7.2 Profitt som funksjon av pris eller kvantum | Matematikk for økonomi

Å maksimere profitt når pris, etterspurnad og kostnad er gitt ved funksjonar.

45 min

6 oppgaver

ProfittmaksimeringOptimering

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Kvar er profitten størst?

I kapittel 7.1 sette vi opp profittfunksjonen $O(x) = I(x) - K(x)$ og fann når bedrifta går i balanse. Men ei bedrift vil sjeldan berre unngå underskot — ho vil tene mest mogleg.

Då spør vi: kva $x$ gir den største verdien av $O(x)$ ?

Dette er eit optimeringsproblem, og verktøyet er derivasjon frå kapittel 6. Profitten veks så lenge $O'(x) > 0$ og søkk når $O'(x) < 0$ . I toppen snur det, og der er $O'(x) = 0$ .

I dette kapittelet gjer vi det same på to måtar: vi lèt kvantumet $x$ vere den frie variabelen, og vi lèt prisen $p$ vere den frie variabelen. Dei to spørsmåla har ikkje same svar.

📜Størst mogleg profitt

Profitten

O

har eit toppunkt der

$O'(x) = 0$

og $O'(x)$ skiftar frå positiv til negativ: profitten veks til venstre for punktet og søkk til høgre for det.

Slik gjer vi det:

1. Set opp $O(x) = I(x) - K(x)$ .
2. Deriver: finn $O'(x)$ .
3. Løys likninga $O'(x) = 0$ . Løysingane er kandidatar.
4. Forkast kandidatar som ligg utanfor gyldigheitsområdet (til dømes negative tal på einingar).
5. Forteiknslinje: finn forteiknet til $O'$ på kvar side av kandidaten. Går det frå pluss til minus, har vi eit toppunkt — altså størst profitt, ikkje minst.
6. Rekn ut $O$ i kandidaten, og svar i heile setningar med nemning.

NB: Forteiknslinja er ikkje pynt. At $O'(x) = 0$ tyder berre at grafen flatar ut — det kan like gjerne vere eit botnpunkt. Utan forteiknet til $O'$ på kvar side veit vi ikkje om vi har funne det beste eller det verste punktet.

Alternativ (dobbeltderivert): Er $O''$ negativ i kandidaten, er punktet eit toppunkt.

✏️Døme 1: Størst profitt ved gitt kvantum

Mikrobryggeriet frå kapittel 7.1 har profittfunksjonen

$O(x) = -0{,}2x^2 + 180x - 5000$

der $x$ er talet på kassar øl per veke og $O(x)$ er i kroner.

Kor mange kassar bør bryggeriet produsere per veke for å tene mest mogleg, og kor stor blir profitten då?

Kva veit vi? Profittfunksjonen

O(x) = -0{,}2x^2 + 180x - 5000

Kva må vi finne? Den $x$ -verdien som gir størst $O(x)$ .

Deriver. Vi deriverer ledd for ledd:

$O'(x) = -0{,}2 \cdot 2x + 180$
$O'(x) = -0{,}4x + 180$

Løys $O'(x) = 0$ .

$-0{,}4x + 180 = 0 \qquad | \; - 180$
$-0{,}4x = -180 \qquad | \; : (-0{,}4)$
$x = 450$

Gyldigheitsområdet. Bryggeriet kan ikkje produsere eit negativt tal på kassar, så vi treng $x > 0$ . Kandidaten $x = 450$ er gyldig.

Forteiknslinje. Vi faktoriserer den deriverte:

$O'(x) = -0{,}4x + 180 = -0{,}4(x - 450)$

Faktoren $-0{,}4$ er negativ overalt. Faktoren $(x - 450)$ er negativ til venstre for 450 og positiv til høgre. Produktet $O'(x)$ er difor positivt for $x < 450$ og negativt for $x > 450$ (sjå linja under løysinga). Profitten veks fram til 450 kassar og søkk etterpå, så $x = 450$ er eit toppunkt — vi har funne størst profitt og ikkje minst.

Alternativ (dobbeltderivert): $O''(x) = -0{,}4 < 0$ for alle $x$ , altså toppunkt.

Rekn ut profitten.

