6.4 Nullpunkt, ekstremalpunkt og funksjonsdrøfting

Likninga, med $a$, $b$ og $c$ lesne av:

$$-0{,}5x^2 + 90x - 1600 = 0$$

$$a = -0{,}5 \qquad b = 90 \qquad c = -1600$$

Det under rotteiknet blir rekna ut for seg. Då ser vi med ein gong om det går opp.

$$b^2 - 4ac = 90^2 - 4 \cdot (-0{,}5) \cdot (-1600)$$
$$b^2 - 4ac = 8100 - 3200 = 4900$$
$$\sqrt{4900} = 70$$

Inn i abc-formelen:

$$x = \frac{-90 \pm 70}{2 \cdot (-0{,}5)} = \frac{-90 \pm 70}{-1}$$

$$x_1 = \frac{-90 + 70}{-1} = \frac{-20}{-1} = 20$$
$$x_2 = \frac{-90 - 70}{-1} = \frac{-160}{-1} = 160$$

Dekningspunkta er der $O(x) = 0$, toppunktet der $O'(x) = 0$. Dei tre punkta ligg på same kurve, men svarer på kvart sitt spørsmål: kvar bedrifta går i null, og kvar ho tener mest.

Svar: Dekningspunkta er $x = 20$ og $x = 160$ einingar.

Sidan $a = -0{,}5 < 0$, vender parabelen nedover. Han ligg difor over $x$-aksen mellom nullpunkta: bedrifta går med overskot når ho produserer mellom 20 og 160 einingar, og med underskot utanfor.

$$O(x) = -0{,}5x^2 + 90x - 1600$$
$$O'(x) = -x + 90$$

Faktoriser som éi kjede. Vi set $-1$ utanfor:

$$O'(x) = -x + 90 = -1 \cdot (x - 90)$$

No ser vi direkte at den deriverte er null når $x = 90$.

Forteiknslinje. Vi lagar éi rad for konstantfaktoren $-1$ og éi for $(x - 90)$ — i den rekkjefølgja dei står i uttrykket. Sjå linja under løysinga.

Faktoren $-1$ er negativ overalt, så rada er stipla heile vegen. Faktoren $(x - 90)$ er negativ til venstre for 90, null i 90 og positiv til høgre. Produktet blir då positivt til venstre og negativt til høgre — eitt minusteikn gonga med eitt minusteikn gir pluss.

$y$-verdien. Vi set $x = 90$ inn i den opphavlege funksjonen:

$$O(90) = -0{,}5 \cdot 90^2 + 90 \cdot 90 - 1600$$
$$O(90) = -0{,}5 \cdot 8100 + 8100 - 1600$$
$$O(90) = -4050 + 8100 - 1600 = 2450$$

Konklusjon. Den deriverte går frå positiv til negativ i $x = 90$. Funksjonen veks først og søkk etterpå, så dette er eit toppunkt.

Svar: Toppunktet er $(90,\ 2450)$. Overskotet veks for $x < 90$ og søkk for $x > 90$. Det største overskotet er $2450$ kroner, ved ein produksjon på $90$ einingar.

$$O(x) = -0{,}01x^3 + 1{,}5x^2 - 48x + 500$$
$$O'(x) = -0{,}03x^2 + 3x - 48$$

Faktoriser som éi kjede. Vi set $-0{,}03$ utanfor og faktoriserer parentesen med sum og produkt (to tal med sum $100$ og produkt $1600$: det er $20$ og $80$):

$$O'(x) = -0{,}03x^2 + 3x - 48 = -0{,}03(x^2 - 100x + 1600) = -0{,}03(x - 20)(x - 80)$$

No ser vi direkte at den deriverte er null når $x = 20$ og når $x = 80$.

Forteiknslinje med tre rader: konstantfaktoren $-0{,}03$, faktoren $(x - 20)$ og faktoren $(x - 80)$. Sjå linja under løysinga.

I det venstre intervallet er alle tre negative — tre minusar er eit oddetal, så produktet er negativt. I midten er $-0{,}03$ og $(x-80)$ negative, altså to minusar, og produktet er positivt. Til høgre er berre $-0{,}03$ negativ, og produktet er negativt igjen.

