6.2 Momentan vekstfart og den deriverte | Matematikk for økonomi

Frå sekant til tangent; den deriverte som momentan endring.

45 min

6 oppgaver

Momentan vekstfartDen deriverte

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Frå heile intervallet til eitt punkt

I 6.1 rekna vi ut vekstfarten over eit intervall. Men ein bedriftsleiar spør sjeldan «kva har kostnaden vakse med i gjennomsnitt dei siste hundre einingane?». Ho spør: «Kva kostar det oss å lage éi eining til — akkurat no?»

Det er eit spørsmål om vekstfarten i eitt bestemt punkt. Vi kallar han momentan vekstfart (av latin momentum, «augneblink»).

Problemet er at formelen vår ikkje toler det. Set vi $a = b$ , blir nemnaren $b - a = 0$ , og vi kan ikkje dele på null. Løysinga er ikkje å setje dei like, men å la dei nærme seg kvarandre og sjå kvar svaret hamnar.

La intervallet krympe

Vi held det eine punktet fast i $x = a$ og flyttar det andre nærmare og nærmare. Kallar vi avstanden mellom dei $h$ , blir det andre punktet $a + h$ , og den gjennomsnittlege vekstfarten er

$\frac{f(a + h) - f(a)}{(a + h) - a} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

(Nemnaren: $(a + h) - a = h$ . Vi skriv vanlegvis ikkje mellomrekninga, men ho er verd å sjå éin gong — det er difor $h$ står åleine nede.)

Så gjer vi $h$ mindre og mindre og ser kva brøken nærmar seg.

✏️Døme 1: Vi lèt intervallet krympe (bakeriet frå 6.1)

Bakeriet har kostnadene $K(x) = 0{,}05x^2 + 12x + 4000$ kroner per dag ved $x$ brød.

Undersøk kva den gjennomsnittlege vekstfarten frå $x = 100$ nærmar seg når intervallet krympar.

Vi har $K(100) = 5700$ frå 6.1. Så reknar vi ut den gjennomsnittlege vekstfarten for stadig mindre $h$ :

$h$	$K(100 + h)$	$\dfrac{K(100+h) - K(100)}{h}$
$10$	$5925$	$22{,}5$
$1$	$5722{,}05$	$22{,}05$
$0{,}1$	$5702{,}2005$	$22{,}005$
$0{,}01$	$5700{,}220005$	$22{,}0005$
$0{,}001$	$5700{,}02200005$	$22{,}00005$

Tala i siste kolonne nærmar seg

22

, og dei kjem nærmare for kvart steg.

Tre panel på rad, merkte A, B og C frå venstre. Alle tre har talmerkte aksar og viser den same kostnadskurva K(x) i blått og ein raud sekant frå punktet ved x lik 100, men i stadig trongare vindauge: x frå 97 til 113 i A, frå 99,7 til 101,3 i B og frå 99,97 til 100,13 i C — altså h = 10, h = 1 og h = 0,1. Stigingstalet til sekanten er merkt 22,5 i panel A, 22,05 i panel B og 22,005 i panel C. Kurva og sekanten ligg så tett saman at dei ikkje kan skiljast med auga i nokon av panela; det er aksetala og dei tre stigingstala som viser krympinga.

Krympetabellen som bilete: $22{,}5 \to 22{,}05 \to 22{,}005$ , på veg mot $K'(100) = 22$ . Grenseverdien er ikkje noko ein må tru på — han er noko ein ser.
Svar: Den momentane vekstfarten i

x = 100

ser ut til å vere

22

kroner per brød.
NB: Vi har ikkje bevist noko her — vi har sett ein tendens. Neste døme viser korleis vi reknar ut talet eksakt, utan å prøve oss fram.

📝Oppgave 6.2.1

Gjer den same undersøkinga for kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 30x + 5000$ kroner, med utgangspunkt i $x = 150$ . Du får bruke kalkulator eller rekneark.

Rekn ut $K(150)$ .

Finn den gjennomsnittlege vekstfarten frå $x = 150$ med $h = 10$ .

Gjenta med $h = 1$ .

Gjenta med $h = 0{,}1$ .

Kva tal nærmar vekstfarten seg?

Løs oppgaven

Den deriverte

f

✏️Døme 2: Den deriverte rekna ut frå definisjonen

Bruk definisjonen til å finne $K'(x)$ når $K(x) = 0{,}05x^2 + 12x + 4000$ . Finn så $K'(100)$ .