$O(450) = -0{,}2 \cdot 450^2 + 180 \cdot 450 - 5000$
$O(450) = -0{,}2 \cdot 202\,500 + 81\,000 - 5000$
$O(450) = -40\,500 + 81\,000 - 5000$
$O(450) = 35\,500$

Svar: Bryggeriet bør produsere 450 kassar i veka. Då blir profitten 35 500 kr per veke.

NB: I kapittel 7.1 fann vi i ein tabell at 450 kassar gav den største verdien blant $0, 50, 100, \ldots$ Derivasjonen gir det same svaret — men no veit vi at det er det aller største, ikkje berre det største i tabellen.

Forteiknslinje for O'(x) = -0,4(x - 450)

x-linje

450

-0,4

(x-450)

O'(x)

📝Oppgave 7.2.1

Ei bedrift har profittfunksjonen $O(x) = -0{,}1x^2 + 60x - 4000$ kroner, der $x$ er talet på einingar per månad.

Finn $O'(x)$ .

Kva tal på einingar gir størst profitt?

Vis med forteiknslinje at du har funne eit toppunkt.

Kor stor er den største profitten (i kroner)?

Kva fortel $O(0) = -4000$ om bedrifta?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7.2.2

Ein snikkarverkstad har kostnadene $K(x) = 0{,}25x^2 + 30x + 1200$ kroner ved å lage $x$ krakkar i månaden. Kvar krakk blir seld for 130 kr.

Set opp $I(x)$ .

Vis at $O(x) = -0{,}25x^2 + 100x - 1200$ .

Kor mange krakkar gir størst profitt?

Kor stor er den største profitten (i kroner)?

Rekn ut $O(150)$ og $O(250)$ . Kva legg du merke til?

Løs oppgaven

Når prisen er den frie variabelen

Hittil har vi late bedrifta bestemme kor mykje ho skal produsere, og gått ut frå at alt blir selt til ein fast pris. Ofte er det motsett: bedrifta bestemmer prisen, og marknaden bestemmer kor mykje som blir selt.

Set butikken prisen høgt, sel han få. Set han prisen lågt, sel han mange. Samanhengen mellom pris og sal kallar vi etterspurnaden.

Etterspurnadsfunksjonen

q(p)

✏️Døme 2: Prisen som gir størst inntekt — og prisen som gir størst profitt

Ein nettbutikk sel ein ryggsekk. Salet per veke avheng av prisen

p

(i kroner) slik:

$q(p) = 2000 - 20p$

Butikken betaler 20 kr til leverandøren for kvar ryggsekk han sel, og har ingen andre kostnader.

a) Finn prisen som gir størst inntekt.

b) Finn prisen som gir størst profitt.

c) Samanlikn dei to svara.

a) Inntekta er pris gonger tal:

$I(p) = p \cdot q(p)$
$I(p) = p(2000 - 20p)$
$I(p) = 2000p - 20p^2$

Vi deriverer og set lik null:

$I'(p) = 2000 - 40p$
$2000 - 40p = 0 \qquad | \; + 40p$
$2000 = 40p \qquad | \; : 40$
$p = 50$

Forteiknslinje: $I'(p) = -40(p - 50)$ er positiv for $p < 50$ og negativ for $p > 50$ , altså toppunkt.

$I(50) = 2000 \cdot 50 - 20 \cdot 50^2 = 100\,000 - 50\,000 = 50\,000$

Svar: Prisen 50 kr gir størst inntekt, 50 000 kr per veke. Då blir det selt $q(50) = 2000 - 1000 = 1000$ ryggsekker.

b) No må vi trekkje frå kostnadene. Butikken betaler 20 kr per seld ryggsekk, og talet på selde er $q(p)$ :

$K(p) = 20 \cdot q(p)$
$K(p) = 20(2000 - 20p)$
$K(p) = 40\,000 - 400p$

$O(p) = I(p) - K(p)$
$O(p) = 2000p - 20p^2 - (40\,000 - 400p)$
$O(p) = 2000p - 20p^2 - 40\,000 + 400p$
$O(p) = -20p^2 + 2400p - 40\,000$

Vi deriverer og set lik null:

$O'(p) = -40p + 2400$
$-40p + 2400 = 0$
$p = 60$

Forteiknslinje: $O'(p) = -40(p - 60)$ er positiv for $p < 60$ og negativ for $p > 60$ , altså toppunkt.

