7.3 Tilbod, etterspurnad og marknadskryss

Kva veit vi? Dei to kurvene $p(x)$ og $T$.

Kva må vi finne? Den $x$-verdien der dei er like store.

Vi set kurvene lik kvarandre:

$$p(x) = T(x)$$
$$120 - 0{,}4x = 20 + 0{,}6x$$

Vi samlar ledda med $x$ på høgre side og tala på venstre:

$$120 - 0{,}4x = 20 + 0{,}6x \qquad | \; + 0{,}4x$$
$$120 = 20 + x \qquad | \; - 20$$
$$100 = x$$

Likevektskvantumet er $x^{*} = 100$ panel.

Prisen finn vi ved å setje inn i ei av kurvene:

$$p(100) = 120 - 0{,}4 \cdot 100 = 120 - 40 = 80$$

Vi kontrollerer med den andre:

$$T(100) = 20 + 0{,}6 \cdot 100 = 20 + 60 = 80$$

Begge gir 80, så rekninga stemmer.

Svar: Likevektskvantumet er 100 panel per dag, og likevektsprisen er 80 (altså 8000 kr per panel).

b) $p(0) = 120$ er den prisen kjøparane er viljuge til å betale for det aller første panelet. Ingen vil betale meir enn 120 for eit panel — over den prisen er etterspurnaden null.

$T(0) = 20$ er den lågaste prisen nokon produsent er viljug til å selje for. Under 20 er det ingen som vil produsere i det heile.

Svar: Handel er berre mogleg i prisområdet mellom 20 og 120. Likevektsprisen 80 ligg inne i det området, slik han må.

$$90 - 0{,}2x = 30 + 0{,}1x \qquad | \; + 0{,}2x$$
$$90 = 30 + 0{,}3x \qquad | \; - 30$$
$$60 = 0{,}3x \qquad | \; : 0{,}3$$
$$x = 200$$

$$p(200) = 90 - 0{,}2 \cdot 200 = 90 - 40 = 50$$

Svar: Likevektskvantumet er 200 hjelmar og likevektsprisen 50 kr.

b) No kjenner vi prisen og skal finne mengdene. Då snur vi begge kurvene.

Etterspurd mengd: vi løyser $p(x) = 60$:

$$90 - 0{,}2x = 60 \qquad | \; - 90$$
$$-0{,}2x = -30 \qquad | \; : (-0{,}2)$$
$$x = 150$$

Tilboden mengd: vi løyser $T(x) = 60$:

$$30 + 0{,}1x = 60 \qquad | \; - 30$$
$$0{,}1x = 30 \qquad | \; : 0{,}1$$
$$x = 300$$

Svar: Ved 60 kr blir 150 hjelmar etterspurde, medan 300 hjelmar blir tilbodne.

c) Seljarane tilbyr 300 hjelmar, men berre 150 blir kjøpte:

$$300 - 150 = 150$$

Overskotstilbod er ein vassrett avstand: ved 60 kr vil kjøparane ha 150 hjelmar, medan seljarane tilbyr 300. Dei 150 som blir til overs, pressar prisen ned mot 50 kr.

Svar: Det blir eit overskotstilbod på 150 hjelmar. Dei blir ståande useld på lageret, og butikkane vil før eller sidan setje ned prisen. Prisen blir pressa mot 50 kr — likevektsprisen.

NB: Legg merke til kva vi gjorde i b). Når prisen er oppgitt og vi skal finne mengda, løyser vi ei likning som $p(x) = 60$ i staden for å setje inn.

$$\frac{1000}{x + 5} = 5 + 0{,}5x$$

Vi gongar begge sider med $x + 5$ (han er positiv når $x > 0$):

$$1000 = (5 + 0{,}5x)(x + 5)$$
$$1000 = 5x + 25 + 0{,}5x^2 + 2{,}5x$$
$$1000 = 0{,}5x^2 + 7{,}5x + 25$$

Vi flyttar alt over på éi side:

$$0{,}5x^2 + 7{,}5x - 975 = 0$$

og gongar med 2 for å få 1-talet framfor $x^2$:

$$x^2 + 15x - 1950 = 0$$

abc-formelen med $a = 1$, $b = 15$ og $c = -1950$:

$$x = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1950)}}{2 \cdot 1}$$
$$x = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 7800}}{2}$$
$$x = \frac{-15 \pm \sqrt{8025}}{2}$$
$$x = \frac{-15 \pm 89{,}58}{2}$$

Den negative løysinga forkastar vi — eit tal på einingar kan ikkje vere negativt. Den positive er

$$x = \frac{-15 + 89{,}58}{2} \approx 37{,}29$$

Alternativ (CAS):

p(x):=1000/(x+5)
T(x):=5+0.5x
Løs(p(x)=T(x), x)

CAS gir den eksakte løysinga $\displaystyle x = \frac{5\sqrt{321} - 15}{2} \approx 37{,}29$ — same tal.

Prisen finn vi ved å setje inn:

$$p(37{,}29) = \frac{1000}{37{,}29 + 5} \approx 23{,}65$$

Kontroll med den andre kurva:

$$T(37{,}29) = 5 + 0{,}5 \cdot 37{,}29 \approx 23{,}65$$

Svar: Marknadskrysset ligg ved om lag 37,3 einingar og ein pris på om lag 23,65 kr.

NB: Legg merke til at etterspurnadskurva her aldri treffer $x$-aksen — $\displaystyle \frac{1000}{x+5}$ er positiv uansett kor stor $x$ blir. Modellen seier altså at det alltid finst nokon som vil kjøpe, berre prisen er låg nok. Om det er rimeleg, ser vi nærmare på i kapittel 7.5.

$$T_{\text{ny}}(x) = 30 + 0{,}1x + 9 = 39 + 0{,}1x$$

Vi finn det nye marknadskrysset:

$$90 - 0{,}2x = 39 + 0{,}1x \qquad | \; + 0{,}2x$$
$$90 = 39 + 0{,}3x \qquad | \; - 39$$
$$51 = 0{,}3x \qquad | \; : 0{,}3$$
$$x = 170$$

$$p(170) = 90 - 0{,}2 \cdot 170 = 90 - 34 = 56$$

Svar: Den nye likevekta er 170 hjelmar til 56 kr.

b) Vi samanliknar med den gamle likevekta (200 hjelmar til 50 kr).

Kjøparen betalte 50 kr før og betaler 56 kr no:

$$56 - 50 = 6$$

Seljaren får 56 kr inn, men må betale 9 kr i avgift:

$$56 - 9 = 47$$

Seljaren sat att med 50 kr før og sit att med 47 kr no:

$$50 - 47 = 3$$

Kontroll: $6 + 3 = 9$, altså heile avgifta.

Avgifta på 9 kr flyttar heile tilbodskurva opp. Kjøparen betaler 6 kr meir enn før, seljaren sit att med 3 kr mindre — $6 + 3 = 9$. Fordelinga blir bestemd av kor bratte kurvene er, ikkje av kven som betaler inn.

Svar: Av avgifta på 9 kr ber kjøparen 6 kr og seljaren 3 kr. Staten får inn $9 \cdot 170 = 1530$ kr per dag.

NB: Avgifta vart ikkje betalt av den som sender pengane til staten. Kor mykje kvar part ber, blir bestemt av kor bratte kurvene er — ikkje av kven skjemaet står i namnet på.