Kva veit vi? Vi skal setje opp brøken

\dfrac{K(x + h) - K(x)}{h}

, forenkle han så langt at

h

forsvinn frå nemnaren, og så la

h

gå mot null.

Finn $K(x + h)$ . Overalt der det står $x$ , set vi inn $x + h$ :

$K(x + h) = 0{,}05(x + h)^2 + 12(x + h) + 4000$
$K(x + h) = 0{,}05(x^2 + 2xh + h^2) + 12x + 12h + 4000$
$K(x + h) = 0{,}05x^2 + 0{,}1xh + 0{,}05h^2 + 12x + 12h + 4000$

Trekk frå $K(x)$ . Alle ledd utan $h$ står i begge uttrykka og fell bort.

$K(x + h) - K(x) = 0{,}1xh + 0{,}05h^2 + 12h$

Del på $h$ . Kvart ledd har ein faktor $h$ , så vi kan forkorte:

$\frac{K(x+h) - K(x)}{h} = \frac{h(0{,}1x + 0{,}05h + 12)}{h} = 0{,}1x + 0{,}05h + 12$

La $h$ gå mot null. No står $h$ berre i eitt ledd, og $0{,}05h$ blir mindre og mindre:

$K'(x) = \lim_{h \to 0} \left(0{,}1x + 0{,}05h + 12\right) = 0{,}1x + 12$

Set inn $x = 100$ .

$K'(100) = 0{,}1 \cdot 100 + 12 = 10 + 12 = 22$

Svar: $K'(x) = 0{,}1x + 12$ , og $K'(100) = 22$ kroner per brød.

Det er nøyaktig talet vi nærma oss i Døme 1 — men no veit vi det, vi gjettar det ikkje.

📝Oppgave 6.2.2

Bruk definisjonen av den deriverte på funksjonen $f(x) = 3x^2 - 5x$ . Følg dei same stega som i Døme 2.

Set opp $f(x + h)$ og gong ut.

Rekn ut $f(x + h) - f(x)$ .

Del på $h$ og forkort.

La $h \to 0$ og skriv opp $f'(x)$ .

Finn $f'(4)$ .

Løs oppgaven

Kva den deriverte tyder i økonomi

Den deriverte har same eining som den gjennomsnittlege vekstfarten: eininga til $f$ per eining til $x$ .

Funksjon	Den deriverte	Tolking
$K(x)$ — kostnad ved $x$ einingar	$K'(x)$	kostnaden ved å lage éi eining til (grensekostnad, 6.5)
$I(x)$ — inntekt ved $x$ einingar	$I'(x)$	inntekta av å selje éi eining til (grenseinntekt, 6.5)
$O(x)$ — overskot ved $x$ einingar	$O'(x)$	kor mykje overskotet endrar seg av éi eining til
$q(p)$ — etterspurnad ved pris $p$	$q'(p)$	kor mange færre einingar vi sel per krone prisauke

Forteiknet ber bodskapen:
-

f'(a) > 0

— funksjonen veks i

a

.
-

f'(a) < 0

— funksjonen søkk i

a

.
-

f'(a) = 0

— funksjonen står stille akkurat der. Dette punktet skal vi jakte på i 6.4.

✏️Døme 3: Kva 22 kroner eigentleg tyder

Bakeriet har $K'(x) = 0{,}1x + 12$ , og vi fann $K'(100) = 22$ kroner per brød.

Kor mykje aukar kostnaden faktisk dersom dei bakar brød nummer 101?

Den eksakte auken er differansen mellom kostnaden ved 101 og ved 100 brød:

$K(101) - K(100) = 5722{,}05 - 5700 = 22{,}05$

Den deriverte sa $22$ kroner.

Skilnaden er $5$ øre. Den deriverte er altså ikkje det nøyaktige svaret på «kva kostar brød nummer 101», men han er svært nær — og han er mykje lettare å rekne med, fordi vi får ein formel som gjeld for alle $x$ på éin gong.

Svar: Kostnaden aukar med $22{,}05$ kroner. Den deriverte, $22$ kroner, er ei god tilnærming.

Slik blir den deriverte brukt i økonomi: som kostnaden ved den neste eininga. Vi kjem tilbake til dette som grensekostnad i 6.5.

📝Oppgave 6.2.3

Forklar i kvart tilfelle kva talet tyder for bedrifta. Hugs eininga.

