6.6 Elastisitet

Deriver:

$$q'(p) = -8$$

Ved $p = 25$. Først funksjonsverdien:

$$q(25) = 500 - 8 \cdot 25 = 500 - 200 = 300$$

Så set vi inn i formelen — tom først, med tal etterpå:

$$\text{El}_p\, q(p) = \frac{p}{q(p)} \cdot q'(p)$$
$$\text{El}_p\, q(25) = \frac{25}{300} \cdot (-8) = \frac{-200}{300} = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67$$

Talverdien er $0{,}67 < 1$: etterspurnaden er uelastisk ved denne prisen.

Ved $p = 40$:

$$q(40) = 500 - 8 \cdot 40 = 500 - 320 = 180$$
$$\text{El}_p\, q(40) = \frac{40}{180} \cdot (-8) = \frac{-320}{180} = -\frac{16}{9} \approx -1{,}78$$

Talverdien er $1{,}78 > 1$: etterspurnaden er elastisk ved denne prisen.

Inntekta er arealet av rektangelet $p \cdot q(p)$. Det høge, smale rektangelet ved $p = 25$ er STØRRE enn det låge, breie ved $p = 40$ — difor søkk inntekta når prisen blir sett opp i det elastiske området.

Svar: $\text{El}_p q(25) \approx -0{,}67$ (uelastisk) og $\text{El}_p q(40) \approx -1{,}78$ (elastisk).

Legg merke til at $q'(p) = -8$ heile vegen — salet fell med 8 einingar per krone uansett pris. Elastisiteten er likevel heilt ulik. Det er fordi 1 krone er ein større del av 25 kroner enn av 40 kroner, og 8 einingar er ein mindre del av 300 enn av 180.

$$p_{\text{ny}} = 40 \cdot 1{,}01 = 40{,}40$$

Det nye salet:

$$q(40{,}40) = 500 - 8 \cdot 40{,}40 = 500 - 323{,}20 = 176{,}80$$

Den prosentvise endringa. Vi brukar vekstfaktoren, eller like gjerne endringa delt på det vi starta med:

$$\frac{176{,}80 - 180}{180} = \frac{-3{,}20}{180} = -0{,}0177\overline{7}$$

Gonga med 100 blir det $-1{,}78\ \%$.

Svar: Salet fell med omtrent $1{,}78\ \%$ — nøyaktig det elastisiteten sa.

Kva vi kan bruke det til. Butikken sel 180 einingar til 40 kroner, altså $180 \cdot 40 = 7200$ kroner i veka. Etter prisauken: $176{,}80 \cdot 40{,}40 = 7142{,}72$ kroner. Inntekta går ned.

Det er det elastisk etterspurnad tyder i praksis: prisen opp 1 %, salet ned 1,78 % — tapet i tal er større enn vinninga i pris.

NB: For ein lineær etterspurnadsfunksjon stemmer tolkinga eksakt for små endringar. For andre funksjonar er ho ei god tilnærming, på same måte som grensekostnaden var ei god tilnærming til kostnaden ved den neste eininga.

$$\frac{p}{500 - 8p} \cdot (-8) = -1$$
$$\frac{-8p}{500 - 8p} = -1 \qquad | \cdot (500 - 8p)$$
$$-8p = -(500 - 8p)$$
$$-8p = -500 + 8p \qquad | -8p$$
$$-16p = -500 \qquad | : (-16)$$
$$p = 31{,}25$$

(Vi kan gonge opp med $500 - 8p$ fordi han er positiv så lenge det i det heile blir selt noko, altså for $p < 62{,}5$.)

b) Inntekta er

$$I(p) = p \cdot q(p) = p(500 - 8p) = 500p - 8p^2$$

Vi deriverer og set lik null:

$$I'(p) = 500 - 16p$$
$$500 - 16p = 0 \qquad | +16p$$
$$500 = 16p \qquad | : 16$$
$$p = 31{,}25$$

Sidan $I$ er ein parabel som vender nedover ($a = -8 < 0$), er dette eit toppunkt. Inntekta der:

$$I(31{,}25) = 500 \cdot 31{,}25 - 8 \cdot 31{,}25^2 = 15\,625 - 7812{,}50 = 7812{,}50$$

c) Dei to metodane gir same pris, $31{,}25$ kroner. Det er ikkje ei tilfeldigheit — det er nettopp innhaldet i regelen frå førre avsnitt.