$O(60) = -20 \cdot 60^2 + 2400 \cdot 60 - 40\,000$
$O(60) = -72\,000 + 144\,000 - 40\,000$
$O(60) = 32\,000$

Svar: Prisen 60 kr gir størst profitt, 32 000 kr per veke. Då blir det selt $q(60) = 2000 - 1200 = 800$ ryggsekker.

c) Prisen som gir størst profitt (60 kr), er høgare enn prisen som gir størst inntekt (50 kr).

Grunnen er at kvar ryggsekk kostar butikken 20 kr. Ved 50 kr sel han 200 fleire sekker enn ved 60 kr, men dei 200 ekstra sekkene kostar også pengar å skaffe. Inntekta blir større, men det som blir att, blir mindre:

$O(50) = -20 \cdot 2500 + 2400 \cdot 50 - 40\,000 = 30\,000$

Koordinatsystem med pris p frå 0 til 110 kroner og kroner per veke frå 0 til 60000. Ein blå parabel merkt I av p har toppunkt i det markerte punktet (50, 50000). Ein lågare grøn parabel merkt O av p har toppunkt i det markerte punktet (60, 32000). Stipla hjelpelinjer går frå begge toppunkta ned til prisaksen ved 50 og 60.

Toppunktet i profitten ligg til HØGRE for toppunktet i inntekta: butikken bør ta 60 kr, ikkje 50. Å jage størst mogleg omsetnad er ikkje det same som å tene mest.

Svar: Butikken bør ta 60 kr. Å jage størst mogleg omsetnad er ikkje det same som å tene mest mogleg.

📝Oppgave 7.2.3

Ei bedrift sel hovudtelefonar. Talet på selde per veke ved prisen

p

kroner er

$q(p) = 800 - 4p$

Kvart par kostar bedrifta 50 kr i innkjøp.

Vis at $I(p) = 800p - 4p^2$ .

Kor stor blir inntekta dersom prisen blir sett til 40 kr (i kroner)?

Kva pris gir størst inntekt (i kroner)?

Vis at $O(p) = -4p^2 + 1000p - 40\,000$ , og finn prisen som gir størst profitt (i kroner).

Kor mange par blir selde ved kvar av dei to prisane, og kor stor blir profitten ved den beste prisen?

Løs oppgaven

Minste einingskostnad

Eit anna spørsmål bedrifter stiller, er: ved kva produksjonsmengd produserer vi mest mogleg effektivt? Då leitar vi ikkje etter størst profitt, men etter minst einingskostnad — den produksjonsmengda der kvar eining kostar minst mogleg å lage.

Metoden er den same, men no leitar vi etter eit botnpunkt: $K_e'(x) = 0$ , og $K_e'$ skiftar frå minus til pluss.

✏️Døme 3 (Del 2): Minste einingskostnad

Gartneriet frå kapittel 7.1 har kostnadene

$K(x) = 0{,}5x^2 + 60x + 9000$

kroner per veke ved $x$ kassar tomatar.

a) Finn produksjonsmengda som gir minst einingskostnad, og kor stor einingskostnaden er då.

b) Tomatane blir selde for 300 kr per kasse. Finn produksjonsmengda som gir størst profitt, og samanlikn med a).

a) Einingskostnaden er kostnaden delt på talet på einingar:

$K_e(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{0{,}5x^2 + 60x + 9000}{x}$
$K_e(x) = 0{,}5x + 60 + \frac{9000}{x}$

Vi skriv om til potensform og deriverer:

$K_e(x) = 0{,}5x + 60 + 9000x^{-1}$
$K_e'(x) = 0{,}5 - 9000x^{-2} = 0{,}5 - \frac{9000}{x^2}$

Så løyser vi $K_e'(x) = 0$ :

$0{,}5 - \frac{9000}{x^2} = 0$
$\frac{9000}{x^2} = 0{,}5$
$x^2 = \frac{9000}{0{,}5} = 18\,000$
$x = \sqrt{18\,000} = 60\sqrt{5} \approx 134{,}16$

(Den negative løysinga forkastar vi — talet på kassar må vere positivt.)