Ei bedrift har $K'(500) = 84$ , der $K(x)$ er kroner og $x$ er talet på einingar.

Den same bedrifta har $I'(500) = 120$ .

Kva blir $O'(500)$ , og kva fortel det?

For ei anna vare er $q'(60) = -14$ , der $q(p)$ er talet på selde einingar ved prisen $p$ kroner.

Ei tredje bedrift har $O'(900) = -25$ . Bør dei produsere meir eller mindre enn 900 einingar?

Løs oppgaven

Sekanten blir ein tangent

I 6.1 såg vi at den gjennomsnittlege vekstfarten er stigingstalet til sekanten gjennom to punkt på grafen.

Når vi lèt $h \to 0$ , glir det eine punktet inn mot det andre. Sekanten svingar då over i den linja som berre rører ved grafen i eitt punkt — tangenten (av latin tangere, «å røre ved»).

Den deriverte er difor to ting på éin gong:

- momentan vekstfart — kor fort funksjonen endrar seg akkurat der
- stigingstalet til tangenten i punktet

Figuren under viser det: sekantane frå $x = 100$ til $300$ , $200$ , $150$ og $110$ har stigingstal $50$ , $60$ , $65$ og $69$ — og tangenten, heilt inst, har stigingstal $70$ .

Sekantane nærmar seg tangenten i x = 100

Inntektskurva med fire sekantar frå punktet (100, 8000) ut til stadig nærmare punkt, og tangenten inst. Jo nærmare det andre punktet ligg, desto brattare ligg sekanten — heilt til han fell saman med tangenten.

I(x) = 90x - 0{,}1x^2

sekant til $x=300$ ( $a = 50$ )

sekant til $x=200$ ( $a = 60$ )

sekant til $x=150$ ( $a = 65$ )

sekant til $x=110$ ( $a = 69$ )

tangent i $x=100$ ( $a = 70$ )

✏️Døme 4: Tangenten til inntektskurva

Ei bedrift har inntektsfunksjonen $I(x) = 90x - 0{,}1x^2$ kroner ved $x$ einingar.

a) Bruk definisjonen til å finne $I'(x)$ .

b) Finn den momentane vekstfarten ved $x = 100$ , og samanlikn med den gjennomsnittlege vekstfarten frå $x = 100$ til $x = 300$ (som vi fann til $50$ i 6.1).

c) Finn likninga for tangenten i punktet $(100, 8000)$ .

a) Vi set inn

x + h

overalt der det står

x

$I(x + h) = 90(x + h) - 0{,}1(x + h)^2$
$I(x + h) = 90x + 90h - 0{,}1(x^2 + 2xh + h^2)$
$I(x + h) = 90x + 90h - 0{,}1x^2 - 0{,}2xh - 0{,}1h^2$

Trekkjer vi frå $I(x) = 90x - 0{,}1x^2$ , blir det att:

$I(x + h) - I(x) = 90h - 0{,}2xh - 0{,}1h^2$

Vi deler på $h$ og forkortar:

$\frac{I(x+h) - I(x)}{h} = \frac{h(90 - 0{,}2x - 0{,}1h)}{h} = 90 - 0{,}2x - 0{,}1h$

Og lèt $h$ gå mot null:

$I'(x) = 90 - 0{,}2x$

b) Vi set inn $x = 100$ :

$I'(100) = 90 - 0{,}2 \cdot 100 = 90 - 20 = 70$

Den momentane vekstfarten er $70$ kroner per eining, medan gjennomsnittet over heile intervallet frå 100 til 300 var $50$ kroner per eining.

At den momentane er størst, stemmer med figuren: kurva er brattast i starten av intervallet og flatar ut mot slutten. Gjennomsnittet ligg imellom.

c) Tangenten er ei rett linje $y = ax + b$ med $a = I'(100) = 70$ . Han går gjennom $(100,\ 8000)$ :

$8000 = 70 \cdot 100 + b$
$8000 = 7000 + b \qquad | -7000$
$b = 1000$

Svar: a) $I'(x) = 90 - 0{,}2x$ . b) $I'(100) = 70$ kroner per eining, mot $50$ i gjennomsnitt over $[100,\ 300]$ . c) $y = 70x + 1000$ .

📝Oppgave 6.2.4

Ei bedrift har inntektsfunksjonen $I(x) = -0{,}2x^2 + 40x$ kroner ved $x$ einingar. Det er opplyst at $I'(x) = -0{,}4x + 40$ .

