x) = 120 - 0{,}4x$ og $T(x) = 20 + 0{,}6x$ , med likevekt i 100 panel til prisen 80 (altså 8000 kr per panel). Prisane er i hundre kroner.

Styresmaktene innfører ein minstepris på 90, altså 9000 kr per panel.

a) Kor mange panel blir omsette?

b) Finn KO og PO med den nye prisen.

c) Kor stort er dødvektstapet?

a) Ved prisen 90 vil kjøparane berre kjøpe så mykje som etterspurnadskurva tillèt. Vi løyser

p(x) = 90

$120 - 0{,}4x = 90 \qquad | \; - 120$
$-0{,}4x = -30 \qquad | \; : (-0{,}4)$
$x = 75$

Seljarane ville gjerne ha selt meir — vi løyser $T(x) = 90$ og får $\displaystyle x = \frac{350}{3} \approx 116{,}7$ — men dei får ikkje selt meir enn kjøparane vil ha.

Svar: 75 panel blir omsette.

b) No er prisen 90 og den omsette mengda 75.

Konsumentoverskotet. Ved $x = 75$ er $p(75) = 90$ — etterspurnadskurva treffer prislinja akkurat der området sluttar. Den høgre sida er null, så området er ein trekant:

- Grunnlinja: $g = 75$
- Høgda: $h = p(0) - 90 = 120 - 90 = 30$

$\text{KO} = \frac{g \cdot h}{2}$
$\text{KO} = \frac{75 \cdot 30}{2}$
$\text{KO} = \frac{2250}{2}$
$\text{KO} = 1125$

Produsentoverskotet. Tilbodskurva treffer ikkje prislinja ved $x = 75$ : der er $T(75) = 65$ , og det er framleis 25 opp til 90. Området har to loddrette sider, og er difor eit trapes:

- Venstre side: $a = 90 - T(0) = 90 - 20 = 70$
- Høgre side: $b = 90 - T(75) = 90 - 65 = 25$
- Breidda: $h = 75$

$\text{PO} = \frac{a + b}{2} \cdot h$
$\text{PO} = \frac{70 + 25}{2} \cdot 75$
$\text{PO} = \frac{95}{2} \cdot 75$
$\text{PO} = 47{,}5 \cdot 75$
$\text{PO} = 3562{,}5$

Svar: Konsumentoverskotet er 1125 (112 500 kr) mot 2000 (200 000 kr) før, og produsentoverskotet 3562,5 (356 250 kr) mot 3000 (300 000 kr) før.

c) Vi samanliknar dei samla overskota:

$\text{før: } 2000 + 3000 = 5000$
$\text{etter: } 1125 + 3562{,}5 = 4687{,}5$
$5000 - 4687{,}5 = 312{,}5$

Vi kan også rekne tapet direkte som ein trekant. Han ligg mellom $x = 75$ og $x = 100$ , og høgda er avstanden mellom kurvene ved $x = 75$ :

$p(75) = 120 - 30 = 90 \qquad T(75) = 20 + 45 = 65$
$h = 90 - 65 = 25 \qquad g = 100 - 75 = 25$
$\text{Dødvektstap} = \frac{25 \cdot 25}{2} = 312{,}5$

Med minstepris sluttar området der ETTERSPURNADSKURVA treffer prislinja: då blir KO ein trekant og PO eit trapes. Den grå trekanten er dødvektstapet — verdi som korkje kjøpar eller seljar får.

Svar: Dødvektstapet er 312,5 — altså 31 250 kr.

NB: Seljarane tente på minsteprisen (PO gjekk opp med 562,5, altså 56 250 kr), kjøparane tapte (KO gjekk ned med 875, altså 87 500 kr). Tapet til kjøparane er større enn vinninga til seljarane, og differansen på 31 250 kr forsvinn ut av marknaden — ingen får han. Det er verdien av dei 25 panela som kjøparar og seljarar var samde om å handle, men som reguleringa stansa.

NB: Legg merke til at det eine området vart ein trekant og det andre eit trapes. Sjå alltid etter kva kurve som treffer prislinja der området sluttar — det er ho som gir sida null.

Oppsummering

Storleik	Området	I likevekt (trekant)
Konsumentoverskot	mellom etterspurnadskurva og prislinja	$\dfrac{x^{}\big(p(0) - p^{}\big)}{2}$
Produsentoverskot	mellom prislinja og tilbodskurva	$\dfrac{x^{}\big(p^{} - T(0)\big)}{2}$

Er prisen regulert, blir den omsette mengda mindre enn

x^{*}

, og det eine området får to loddrette sider. Då brukar vi trapesformelen

\displaystyle A = \frac{a + b}{2} \cdot h

.
Slik reknar du:
1. Finn prisen og den mengda som faktisk blir omsett — utan dei har du ingen grenser.

2. Teikn området, og sjå om den høgre sida er null. Er ho det, er området ein trekant; elles eit trapes.

3. Set inn i formelen, og rekn ut.

4. Er ei av kurvene krum, lèt du Integral(f, a, b) måle arealet — med differansen mellom kurva og prislinja som $f$ .
5. Sjekk eininga til slutt. Er prisane i hundre eller tusen kroner, er arealet det også.
Fordelinga mellom partane blir bestemd av kor bratte kurvene er. Det følgjer av dei to radene i tabellen: begge trekantane har same grunnlinje $x^{*}$ og same halvering, så dei blir forkorta bort når vi set areala opp mot kvarandre, og berre dei loddrette sidene blir att:
$\text{KO} : \text{PO} = \big(p(0) - p^{*}\big) : \big(p^{*} - T(0)\big)$
Den parten som har den brattaste kurva, sit att med det største overskotet.

📝Oppgave 7.4.5

I marknaden for ein type lyspære er $p(x) = 150 - 0{,}5x$ og $T(x) = 30 + 0{,}25x$ (kroner). Styresmaktene innfører ein maksimalpris på 60 kr.

Finn likevekta utan regulering, og rekn ut KO og PO.

Kor mange pærer blir omsette ved maksimalprisen på 60 kr?

Kor stor blir mangelen (skilnaden mellom etterspurd og tilboden mengd)?

Rekn ut KO og PO etter reguleringa.

Drøft: kven vinn og kven tapar på maksimalprisen, og kor stort er dødvektstapet?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7.4.6

To marknader har kvar sine kurver (prisane er i kroner):

Marknad A: $p(x) = 100 - x$ og $T(x) = 20 + 0{,}25x$

Marknad B: $p(x) = 100 - 0{,}25x$ og $T(x) = 20 + x$

Vis at begge marknadene har likevektskvantum 64.

Finn likevektsprisen i kvar marknad (i kroner).

Rekn ut KO og PO i marknad A (i kroner).

Rekn ut KO og PO i marknad B (i kroner).

Drøft kva samanlikninga viser om kven som tener mest på ein marknad.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.