Svar: Etterspurnaden er einingselastisk ved $p = 31{,}25$ kroner, og det er også prisen som gir størst inntekt: $7812{,}50$ kroner per veke, med eit sal på $q(31{,}25) = 250$ einingar.

Samanlikn med Døme 1: ved 25 kroner var etterspurnaden uelastisk (inntekt $7500$ kr), og ved 40 kroner elastisk (inntekt $7200$ kr). Toppen ligg imellom, akkurat der elastisiteten passerer $-1$.

$$q(p) = 12\,000p^{-2}$$
$$q'(p) = 12\,000 \cdot (-2) \cdot p^{-3} = -24\,000p^{-3} = -\frac{24\,000}{p^3}$$

Så set vi inn i formelen. Her lønner det seg å skrive brøkane på potensform heile vegen, så vi kan forkorte:

$$\text{El}_p\, q(p) = \frac{p}{q(p)} \cdot q'(p) = \frac{p}{12\,000p^{-2}} \cdot \left(-24\,000p^{-3}\right)$$

$$\text{El}_p\, q(p) = \frac{p \cdot p^{2}}{12\,000} \cdot \left(-\frac{24\,000}{p^{3}}\right) = \frac{p^{3}}{12\,000} \cdot \left(-\frac{24\,000}{p^{3}}\right)$$

$$\text{El}_p\, q(p) = -\frac{24\,000}{12\,000} = -2$$

Alle $p$-ane blir forkorta bort. Elastisiteten er $-2$ for kva pris som helst.

b) Inntekta er

$$I(p) = p \cdot \frac{12\,000}{p^2} = \frac{12\,000}{p}$$

Det er ein søkkande funksjon: jo høgare pris, desto lågare inntekt. Vi kan kontrollere med tal:

$$I(p) = p \cdot \frac{2000}{p} = 2000$$

heilt uavhengig av prisen. Bedrifta tener like mykje uansett kva ho tek.

q(p):=2400-30p
El(p):=p/q(p)*q'(p)

Situasjonen i dag:

q(25)
El(25)

gir $q(25) = 1650$ einingar og

$$\text{El}_p\, q(25) = \frac{25}{1650} \cdot (-30) = \frac{-750}{1650} = -\frac{5}{11} \approx -0{,}45$$

Talverdien er under 1: etterspurnaden er uelastisk ved dagens pris. Ein prisauke vil altså gi høgare inntekt.

Kor langt opp? Vi finn prisen der etterspurnaden er einingselastisk:

Løs(El(p)=-1, p)

gir $p = 40$. For hand:

$$\frac{p}{2400 - 30p} \cdot (-30) = -1$$
$$-30p = -(2400 - 30p)$$
$$-30p = -2400 + 30p$$
$$-60p = -2400$$
$$p = 40$$

Inntektene. Vi ser kva skilnaden er verd:

$$I(25) = 25 \cdot 1650 = 41\,250$$
$$q(40) = 2400 - 1200 = 1200 \quad \Longrightarrow \quad I(40) = 40 \cdot 1200 = 48\,000$$

Kontroll: ikkje for langt. Ved $p = 60$:

$$q(60) = 2400 - 1800 = 600 \quad \Longrightarrow \quad \text{El} = \frac{60}{600} \cdot (-30) = -3$$
$$I(60) = 60 \cdot 600 = 36\,000$$

Elastisk, og inntekta er tilbake under nivået i dag.

Svar: Bedrifta bør setje prisen opp frå 25 til 40 kroner. Inntekta aukar då frå $41\,250$ til $48\,000$ kroner per månad, ein auke på $6750$ kroner. Går ho høgare enn 40 kroner, blir etterspurnaden elastisk og inntekta søkk igjen.

NB: Dette er eit råd om inntekt, ikkje om overskot. Sel bedrifta færre einingar, søkk også kostnadene. Skal vi svare på kva som gir størst overskot, må vi ha kostnadsfunksjonen og bruke $I'(x) = K'(x)$ frå 6.5.