Rekn ut $I(50)$ .

Finn den momentane vekstfarten ved $x = 50$ .

Finn likninga for tangenten i punktet $(50,\ 1500)$ .

Finn $I'(100)$ , og forklar kva svaret tyder.

Kva skjer med inntekta dersom bedrifta sel meir enn 100 einingar?

Løs oppgaven

✏️Døme 5: Momentan vekstfart med digitale verktøy (Del 2)

Fabrikken frå 6.1 har kostnadene

$K(x) = 0{,}01x^3 - 1{,}5x^2 + 90x + 2500$

Bruk CAS til å finne $K'(x)$ og $K'(50)$ , og samanlikn med den gjennomsnittlege vekstfarten på intervalla rundt $x = 50$ .

Definer funksjonen i CAS (kolon-likskapsteikn definerer, eitt likskapsteikn ville ha laga ei likning):

K(x):=0.01x^3-1.5x^2+90x+2500

La CAS derivere.

K'(x)

Svaret blir

$K'(x) = 0{,}03x^2 - 3x + 90$

Set inn verdien.

K'(50)

gir $15$ .

Kontroll for hand (han har eit poeng — han avslører om vi har tasta feil):

$K'(50) = 0{,}03 \cdot 50^2 - 3 \cdot 50 + 90 = 0{,}03 \cdot 2500 - 150 + 90 = 75 - 150 + 90 = 15$

Samanlikning. I 6.1 fann vi den gjennomsnittlege vekstfarten på intervalla rundt $x = 50$ :

$\frac{K(50) - K(40)}{10} = \frac{K(60) - K(50)}{10} = 16$

Den momentane vekstfarten i $x = 50$ er $15$ kroner per eining — litt lågare, fordi grafen til $K$ er på det slakaste nettopp i $x = 50$ .

Svar: $K'(x) = 0{,}03x^2 - 3x + 90$ og $K'(50) = 15$ kroner per eining.

Oppsummering

- Momentan vekstfart = vekstfarten i eitt punkt = den deriverte:
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
- Rekneoppskrifta frå definisjonen: set inn $x + h$ → trekk frå $f(x)$ → del på $h$ og forkort → la $h \to 0$ .
- Den deriverte er også stigingstalet til tangenten i punktet.
- Tangentlikninga: $y = ax + b$ der $a = f'(x_1)$ , og $b$ blir funne ved å setje punktet inn.
- Eininga er den same som for den gjennomsnittlege vekstfarten.
- I økonomi blir $f'(x)$ lese som «endringa ved éi eining til» — grensekostnad, grenseinntekt (6.5).
- Forteiknet: $f' > 0$ veks, $f' < 0$ søkk, $f' = 0$ står stille.

Å derivere frå definisjonen kvar gong er tungt. I 6.3 lærer vi reglane som gjer det til nokre få linjer.

📝Oppgave 6.2.5

Overskotet til bedrifta frå 6.1 er $O(x) = -0{,}5x^2 + 60x - 800$ kroner ved $x$ einingar. Det er opplyst at $O'(x) = -x + 60$ .

I 6.1 fann vi at den gjennomsnittlege vekstfarten frå $x = 20$ til $x = 50$ er $25$ kr per eining. Finn den momentane vekstfarten i begge endepunkta.

Forklar kvifor gjennomsnittet $25$ ligg mellom $40$ og $10$ .

Finn den $x$ -verdien der den momentane vekstfarten er nøyaktig lik gjennomsnittet $25$ .

Løys likninga $O'(x) = 0$ , og forklar kva løysinga tyder for bedrifta.

Skriv opp likninga for tangenten i toppunktet, og forklar kvifor han ser ut som han gjer.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6.2.6

Del 2 — digitale verktøy. Ein fabrikk har kostnadene

$K(x) = 0{,}005x^3 - 0{,}9x^2 + 70x + 9000$

kroner når han produserer $x$ einingar, for $0 \le x \le 120$ .

Bruk CAS til å finne $K'(x)$ .

Rekn ut $K'(40)$ og $K'(80)$ .

Teikn grafen til $K'$ og finn den $x$ -verdien der $K'$ er minst.

Kontroller svaret i c) ved å rekne ut $K(61) - K(60)$ .

Ein rådgivar seier: «Produser 60 einingar, for der er kostnadene lågast.» Vurder påstanden.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.