Alternativ (CAS):

K_e(x):=0.5x+60+9000/x
Løs(K_e'(x)=0, x)

Forteiknslinje: vi skriv den deriverte på felles brøkstrek.

$K_e'(x) = \frac{0{,}5x^2 - 9000}{x^2} = \frac{0{,}5(x^2 - 18\,000)}{x^2}$

Nemnaren er positiv. For $0 < x < 60\sqrt{5}$ er $x^2 < 18\,000$ , så $K_e'(x) < 0$ . For $x > 60\sqrt{5}$ er $K_e'(x) > 0$ . Den deriverte skiftar frå minus til pluss, altså eit botnpunkt — vi har funne minst einingskostnad.

Alternativ (dobbeltderivert): $K_e''(x) = \dfrac{18\,000}{x^3} > 0$ for alle $x > 0$ , altså botnpunkt.

$K_e(134{,}16) \approx 194{,}16$

Gartneriet kan ikkje pakke 0,16 kasse. Vi sjekkar dei to nabotala:

$K_e(134) \approx 194{,}1642 \qquad K_e(135) \approx 194{,}1667$

Svar: 134 kassar gir lågast einingskostnad, om lag 194 kr per kasse.

b) Profitten er

$O(x) = 300x - (0{,}5x^2 + 60x + 9000)$
$O(x) = -0{,}5x^2 + 240x - 9000$

$O'(x) = -x + 240$
$-x + 240 = 0$
$x = 240$

Forteiknslinje: $O'(x) = -(x - 240)$ er positiv for $x < 240$ og negativ for $x > 240$ , altså toppunkt.

$O(240) = -0{,}5 \cdot 57\,600 + 240 \cdot 240 - 9000$
$O(240) = -28\,800 + 57\,600 - 9000$
$O(240) = 19\,800$

Dei to måla ligg på ulike stader langs den same x-aksen: minst kostnad per kasse ved 134 kassar, størst samla profitt ved 240.

Svar: 240 kassar gir størst profitt, 19 800 kr per veke.

NB: Legg merke til at dei to svara ikkje er like. Ved 240 kassar er ikkje gartneriet så «effektivt» som det kunne ha vore — kvar kasse kostar meir enn 194 kr å produsere. Men prisen er 300 kr, og dei ekstra kassane mellom 134 og 240 gir framleis meir inn enn dei kostar. Minst kostnad per eining og størst samla profitt er to ulike mål.

📝Oppgave 7.2.4

Ei bedrift har kostnadene $K(x) = 0{,}4x^2 + 50x + 6250$ kroner ved $x$ einingar per dag.

Vis at $K_e(x) = 0{,}4x + 50 + \dfrac{6250}{x}$ .

Finn $K_e'(x)$ .

Kva produksjonsmengd gir minst einingskostnad?

Kor stor er den minste einingskostnaden (i kroner)?

Rekn ut $K'(125)$ . Kva legg du merke til?

Løs oppgaven

✏️Døme 4 (Del 2): Når kostnadene veks eksponentielt

Ei bedrift monterer elbilar. Kostnadene ved å montere

x

bilar i månaden er

$K(x) = 200x \cdot 1{,}02^x + 200$

der $K(x)$ er i tusen kroner. Kvar bil blir seld for 700 000 kr.

Kor mange bilar bør bedrifta montere i månaden?

Kva veit vi? Alle beløp er i tusen kroner, så prisen per bil er 700.

$I(x) = 700x$
$O(x) = 700x - 200x \cdot 1{,}02^x - 200$

Kva må vi finne? Den $x$ -verdien som gir størst $O(x)$ .

Denne funksjonen kan vi ikkje derivere og løyse for hand på rimeleg tid — produktet $x \cdot 1{,}02^x$ krev produktregelen, og likninga som kjem ut, har inga eksakt løysing. Difor brukar vi CAS.

I GeoGebra CAS skriv vi:

O(x):=700x-200x*1.02^x-200
NLøs(O'(x)=0, x)

CAS gir $x \approx 36{,}05$ .

Forteiknet til den deriverte på kvar side av kandidaten, i CAS:

O'(36)
O'(37)

gir om lag $1{,}18$ og $-21{,}0$ . Den deriverte skiftar frå pluss til minus, altså toppunkt.

