6.3 Derivasjonsreglar | Matematikk for økonomi

Derivasjon av polynom, potensar, e^x og ln x — reglane vi treng i økonomi.

45 min

6 oppgaver

DerivasjonsreglarPotensregelene^x og ln x

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Reglane som gjer jobben kort

I 6.2 deriverte vi frå definisjonen. Det verkar alltid, men det er tungt — fire–fem linjer for kvar einaste funksjon.

Vi treng ikkje gjere det på nytt kvar gong. Set vi opp definisjonen éin gong for $x^2$ , éin gong for $x^3$ og så vidare, ser vi eit mønster. Det mønsteret er potensregelen, og saman med nokre få andre reglar dekkjer han alt vi treng i økonomi.

Dei fem–seks reglane i dette kapittelet skal sitje. Det er ikkje pugging for puggings skuld: når derivasjonen går av seg sjølv, har du hovudet fritt til å tenkje på kva svaret tyder. Og det er der matematikken for økonomi eigentleg ligg.

Potensregelen frå definisjonen

Vi deriverer $f(x) = x^3$ med same oppsett som i 6.2, døme 2.

Finn $f(x + h)$ .

$f(x + h) = (x + h)^3 = (x^2 + 2xh + h^2)(x + h)$
$f(x + h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

Trekk frå $f(x)$ . Leddet $x^3$ fell bort:

$f(x + h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

Del på $h$ .

$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2$

La $h$ gå mot null.

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\left(3x^2 + 3xh + h^2\right) = 3x^2$

Same oppsett gir $(x^2)' = 2x$ (oppgåve 6.3.1 a), og i 6.2 fann vi at ei rett linje $f(x) = x$ har stigingstal $1$ :

$f(x)$	$f'(x)$
$x^1$	$1 = 1 \cdot x^0$
$x^2$	$2x = 2 \cdot x^1$
$x^3$	$3x^2$

Mønsteret: eksponenten kjem ned som faktor, og den nye eksponenten er éin mindre. Det gjeld for alle

n

. Når

(x + h)^n

blir gonga ut, er dei to første ledda

x^n + n \cdot x^{n-1}h

(vi får

x^{n-1}h

på

n

måtar, éin for kvar parentes vi tek

h

frå). Alle dei andre ledda har minst

h^2

som faktor, så dei forsvinn når vi deler på

h

og lèt

h

gå mot null.

📜Grunnreglane

Konstant:

f(x) = c \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = 0

Potensregelen:
$f(x) = x^n \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{\,n-1}$

Konstantfaktor:
$f(x) = c \cdot g(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = c \cdot g'(x)$

Sum og differanse:
$f(x) = u(x) \pm v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \pm v'(x)$

Potensregelen er mønsteret vi fann over. Dei tre andre reglane kjem rett ut av definisjonen på same måte — det viser du i oppgåve 6.3.1.

Dei to siste er grunnen til at vi kan derivere eit polynom ledd for ledd, og berre la tala framfor stå.

📝Oppgave 6.3.1

Bruk definisjonen av den deriverte, med same oppsett som i utleiinga av $(x^3)'$ , til å vise reglane.

Vis at $f(x) = x^2$ gir $f'(x) = 2x$ .

Vis at ein konstant funksjon $f(x) = c$ har $f'(x) = 0$ .

La $f(x) = c \cdot g(x)$ , der $c$ er eit tal. Vis at $f'(x) = c \cdot g'(x)$ .

La $f(x) = u(x) + v(x)$ . Vis at $f'(x) = u'(x) + v'(x)$ .

Vis at $f(x) = \dfrac{1}{x}$ gir $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ for $x > 0$ . Kontroller at potensregelen med $n = -1$ gir det same.

Løs oppgaven

Potensregelen er lettare å bruke dersom vi først gjer det usynlege synleg.

Slik det står	Slik det eigentleg er	Den deriverte
$x$	$x^1$	$1 \cdot x^0 = 1$
$5x$	$5 \cdot x^1$	$5 \cdot 1 \cdot x^0 = 5$
$x^2$	$x^2$	$2 \cdot x^1 = 2x$
$7$	$7 \cdot x^0$	$0$

(Vi skriv vanlegvis ikkje 1-talet i

x^1

, og vi skriv ikkje

x^0

bak eit tal. Men når du deriverer, er det nettopp dei usynlege tala regelen får tak i.)
NB: Eit konstantledd blir

0

. Det forsvinn ikkje fordi vi gløymer det — eit konstantledd endrar seg ikkje når

x

endrar seg, og ei endring som er null, er null. For ei bedrift er det dei faste kostnadene: dei er der, men dei veks ikkje med produksjonen.