$y$-verdiane frå den opphavlege funksjonen:

$$O(20) = -0{,}01 \cdot 8000 + 1{,}5 \cdot 400 - 48 \cdot 20 + 500$$
$$O(20) = -80 + 600 - 960 + 500 = 60$$

$$O(80) = -0{,}01 \cdot 512\,000 + 1{,}5 \cdot 6400 - 48 \cdot 80 + 500$$
$$O(80) = -5120 + 9600 - 3840 + 500 = 1140$$

Konklusjon. I $x = 20$ skiftar den deriverte frå minus til pluss: botnpunkt $(20,\ 60)$. I $x = 80$ skiftar han frå pluss til minus: toppunkt $(80,\ 1140)$.

Svar: Botnpunkt $(20,\ 60)$ og toppunkt $(80,\ 1140)$.

Overskotet søkk frå starten ned til 60 kroner ved 20 einingar, veks så jamt til 1140 kroner ved 80 einingar, og søkk deretter igjen. Bedrifta bør altså leggje produksjonen på 80 einingar.

Vi reknar difor ut $O$ i fire punkt: dei to endepunkta og dei to ekstremalpunkta.

$$O(0) = 500$$
$$O(20) = 60 \qquad \text{(botnpunkt)}$$
$$O(80) = 1140 \qquad \text{(toppunkt)}$$
$$O(100) = -0{,}01 \cdot 1\,000\,000 + 1{,}5 \cdot 10\,000 - 4800 + 500$$
$$O(100) = -10\,000 + 15\,000 - 4800 + 500 = 700$$

Vi samanliknar dei fire tala: $500$, $60$, $1140$ og $700$.

På eit lukka intervall er endepunkta kandidatar dei også. Her vinn toppunktet $1140$, men legg merke til at $O(100) = 700$ er større enn $O(0) = 500$ — hadde intervallet gått lenger, kunne endepunktet ha teke over.

Svar: Det største overskotet er $1140$ kroner ved $x = 80$ einingar, og det minste er $60$ kroner ved $x = 20$ einingar.

Her fall begge ytterverdiane saman med ekstremalpunkta.

Når området er avgrensa, sjekkar vi likevel alltid endepunkta — hadde intervallet gått lenger, kunne endepunktet ha teke over.

I(x):=900x-0.5x^2
K(x):=0.04x^3-6x^2+400x+20000
O(x):=I(x)-K(x)

Kommandoen O(x) gir

$$O(x) = -0{,}04x^3 + 5{,}5x^2 + 500x - 20\,000$$

Dekningspunkta. Vi løyser $O(x) = 0$:

Løs(O(x)=0, x)

CAS gir tre løysingar: $x \approx -83{,}59$, $x \approx 31{,}56$ og $x \approx 189{,}53$.

Den negative forkastar vi — bedrifta kan ikkje produsere eit negativt tal på einingar.

Det største overskotet. Vi deriverer og løyser:

O'(x)
Løs(O'(x)=0, x)

$$O'(x) = -0{,}12x^2 + 11x + 500$$

Løysingane er $\displaystyle x = -\frac{100}{3} \approx -33{,}33$ og $x = 125$. Igjen forkastar vi den negative.

Kontroll for hand med abc på $O'(x) = 0$:

$$b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-0{,}12) \cdot 500 = 121 + 240 = 361$$
$$\sqrt{361} = 19$$
$$x = \frac{-11 \pm 19}{-0{,}24}$$

Det gir $\displaystyle x = \frac{8}{-0{,}24} \approx -33{,}33$ og $\displaystyle x = \frac{-30}{-0{,}24} = 125$.

Forteiknslinje. Med nullpunkta kan den deriverte skrivast som éi kjede:
$$O'(x) = -0{,}12x^2 + 11x + 500 = -0{,}12\left(x + \frac{100}{3}\right)(x - 125)$$
For $x \ge 0$ er faktoren $\displaystyle \left(x + \frac{100}{3}\right)$ positiv og $-0{,}12$ negativ. Då har $O'$ motsett forteikn av $(x - 125)$: pluss for $0 \le x < 125$ og minus for $x > 125$. Forteiknet skiftar frå pluss til minus, så $x = 125$ er eit toppunkt.

Overskotet i toppunktet:

O(125)

gir $50\,312{,}5$.

Svar: $O(x) = -0{,}04x^3 + 5{,}5x^2 + 500x - 20\,000$. Bedrifta går i null ved omtrent $32$ og omtrent $190$ einingar, og har det største overskotet, $50\,312{,}50$ kroner, ved $125$ einingar.

Legg merke til at vi kontrollerte CAS-svaret for hand. Det er ikkje mistillit til verktøyet — det er ein sjekk på at vi har tasta inn den modellen vi trudde.