Alternativ (dobbeltderivert): O''(36.05) gir om lag $-21{,}9$ , altså toppunkt.

Bedrifta monterer heile bilar, så vi sjekkar nabotala:

$O(36) \approx 10\,312{,}8 \qquad O(37) \approx 10\,302{,}9$

Koordinatsystem med talet på bilar x frå 0 til 60 og tusen kroner frå minus 2000 til 12000. Ei blå kurve merkt O(x) stig frå minus 200, når ein flat topp ved det markerte punktet x lik 36,05 og søkk deretter. Ein tekst seier at kurva er flat rundt toppen: O(36) og O(37) skil berre 10.

Den eksponentielle faktoren $1{,}02^x$ gjer at kvar ny bil kostar litt meir å montere enn den førre. Når kostnaden for den neste passerer prisen, snur profitten — og kurva er så flat rundt toppen at 36 og 37 bilar nesten er like gode.

Svar: Bedrifta bør montere 36 bilar i månaden. Profitten blir då om lag 10 313 000 kr, altså cirka 10,3 millionar kroner.

NB: Legg merke til kvifor profitten snur. Prisen per bil er den same uansett, men faktoren $1{,}02^x$ gjer at kvar ny bil kostar litt meir å montere enn den førre. Når kostnaden for den neste bilen passerer 700 000 kr, lønner det seg ikkje lenger å montere fleire.

📝Oppgave 7.2.5

Ei verftsbedrift byggjer småbåtar. Kostnadene ved å byggje

x

båtar i året er

$K(x) = 120x \cdot 1{,}03^x + 500$

der $K(x)$ er i tusen kroner. Kvar båt blir seld for 400 000 kr. Bruk CAS.

Set opp $O(x)$ .

Bruk CAS til å finne den $x$ -verdien der $O'(x) = 0$ . Rund av til to desimalar.

Vis med forteiknslinje at punktet gir størst profitt.

Kor mange båtar bør bedrifta byggje i året, når ho berre kan byggje heile båtar?

Bruk CAS til å finne dekningspunkta, og forklar kva dei fortel.

Løs oppgaven

Oppsummering

Spørsmål	Funksjon	Vi leitar etter
Kor mange einingar gir mest pengar?	$O(x)$	toppunkt: $O'(x) = 0$ , $O'$ skiftar frå $+$ til $-$
Kva pris gir mest pengar?	$O(p)$	toppunkt: $O'(p) = 0$ , $O'$ skiftar frå $+$ til $-$
Kva pris gir størst omsetnad?	$I(p)$	toppunkt: $I'(p) = 0$ , $I'$ skiftar frå $+$ til $-$
Når produserer vi mest effektivt?	$K_e(x)$	botnpunkt: $K_e'(x) = 0$ , $K_e'$ skiftar frå $-$ til $+$

Tre ting du skal hugse:
1. Forteiknslinja høyrer med.

O'(x) = 0

åleine seier berre at grafen flatar ut. Først når vi veit at

O'

skiftar frå pluss til minus, veit vi at punktet er eit toppunkt.
2. Sjekk gyldigheitsområdet. Negative tal på einingar og negative prisar forkastar vi, og der oppgåva handlar om heile einingar, sjekkar du dei to nabotala.
3. Størst inntekt er ikkje størst profitt. Prisen som gir mest omsetnad, er lågare enn prisen som gir mest att på botnlinja.

📝Oppgave 7.2.6

Bedrifta frå oppgåve 7.2.4 har $K(x) = 0{,}4x^2 + 50x + 6250$ kroner ved $x$ einingar per dag. Vi fann at einingskostnaden er minst ved 125 einingar, der han er 150 kr. Bedrifta sel no vara for 250 kr per eining.

Vis at $O(x) = -0{,}4x^2 + 200x - 6250$ .

Kva produksjonsmengd gir størst profitt?

Kor stor er den største profitten (i kroner)?

Kor stor er einingskostnaden ved den produksjonsmengda du fann i b) (i kroner)?

Ein leiar i bedrifta seier: «Vi bør produsere 125 einingar, for då er vi mest effektive.» Drøft påstanden. Rekn ut $O(125)$ i svaret ditt.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.