✏️Døme 1: Deriver eit polynom ledd for ledd

Ein fabrikk har kostnadene

$K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}2x^2 + 45x + 8000$

kroner ved $x$ einingar.

a) Finn $K'(x)$ .

b) Finn $K'(20)$ og $K'(50)$ , og tolk svara.

a) Vi tek eitt ledd om gongen og lèt tala framfor stå:

$0{,}02x^3 \quad \longrightarrow \quad 0{,}02 \cdot 3x^2 = 0{,}06x^2$
$-1{,}2x^2 \quad \longrightarrow \quad -1{,}2 \cdot 2x = -2{,}4x$
$45x \quad \longrightarrow \quad 45$
$8000 \quad \longrightarrow \quad 0$

Sett saman:

$K'(x) = 0{,}06x^2 - 2{,}4x + 45$

b) Vi set inn:

$K'(20) = 0{,}06 \cdot 20^2 - 2{,}4 \cdot 20 + 45$
$K'(20) = 0{,}06 \cdot 400 - 48 + 45 = 24 - 48 + 45 = 21$

$K'(50) = 0{,}06 \cdot 50^2 - 2{,}4 \cdot 50 + 45$
$K'(50) = 0{,}06 \cdot 2500 - 120 + 45 = 150 - 120 + 45 = 75$

Svar: a) $K'(x) = 0{,}06x^2 - 2{,}4x + 45$ . b) $K'(20) = 21$ og $K'(50) = 75$ kroner per eining.

Tolkinga: ved 20 einingar kostar det omtrent 21 kroner å lage éi eining til, ved 50 einingar omtrent 75 kroner. Fabrikken er altså mykje dyrare å drive på høgt produksjonsnivå — det er typisk når maskiner og lokale nærmar seg kapasitetsgrensa.

📝Oppgave 6.3.2

Deriver funksjonane.

f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 2x - 9

K(x) = 0{,}03x^3 - 1{,}5x^2 + 60x + 12\,000

I(x) = 120x - 0{,}4x^2

O(x) = -0{,}25x^2 + 85x - 3000

P(x) = 5

Løs oppgaven

Potensregelen toler meir enn heile tal

Potensregelen gjeld for alle eksponentar — negative og brøkar også (oppgåve 6.3.1 e) viser det for $n = -1$ ). Det er nyttig, for i økonomi møter vi stadig uttrykk som

$\frac{5000}{x} \qquad \text{og} \qquad \sqrt{x}$

Triks: skriv om til potensform først, deriver, og skriv om tilbake dersom svaret skal vere pent.

$\frac{1}{x^n} = x^{-n} \qquad\qquad \sqrt{x} = x^{1/2}$

(Likskapen gjeld begge vegar! Det er den same regelen som lèt deg gå tilbake til slutt.)

✏️Døme 2: Brøk og rot

Deriver $f(x) = \dfrac{5}{x} + 3\sqrt{x}$ for $x > 0$ .

Skriv om til potensform.

$\frac{5}{x} = 5x^{-1} \qquad\qquad 3\sqrt{x} = 3x^{1/2}$
$f(x) = 5x^{-1} + 3x^{1/2}$

Deriver ledd for ledd med potensregelen.

$5x^{-1} \quad \longrightarrow \quad 5 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -5x^{-2}$
$3x^{1/2} \quad \longrightarrow \quad 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2} = \frac{3}{2}x^{-1/2}$

(Eksponentane: $-1 - 1 = -2$ , og $\displaystyle \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$ . Det er her dei fleste feila skjer — rekn dei ut, ikkje gjett dei.)

$f'(x) = -5x^{-2} + \frac{3}{2}x^{-1/2}$

Skriv om tilbake.

