4.3 Effektiv rente når lånet har gebyr

a) Kva veit vi? $K_0 = 300\,000$ kr, $v = 1{,}06$, $n = 5$.

Terminbeløpet blir rekna av heile lånebeløpet:

$\displaystyle T = K_0 \cdot \frac{v - 1}{1 - v^{-n}}$

$\displaystyle T = 300\,000 \cdot \frac{0{,}06}{1 - 1{,}06^{-5}}$

$T \approx 71\,218{,}92$

Utbetalt beløp er lånet minus etableringsgebyret:

$300\,000 - 2\,500 = 297\,500$

Svar: Terminbeløpet er $71\,218{,}92$ kr, og låntakaren får $297\,500$ kr utbetalt.

b) Kva må vi finne? Renta $i$ som gjer at fem innbetalingar på $71\,218{,}92$ kr er verd nøyaktig $297\,500$ kr i dag.

Vi set opp likninga:

$\displaystyle 297\,500 = 71\,218{,}92 \cdot \frac{1 - (1+i)^{-5}}{i}$

Her står $i$ både i eksponenten og i nemnaren. Vi løyser ho numerisk.

Med CAS:

f(i) := 71218.92*(1 - (1 + i)^(-5))/i
f(i) = 297500

Vi trykkjer Løs numerisk, og får $i \approx 0{,}063084$.

Sidan terminane er årlege, er $m = 1$, og den årlege effektive renta er renta per termin:

$p_{\text{eff}} = 6{,}3084\,\%$

Svar: Den årlege effektive renta er omtrent $6{,}31\,\%$.

(Førast ikkje) Kontroll: set vi $i = 0{,}06$ inn i høgresida, får vi $300\,000$ kr — altså heile lånebeløpet, som er akkurat det vi skulle vente når gebyret er borte. At svaret vart litt over $6\,\%$, stemmer også med retninga: låntakaren betaler for $300\,000$ kr, men fekk berre $297\,500$ kr.

NB: $2\,500$ kr av $300\,000$ kr er under éin prosent av lånet, men løfta renta med over $0{,}3$ prosentpoeng. Grunnen er at gebyret blir betalt med ein gong, medan renta fordeler seg over fem år.

Kva veit vi? $K_0 = 2\,000\,000$, $p = 5{,}4$, $m = 12$, $t = 20$ år.

Vi legg føresetnadene i eigne celler, så dei berre står éin stad og er lette å endre:

$i \approx 0{,}00459525$

altså $0{,}4595\,\%$ per månad, mot den nominelle terminrenta på $0{,}45\,\%$.
Til slutt reknar vi om til årleg effektiv rente i B15:

=((1+B12)^B5-1)*100

T := 2000000*0.0045/(1 - 1.0045^(-240))
f(i) := (T + 60)*(1 - (1 + i)^(-240))/i
f(i) = 1990000

Løs numerisk gir $i \approx 0{,}00459525$, og

((1 + 0.00459525)^12 - 1)*100

Gebyra løftar ho altså $0{,}1201$ prosentpoeng. Det høyrest lite ut, men gebyra utgjer $10\,000 + 240 \cdot 60 = 24\,400$ kr i kroner og øre.

Kva må vi finne? Den årlege effektive renta for begge tilboda — det er det einaste talet som gjer dei samanliknbare.

Vi gjer nøyaktig det same reknestykket to gonger. Legg merke til at linjestrukturen er identisk; berre tala flyttar seg.

Bank A ($p = 5{,}20$, $m = 12$, $n = 180$):

$\displaystyle v = 1 + \frac{5{,}20}{1200} \approx 1{,}004333$

$\displaystyle T = 1\,000\,000 \cdot \frac{0{,}052/12}{1 - (1 + 0{,}052/12)^{-180}} \approx 8\,012{,}51$ (med den avrunda $0{,}004333$ blir det $8\,012{,}30$ — bruk brøken eller kalkulatorminnet)

Betaling per termin: $8\,012{,}51 + 50 = 8\,062{,}51$

Utbetalt: $1\,000\,000 - 3\,000 = 997\,000$

Likninga $\displaystyle 997\,000 = 8\,062{,}51 \cdot \frac{1 - (1+i)^{-180}}{i}$ gir $i \approx 0{,}004451$, og

$p_{\text{eff}} \approx 5{,}4738\,\%$

Bank B ($p = 4{,}95$, $m = 12$, $n = 180$):

$\displaystyle v = 1 + \frac{4{,}95}{1200} = 1{,}004125$

$\displaystyle T = 1\,000\,000 \cdot \frac{0{,}004125}{1 - 1{,}004125^{-180}} \approx 7\,881{,}91$

