6.5 Grensekostnad og grenseinntekt

$$K'(x) = 0{,}06x^2 - 6x + 180$$

b) Vi set inn:

$$K'(20) = 0{,}06 \cdot 400 - 120 + 180 = 24 - 120 + 180 = 84$$
$$K'(50) = 0{,}06 \cdot 2500 - 300 + 180 = 150 - 300 + 180 = 30$$
$$K'(80) = 0{,}06 \cdot 6400 - 480 + 180 = 384 - 480 + 180 = 84$$

Ved 20 einingar kostar den neste eininga $84$ kroner, ved 50 einingar berre $30$ kroner, og ved 80 einingar igjen $84$ kroner.

Grensekostnaden fell altså først og stig så. Det er det vanlege mønsteret i produksjon: i starten er ein ineffektiv, midtvegs utnyttar ein maskinene godt, og mot slutten må ein betale overtid og leige inn ekstra kapasitet.

c) Vi reknar ut begge kostnadene:

$$K(50) = 0{,}02 \cdot 125\,000 - 3 \cdot 2500 + 9000 + 6000$$
$$K(50) = 2500 - 7500 + 9000 + 6000 = 10\,000$$

$$K(51) = 0{,}02 \cdot 132\,651 - 3 \cdot 2601 + 9180 + 6000$$
$$K(51) = 2653{,}02 - 7803 + 9180 + 6000 = 10\,030{,}02$$

$$K(51) - K(50) = 10\,030{,}02 - 10\,000 = 30{,}02$$

Svar: a) $K'(x) = 0{,}06x^2 - 6x + 180$. b) $84$, $30$ og $84$ kroner per eining. c) Eining nummer 51 kostar faktisk $30{,}02$ kroner — grensekostnaden $30$ er ei god tilnærming.

$$I(x) = x \cdot p(x) = x(400 - 0{,}5x)$$

Vi gongar ut — det må vi, for potensregelen tek ikkje eit produkt:

$$I(x) = 400x - 0{,}5x^2$$

Så deriverer vi ledd for ledd:

$$I'(x) = 400 - x$$

b) Prisen ved 100 einingar:

$$p(100) = 400 - 0{,}5 \cdot 100 = 400 - 50 = 350$$

Grenseinntekta ved 100 einingar:

$$I'(100) = 400 - 100 = 300$$

Dei er ikkje like — grenseinntekta er 50 kroner lågare enn prisen.

Forklaringa: eining nummer 101 blir seld for 349,50 kroner. Men for å få selt henne må bedrifta setje prisen ned med 50 øre på alle dei 100 andre einingane også, og det kostar 50 kroner. Netto sit ho att med omtrent 300 kroner.

Kontroll:

$$I(100) = 40\,000 - 5000 = 35\,000$$
$$I(101) = 400 \cdot 101 - 0{,}5 \cdot 101^2 = 40\,400 - 5100{,}50 = 35\,299{,}50$$
$$I(101) - I(100) = 299{,}50$$

Ved 100 einingar er prisen 350 kr, men grenseinntekta berre 300 kr. Dei 50 kronene imellom er prisnedgangen på dei einingane bedrifta alt har selt. Legg merke til at $I'$-linja fell dobbelt så bratt som $p$.

Svar: a) $I(x) = 400x - 0{,}5x^2$ og $I'(x) = 400 - x$. b) Prisen er $350$ kroner, grenseinntekta $300$ kroner per eining. Skilnaden er prisnedgangen på dei einingane bedrifta alt har selt.

$$K'(x) = 0{,}03x^2 - 3x + 90$$
$$I'(x) = 190 - x$$

Vi set dei lik kvarandre:

$$0{,}03x^2 - 3x + 90 = 190 - x$$

Vi samlar alt på venstre side:

$$0{,}03x^2 - 3x + x + 90 - 190 = 0$$
$$0{,}03x^2 - 2x - 100 = 0$$

Abc-formelen. Her er $a = 0{,}03$, $b = -2$ og $c = -100$:

$$b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 0{,}03 \cdot (-100) = 4 + 12 = 16$$
$$\sqrt{16} = 4$$
$$x = \frac{2 \pm 4}{2 \cdot 0{,}03} = \frac{2 \pm 4}{0{,}06}$$

$$x_1 = \frac{6}{0{,}06} = 100 \qquad\qquad x_2 = \frac{-2}{0{,}06} \approx -33{,}3$$

Den negative løysinga forkastar vi — bedrifta kan ikkje produsere eit negativt tal på einingar.