$f'(x) = -\frac{5}{x^2} + \frac{3}{2\sqrt{x}}$

Kontroll med eit tal. Vi set inn $x = 4$ :

$f'(4) = -\frac{5}{16} + \frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{16} + \frac{3}{4} = -\frac{5}{16} + \frac{12}{16} = \frac{7}{16} = 0{,}4375$

Svar: $f'(x) = -\dfrac{5}{x^2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x}}$

📝Oppgave 6.3.3

Deriver. Skriv om til potensform først, og skriv svaret utan negative eksponentar. Alle funksjonane gjeld for $x > 0$ .

f(x) = \dfrac{1}{x}

f(x) = \dfrac{8}{x^2}

f(x) = \sqrt{x}

f(x) = 6\sqrt{x} + \dfrac{2}{x}

Ei bedrift har einingskostnaden $K_e(x) = \dfrac{2000}{x} + 15$ kroner per eining ved $x$ einingar. Finn $K_e'(x)$ , og rekn ut $K_e'(20)$ .

Løs oppgaven

📜Eksponentialfunksjonen og logaritmen

f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x

Opphav: $\dfrac{e^{x + h} - e^x}{h} = e^x \cdot \dfrac{e^h - 1}{h}$ , og brøken $\dfrac{e^h - 1}{h}$ nærmar seg $1$ når $h$ går mot null ( $h = 0{,}01$ gir $1{,}00502$ , $h = 0{,}001$ gir $1{,}00050$ ). Det undersøkjer du i oppgåve 6.3.4 f).

$f(x) = \ln x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x} \qquad (x > 0)$

Opphav: brøken $\dfrac{\ln(x + h) - \ln x}{h}$ nærmar seg $\dfrac{1}{x}$ når $h$ går mot null. Det undersøkjer du for $x = 2$ i oppgåve 6.3.5 f).

Snøggregel (den du treng i økonomi, der veksten nesten alltid har ein rentesats i eksponenten):

$f(x) = e^{kx} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = k \cdot e^{kx}$

Konstanten $k$ i eksponenten kjem altså ned som faktor framfor. Opphav: $e^{k(x + h)} - e^{kx} = e^{kx}\left(e^{kh} - 1\right)$ , og $\dfrac{e^{kh} - 1}{h} = k \cdot \dfrac{e^{kh} - 1}{kh}$ nærmar seg $k \cdot 1 = k$ , av same grunn som over. Saman med konstantfaktorregelen gir det

$f(x) = c \cdot e^{kx} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = c \cdot k \cdot e^{kx}$

NB: $e^x$ (og $c \cdot e^x$ ) er dei einaste funksjonane som er sin eigen deriverte. Det er nettopp difor $e$ er det naturlege grunntalet for vekst: farten veksten skjer med, er proporsjonal med kor mykje du har.

✏️Døme 3: Kontinuerleg vekst

Eit fond forvaltar ein kapital som veks kontinuerleg:

$B(t) = 250\,000 \cdot e^{0{,}08t}$

der $B(t)$ er kroner og $t$ er talet på år.

a) Finn $B'(t)$ .

b) Kor fort veks kapitalen ved $t = 0$ og ved $t = 10$ ?

a) Her er

c = 250\,000

k = 0{,}08

. Snøggregelen seier at

k

kjem ned som faktor:

$B'(t) = 250\,000 \cdot 0{,}08 \cdot e^{0{,}08t}$
$B'(t) = 20\,000 \cdot e^{0{,}08t}$

b) Ved $t = 0$ :

$B'(0) = 20\,000 \cdot e^{0} = 20\,000 \cdot 1 = 20\,000$

Ved $t = 10$ :

$B'(10) = 20\,000 \cdot e^{0{,}08 \cdot 10} = 20\,000 \cdot e^{0{,}8} \approx 44\,510{,}82$

Svar: a) $B'(t) = 20\,000 \cdot e^{0{,}08t}$ . b) $20\,000$ kroner per år ved starten, og omtrent $44\,511$ kroner per år etter ti år.

Legg merke til dette: $B(10) = 250\,000 \cdot e^{0{,}8} \approx 556\,385$ kroner, og

$\frac{B'(10)}{B(10)} = \frac{20\,000 \cdot e^{0{,}8}}{250\,000 \cdot e^{0{,}8}} = \frac{20\,000}{250\,000} = 0{,}08$

Den relative vekstfarten er $8\ \%$ — den same heile tida. Det er nettopp det $k$ i eksponenten tyder: den kontinuerlege rentesatsen.

Kapitalen B(t) med tangenten ved t = 10

Den heiltrekte kurva er kapitalen som veks kontinuerleg med 8 prosent. Den stipla linja er tangenten i punktet der t er 10; stigingstalet er den momentane vekstfarten, omtrent 44 511 kroner per år.

