7.1 Kostnad, inntekt og profitt

Kva veit vi?
- Faste kostnader: 3200 kr per dag
- Variable kostnader: 12 kr per brød

Kva må vi finne? Eit uttrykk for dei samla kostnadene ved $x$ brød.

Vi set opp formelen med ord først:

$$K(x) = \text{variable kostnader} + \text{faste kostnader}$$

Dei variable kostnadene er 12 kr for kvart brød. Med $x$ brød blir det $12 \cdot x$ kroner:

$$K(x) = 12 \cdot x + 3200$$
$$K(x) = 12x + 3200$$

(Vi skriv vanlegvis ikkje gongeteiknet mellom talet og bokstaven.)

b) Vi set inn $x = 400$:

$$K(400) = 12 \cdot 400 + 3200$$
$$K(400) = 4800 + 3200$$
$$K(400) = 8000$$

Svar: Det kostar 8000 kr å bake 400 brød på éin dag.

c) Vi set inn $x = 0$:

$$K(0) = 12 \cdot 0 + 3200 = 3200$$

Svar: Sjølv om bakeriet ikkje bakar eitt einaste brød, kostar dagen 3200 kr. Det er dei faste kostnadene.

NB: Stigingstalet 12 fortel kva eitt brød til kostar. Bakar vi eitt brød ekstra, aukar kostnaden med nøyaktig 12 kr — uansett om vi går frå 100 til 101 brød eller frå 400 til 401.

$$I(x) = 27 \cdot x = 27x$$

Profitten er inntekt minus kostnad:

$$O(x) = I(x) - K(x)$$
$$O(x) = 27x - (12x + 3200)$$

Vi løyser opp parentesen. Minusteiknet framfor parentesen skiftar forteikn på begge ledda inni:

$$O(x) = 27x - 12x - 3200$$
$$O(x) = 15x - 3200$$

NB: Talet 15 er det bakeriet sit att med per brød etter at mjølet og emballasjen er betalt: $27 - 12 = 15$ kr. Det blir kalla dekningsbidraget per brød.

b) Vi set inn $x = 400$:

$$O(400) = 15 \cdot 400 - 3200$$
$$O(400) = 6000 - 3200$$
$$O(400) = 2800$$

Svar: Bakeriet tener 2800 kr den dagen.

c) Bedrifta går i balanse når $O(x) = 0$:

$$15x - 3200 = 0 \qquad | \; + 3200$$
$$15x = 3200 \qquad | \; : 15$$
$$x = \frac{3200}{15} \approx 213{,}33$$

Her må vi tenkje oss om. Eit bakeri kan ikkje selje 213,33 brød, og 213 brød er for lite:

$$O(213) = 15 \cdot 213 - 3200 = 3195 - 3200 = -5$$
$$O(214) = 15 \cdot 214 - 3200 = 3210 - 3200 = 10$$

Svar: Bakeriet må selje minst 214 brød for å gå med overskot.

NB: Svaret på ei likning er ikkje alltid svaret på oppgåva. Her måtte vi runde oppover, fordi 213 brød gir underskot.

$$K_e(x) = \frac{K(x)}{x}$$
$$K_e(x) = \frac{12x + 3200}{x}$$

Vi deler ledd for ledd på $x$:

$$K_e(x) = \frac{12x}{x} + \frac{3200}{x}$$
$$K_e(x) = 12 + \frac{3200}{x}$$

b) Vi set inn kvar verdi for seg. Legg merke til at dei tre linjene har nøyaktig same form:

$$K_e(200) = 12 + \frac{3200}{200} = 12 + 16 = 28$$
$$K_e(400) = 12 + \frac{3200}{400} = 12 + 8 = 20$$
$$K_e(800) = 12 + \frac{3200}{800} = 12 + 4 = 16$$

Svar: Einingskostnaden er 28 kr per brød ved 200 brød, 20 kr ved 400 brød og 16 kr ved 800 brød.

c) Uttrykket har to ledd, og berre det eine endrar seg:

- Leddet $12$ er dei variable kostnadene. Dei er like store for kvart einaste brød.
- Leddet $\dfrac{3200}{x}$ er dei faste kostnadene fordelte på brøda. Jo fleire brød, jo mindre faste kostnader fell på kvart brød.

Einingskostnaden søkk fordi dei faste kostnadene blir delte på fleire brød — men han kjem aldri under 12 kr. Brøken $\displaystyle \frac{3200}{x}$ blir liten, aldri null.

Svar: Einingskostnaden søkk fordi husleiga og dei andre faste kostnadene blir delte på fleire brød. Uansett kor mange brød bakeriet bakar, kjem einingskostnaden aldri under 12 kr — brøken $\displaystyle \frac{3200}{x}$ blir liten, men aldri null.

$$I(x) = 300x$$

Profitten er inntekt minus kostnad:

$$O(x) = I(x) - K(x)$$
$$O(x) = 300x - (0{,}5x^2 + 60x + 9000)$$
$$O(x) = 300x - 0{,}5x^2 - 60x - 9000$$

Vi samlar ledda med $x$:

$$O(x) = -0{,}5x^2 + 240x - 9000$$

b) Vi skal finne når $O(x) > 0$. Først finn vi nullpunkta. Dette er ei vanleg andregradslikning, og ho løyser vi for hand:

$$-0{,}5x^2 + 240x - 9000 = 0$$

Vi gongar begge sider med $-2$. Då blir vi kvitt både desimaltalet og minusteiknet framfor $x^2$:

$$x^2 - 480x + 18\,000 = 0$$

abc-formelen med $a = 1$, $b = -480$ og $c = 18\,000$:

$$x = \frac{480 \pm \sqrt{(-480)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18\,000}}{2 \cdot 1}$$
$$x = \frac{480 \pm \sqrt{230\,400 - 72\,000}}{2}$$
$$x = \frac{480 \pm \sqrt{158\,400}}{2}$$
$$x \approx \frac{480 \pm 397{,}995}{2}$$

$$x_1 = \frac{480 - 397{,}995}{2} \approx 41{,}00 \qquad x_2 = \frac{480 + 397{,}995}{2} \approx 439{,}00$$

Alternativ (CAS): Har du hjelpemiddel, kan du kontrollere med

O(x):=-0.5x^2+240x-9000
Løs(O(x)=0, x)

CAS gir dei eksakte nullpunkta $x = 240 \pm 60\sqrt{11}$ — dei same tala.

Sidan koeffisienten framfor $x^2$ er negativ, vender parabelen den hole sida ned. Då er $O(x)$ positiv mellom nullpunkta.

Gartneriet kan ikkje selje ein del av ei kasse, så vi sjekkar heiltala rundt nullpunkta:

$$O(41) = -0{,}5 \cdot 41^2 + 240 \cdot 41 - 9000 = -0{,}5$$
$$O(42) = -0{,}5 \cdot 42^2 + 240 \cdot 42 - 9000 = 198$$
$$O(438) = 198$$
$$O(439) = -0{,}5$$

Svar: Gartneriet går med overskot når det sel mellom 42 og 438 kassar i veka. Sel det færre, dekkjer ikkje inntektene dei faste kostnadene på 9000 kr. Sel det fleire, blir produksjonen så dyr at kostnadene et opp inntekta.

NB: Nullpunkta er ikkje heile tal. Det eine ligg rett over 41, og det andre rett under 439:
$$240 - 60\sqrt{11} \approx 41{,}0025 \qquad 240 + 60\sqrt{11} \approx 438{,}9975$$
Sjekkar du ikkje heiltala, er det lett å svare 41 og 439 — og begge gir faktisk eit bitte lite underskot.