Overskotet. Først set vi opp $O$:

$$O(x) = I(x) - K(x) = (190x - 0{,}5x^2) - (0{,}01x^3 - 1{,}5x^2 + 90x + 5000)$$
$$O(x) = -0{,}01x^3 + x^2 + 100x - 5000$$

$$O(100) = -0{,}01 \cdot 1\,000\,000 + 10\,000 + 10\,000 - 5000$$
$$O(100) = -10\,000 + 10\,000 + 10\,000 - 5000 = 5000$$

Kontroll. Grenseverdiane skal vere like i punktet:

$$K'(100) = 0{,}03 \cdot 10\,000 - 300 + 90 = 300 - 300 + 90 = 90$$
$$I'(100) = 190 - 100 = 90$$

Og $O'(x) = -0{,}03x^2 + 2x + 100$ gir $O'(100) = -300 + 200 + 100 = 0$.

Forteiknslinje for $O'$. Nullpunkta til $O'$ er dei same som løysingane over, $100$ og $\displaystyle -\frac{100}{3}$:

$$O'(x) = -0{,}03x^2 + 2x + 100 = -0{,}03(x - 100)\left(x + \frac{100}{3}\right)$$

For $x \ge 0$ er $\displaystyle \left(x + \frac{100}{3}\right)$ positiv og $-0{,}03$ negativ, så $O'$ har motsett forteikn av $(x - 100)$: pluss for $x < 100$ og minus for $x > 100$.

Forteiknet skiftar frå pluss til minus, så $x = 100$ er eit toppunkt. Det er her overskotet er størst, ikkje minst.

Alternativ (dobbeltderivert):

$$O''(x) = -0{,}06x + 2$$
$$O''(100) = -0{,}06 \cdot 100 + 2 = -6 + 2 = -4$$

$O''(100) < 0$, altså krummar grafen nedover, og $x = 100$ er eit toppunkt.

Svar: Bedrifta bør produsere $100$ einingar. Overskotet blir $5000$ kroner, og både grenseinntekta og grensekostnaden er $90$ kroner per eining der.

$$K_e(x) = \frac{0{,}01x^2 + 40x + 4900}{x} = \frac{0{,}01x^2}{x} + \frac{40x}{x} + \frac{4900}{x}$$
$$K_e(x) = 0{,}01x + 40 + \frac{4900}{x}$$

Legg merke til kva dei tre ledda er: det første veks med produksjonen, det andre er konstant per eining, og det siste er dei faste kostnadene fordelte på stadig fleire einingar.

b) Vi skriv om til potensform og deriverer:

$$K_e(x) = 0{,}01x + 40 + 4900x^{-1}$$
$$K_e'(x) = 0{,}01 - 4900x^{-2} = 0{,}01 - \frac{4900}{x^2}$$

Så løyser vi $K_e'(x) = 0$:

$$0{,}01 - \frac{4900}{x^2} = 0$$
$$\frac{4900}{x^2} = 0{,}01 \qquad | \cdot x^2$$
$$4900 = 0{,}01x^2 \qquad | : 0{,}01$$
$$x^2 = 490\,000$$
$$x = 700$$

(Berre den positive løysinga er aktuell — bedrifta kan ikkje produsere $-700$ einingar.)

Einingskostnaden der:

$$K_e(700) = 0{,}01 \cdot 700 + 40 + \frac{4900}{700} = 7 + 40 + 7 = 54$$

c) Grensekostnaden er

$$K'(x) = 0{,}02x + 40$$
$$K'(700) = 0{,}02 \cdot 700 + 40 = 14 + 40 = 54$$

Dei er like, slik regelen seier.