B(t) = 250\,000e^{0{,}08t}

tangent i $t = 10$

📝Oppgave 6.3.4

Deriver, og svar på spørsmåla.

f(x) = e^x

f(x) = 5e^x

Ein konto har beløpet $B(t) = 40\,000 \cdot e^{0{,}05t}$ kroner etter $t$ år. Finn $B'(t)$ .

Rekn ut $B'(0)$ og $B'(20)$ . Rund av til næraste krone.

Rekn ut $\displaystyle \frac{B'(20)}{B(20)}$ , og forklar resultatet.

Undersøk med rekneark eller kalkulator: rekn ut $\dfrac{e^h - 1}{h}$ for $h = 0{,}1$ , $h = 0{,}01$ og $h = 0{,}001$ . Kva nærmar talet seg, og kva tyder det for $(e^x)'$ ?

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Logaritmisk kostnadsmodell

Ei bedrift har kostnadene

$K(x) = 400 \ln x + 25x$

kroner ved $x$ einingar, for $x \ge 1$ (for $x < 1$ blir $\ln x$ negativ, og modellen gir inga meining).

a) Finn $K'(x)$ .

b) Rekn ut $K'(50)$ og $K'(100)$ , og forklar kva samanlikninga viser.

a) Vi deriverer ledd for ledd. Konstantfaktoren

400

blir ståande, og

\ln x

blir derivert til

\displaystyle \frac{1}{x}

$400 \ln x \quad \longrightarrow \quad 400 \cdot \frac{1}{x} = \frac{400}{x}$
$25x \quad \longrightarrow \quad 25$

$K'(x) = \frac{400}{x} + 25$

b) Vi set inn:

$K'(50) = \frac{400}{50} + 25 = 8 + 25 = 33$
$K'(100) = \frac{400}{100} + 25 = 4 + 25 = 29$

Koordinatsystem med talet på einingar x frå 0 til 200 og kroner per eining frå 0 til 60. Ei blå kurve merkt K'(x) søkk bratt frå venstre og flatar ut mot høgre. To punkt er markerte og namngitte: (50, 33) og (100, 29). Ei grå stipla vassrett linje ligg ved 25 kroner og er merkt «golvet: 25 kr»; kurva nærmar seg henne utan å nå henne.

Grensekostnaden $\displaystyle K'(x) = \frac{400}{x} + 25$ kjem aldri under 25 kroner. Brøken blir liten, men aldri null — og det er nettopp ein asymptote.

Svar: a) $K'(x) = \dfrac{400}{x} + 25$ . b) $K'(50) = 33$ og $K'(100) = 29$ kroner per eining.

Samanlikninga viser at kostnaden ved éi eining til søkk når produksjonen aukar — frå 33 til 29 kroner. Det er stordriftsfordelar: logaritmeleddet veks saktare og saktare, medan $25x$ -leddet veks jamt. Uansett kor stor produksjonen blir, kjem $K'$ aldri under 25 kroner, for $\displaystyle \frac{400}{x}$ er positiv for alle $x \ge 1$ .

📝Oppgave 6.3.5

Deriver, og tolk resultata. Alle funksjonane gjeld for $x > 0$ .

f(x) = \ln x

f(x) = 300 \ln x

Ein nettbutikk får $N(x) = 120 + 45 \ln x$ nye kundar per månad når dei brukar $x$ tusen kroner på annonsar. Finn $N'(x)$ .

Rekn ut $N'(10)$ og $N'(100)$ .

Butikken vurderer å tidoble annonsebudsjettet frå 10 000 til 100 000 kroner. Kva fortel svara i d) om den siste tusenlappen?

Undersøk med rekneark eller kalkulator: rekn ut $\dfrac{\ln(2 + h) - \ln 2}{h}$ for $h = 0{,}1$ , $h = 0{,}01$ og $h = 0{,}001$ . Samanlikn med $f'(2)$ frå a).

Løs oppgaven

✏️Døme 5: Overskotet sett saman av inntekt og kostnad

Ei bedrift har

$I(x) = 80x - 0{,}04x^2 \qquad \text{og} \qquad K(x) = 0{,}01x^2 + 20x + 7000$

begge i kroner ved $x$ einingar.

a) Finn overskotsfunksjonen $O(x)$ og $O'(x)$ .

b) Løys likninga $O'(x) = 0$ .

c) Rekn ut $I'$ og $K'$ i den $x$ -verdien du fann, og forklar kva du ser.

a) Overskotet er inntekta minus kostnadene:

$O(x) = I(x) - K(x)$
$O(x) = (80x - 0{,}04x^2) - (0{,}01x^2 + 20x + 7000)$

Vi løyser opp parentesen — hugs at minus framfor snur alle forteikna inni:

$O(x) = 80x - 0{,}04x^2 - 0{,}01x^2 - 20x - 7000$
$O(x) = -0{,}05x^2 + 60x - 7000$

Så deriverer vi ledd for ledd:

$O'(x) = -0{,}1x + 60$

b) Vi løyser likninga:

$-0{,}1x + 60 = 0 \qquad | -60$
$-0{,}1x = -60 \qquad | : (-0{,}1)$
$x = 600$

$O$ er ein parabel som vender nedover ( $a = -0{,}05 < 0$ ), så $x = 600$ er eit toppunkt og ikkje eit botnpunkt — det er der overskotet er størst.

c) Vi deriverer kvar for seg og set inn $x = 600$ :

$I'(x) = 80 - 0{,}08x \quad \Longrightarrow \quad I'(600) = 80 - 48 = 32$
$K'(x) = 0{,}02x + 20 \quad \Longrightarrow \quad K'(600) = 12 + 20 = 32$

Dei er like.

Svar: a) $O(x) = -0{,}05x^2 + 60x - 7000$ og $O'(x) = -0{,}1x + 60$ . b) $x = 600$ . c) $I'(600) = K'(600) = 32$ kroner per eining.

Dette er ikkje tilfeldig. Sidan $O' = I' - K'$ , gjeld

$O'(x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad I'(x) = K'(x)$

Overskotet er størst der grenseinntekta er lik grensekostnaden. Den neste eininga kostar nøyaktig like mykje som ho gir. Vi kjem tilbake til dette i 6.5.

Oppsummering — reglane samla

Kvar regel i tabellen er utleidd eller grunngitt tidlegare i kapittelet: potensregelen i utleiinga av $(x^3)'$ , dei tre neste i oppgåve 6.3.1, og $e^x$ , $e^{kx}$ og $\ln x$ i boksen om eksponentialfunksjonen og logaritmen.

$f(x)$	$f'(x)$
$c$ (konstant)	$0$
$x^n$	$n \cdot x^{\,n-1}$
$c \cdot g(x)$	$c \cdot g'(x)$
$u(x) \pm v(x)$	$u'(x) \pm v'(x)$
$e^x$	$e^x$
$e^{kx}$	$k \cdot e^{kx}$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$

Arbeidsmåten:
1. Skriv om brøkar og røter til potensform.
2. Deriver ledd for ledd. Konstantfaktorar blir ståande.
3. Skriv om tilbake til brøk eller rot dersom svaret skal vere pent.
4. Kontroller med eit tal dersom du er usikker.
Vanlege feil:
- Gløyme at

x

x^1

, og derivere

5x

til

5x

i staden for

5

.
- Rekne eksponenten feil for negative tal:

-2 - 1

-3

, ikkje

-1

- La konstantleddet bli ståande. Det blir derivert til $0$ .

📝Oppgave 6.3.6

Ei bedrift har kostnadene $K(x) = 0{,}01x^2 + 20x + 5000$ kroner og inntekta $I(x) = 60x - 0{,}03x^2$ kroner ved $x$ einingar.

Finn overskotsfunksjonen $O(x)$ .

Finn $O'(x)$ .

Løys likninga $O'(x) = 0$ .

Rekn ut det største overskotet.

Vis at $I'(500) = K'(500)$ , og forklar kvifor det måtte bli slik.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6.3.7

Del 2 — digitale verktøy. Ein kapital veks kontinuerleg etter modellen

$B(t) = 80\,000 \cdot e^{0{,}042t}$

kroner etter $t$ år.

Finn $B'(t)$ for hand, og kontroller svaret i CAS.

Kor fort veks kapitalen i starten?

Kor stor er kapitalen etter 15 år, og kor fort veks han då? Rund av til næraste krone.

Vis at $\dfrac{B'(t)}{B(t)}$ er det same talet for alle $t$ . Kva tal er det?

Ein rådgivar seier: «Kontoen veks med 4,2 % i året, så etter 15 år har han vakse med $15 \cdot 4{,}2\ \% = 63\ \%$ .» Vurder påstanden.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.