Grensekostnaden skjer einingskostnaden nøyaktig i botnpunktet. Til venstre for 700 ligg $K'$ under $K_e$ (og trekkjer snittet ned), til høgre over (og trekkjer det opp) — det er heile grunngivinga for regelen.

Svar: a) $K_e(x) = 0{,}01x + 40 + \dfrac{4900}{x}$. b) $700$ einingar gir lågast einingskostnad, $54$ kroner per eining. c) $K'(700) = K_e(700) = 54$.

$$I(x) = 150x \qquad \Longrightarrow \qquad I'(x) = 150$$

Grenseinntekta er altså konstant: kvar ny eining gir 150 kroner, uansett.

Grenseinntekt lik grensekostnad:

$$0{,}06x^2 - 6x + 180 = 150$$
$$0{,}06x^2 - 6x + 30 = 0$$

Abc-formelen ($a = 0{,}06$, $b = -6$, $c = 30$):

$$b^2 - 4ac = 36 - 4 \cdot 0{,}06 \cdot 30 = 36 - 7{,}2 = 28{,}8$$
$$\sqrt{28{,}8} \approx 5{,}3666$$
$$x = \frac{6 \pm 5{,}3666}{0{,}12}$$

$$x_1 \approx \frac{0{,}6334}{0{,}12} \approx 5{,}28 \qquad\qquad x_2 \approx \frac{11{,}3666}{0{,}12} \approx 94{,}72$$

Kva for ei av dei? Vi set opp overskotet:

$$O(x) = 150x - K(x) = -0{,}02x^3 + 3x^2 - 30x - 6000$$

$$O(5{,}28) \approx -6077{,}71 \qquad\qquad O(94{,}72) \approx 1077{,}71$$

Forteiknslinje for $O'$. Med nullpunkta $x_1 \approx 5{,}28$ og $x_2 \approx 94{,}72$ frå abc-formelen er

$$O'(x) = I'(x) - K'(x) = -0{,}06x^2 + 6x - 30 = -0{,}06(x - x_1)(x - x_2)$$

Under $x_1$ er begge parentesane negative, og saman med $-0{,}06$ gir tre minusar $O' < 0$.

Mellom $x_1$ og $x_2$ er berre $(x - x_2)$ og $-0{,}06$ negative, så $O' > 0$.

Over $x_2$ er berre $-0{,}06$ negativ, så $O' < 0$.

Forteiknet skiftar frå minus til pluss i $x_1$ og frå pluss til minus i $x_2$. Den første løysinga er altså eit botnpunkt — der er overskotet på det aller verste — og den andre eit toppunkt.

Det stemmer med grensekostnaden: under $x \approx 5{,}28$ kostar kvar eining meir enn 150 kroner, mellom dei to tala mindre, og over $x \approx 94{,}72$ meir igjen.

Alternativ (dobbeltderivert):

$$O''(x) = -0{,}12x + 6$$
$$O''(5{,}28) \approx -0{,}63 + 6 \approx 5{,}37 > 0 \qquad\qquad O''(94{,}72) \approx -11{,}37 + 6 \approx -5{,}37 < 0$$

Det gir også botnpunkt i $x_1$ og toppunkt i $x_2$.

Heile einingar. Fabrikken kan ikkje produsere 94,72 einingar. Vi samanliknar dei to næraste:

$$O(94) \approx 1076{,}32 \qquad\qquad O(95) \approx 1077{,}50$$

Abc-formelen gir to løysingar, og berre den eine er svaret. Mellom dei ligg $K'$ under $I'$ — der veks overskotet — så det er den ANDRE kryssinga som er toppen.

Svar: Fabrikken bør produsere $95$ einingar, og får då eit overskot på omtrent $1078$ kroner.

NB: Her måtte vi rekne på begge løysingane. Hadde vi valt den første fordi ho kom først ut av abc-formelen, ville vi ha tilrådd bedrifta det verst tenkjelege produksjonstalet.