Betaling per termin: $7\,881{,}91 + 75 = 7\,956{,}91$

Utbetalt: $1\,000\,000 - 12\,000 = 988\,000$

Likninga $\displaystyle 988\,000 = 7\,956{,}91 \cdot \frac{1 - (1+i)^{-180}}{i}$ gir

$p_{\text{eff}} \approx 5{,}4077\,\%$

Bank B tek meir enn dobbelt så mykje i gebyr, men har likevel lågast effektiv rente. Det er difor gebyra ikkje kan samanliknast for seg — dei $0{,}25$ prosentpoenga lågare rente er verd meir enn dei $13\,500$ kronene ekstra.

Svar: Bank B har lågast effektiv rente og er det beste tilbodet, med $0{,}0662$ prosentpoeng.

Kontroll i kroner:

$$\text{Bank A: } 180 \cdot (T + g) - 997\,000 \approx 454\,252{,}06$$
$$\text{Bank B: } 180 \cdot (T + g) - 988\,000 \approx 444\,244{,}65$$

Bank B er $10\,007{,}41$ kr billigare — same konklusjon.

NB: Bank B har fire gonger så høgt etableringsgebyr og halvannan gong så høgt termingebyr, og vinn likevel. Grunnen er at $0{,}25$ prosentpoeng lågare rente på ein million kroner i femten år er verd langt meir enn dei $13\,500$ kr Bank B tek meir i gebyr — $9\,000$ kr meir i etableringsgebyr og $25$ kr meir i kvar av dei 180 terminane. Det er nettopp difor vi reknar ut den effektive renta i staden for å samanlikne gebyra for seg og rentene for seg.

Kva veit vi? $K_0 = 50\,000$, $p = 12$, $m = 12$, $n = 12$.

Renta per termin:

$\displaystyle \frac{12\,\%}{12} = 1\,\% \quad\Rightarrow\quad v = 1{,}01$

Terminbeløpet:

$\displaystyle T = 50\,000 \cdot \frac{0{,}01}{1 - 1{,}01^{-12}} \approx 4\,442{,}44$

Betaling per termin med gebyr:

$4\,442{,}44 + 45 = 4\,487{,}44$

Utbetalt beløp:

$50\,000 - 950 = 49\,050$

Likninga blir

$\displaystyle 49\,050 = 4\,487{,}44 \cdot \frac{1 - (1+i)^{-12}}{i}$

Løyst numerisk: $i \approx 0{,}014662$, altså $1{,}4662\,\%$ per månad. Vi reknar vidare med den uavrunda verdien frå kalkulatorminnet.

$p_{\text{eff}} = \left[(1+i)^{12} - 1\right] \cdot 100\,\% \approx 19{,}085\,\%$

Svar: Den årlege effektive renta er omtrent $19{,}08\,\%$.

NB: Avtalen seier $12\,\%$. Utan gebyr ville den effektive renta ha vore $12{,}6825\,\%$ — den vesle skilnaden kjem av månadleg rentetilskriving, akkurat som i kapittel 1.4. Gebyra åleine løftar renta med $6{,}40$ prosentpoeng.

Kvifor så mykje? Fordi gebyra er dei same uansett kor stort lånet er, medan renta er ein del av lånet. Dei same gebyra på eit lån på $500\,000$ kr over eitt år gir $13{,}30\,\%$ effektiv rente — eit løft på berre $0{,}62$ prosentpoeng. Faste gebyr råkar små og korte lån hardast. Det er hovudgrunnen til at forbrukslån kan ha effektiv rente langt over den nominelle.

Kor mykje gebyra løftar den effektive renta. Gebyra er dei same i begge tilfella, men dei utgjer ti gonger så mykje på det vesle lånet — faste gebyr råkar små og korte lån hardast.

Kva må vi finne? Den nominelle renta $p$ som gir same effektive rente, når det ikkje er gebyr.

Utan gebyr er den effektive renta berre verknaden av månadleg tilskriving, slik vi såg i kapittel 1.4:

$\displaystyle \left(1 + \frac{p}{1200}\right)^{12} = 1 + \frac{p_{\text{eff}}}{100}$

$\displaystyle \left(1 + \frac{p}{1200}\right)^{12} = 1{,}0565582$

Vi tek den tolvte rota på begge sider:

$\displaystyle 1 + \frac{p}{1200} = 1{,}0565582^{\frac{1}{12}} \approx 1{,}0045952$

Vi trekkjer frå $1$ på begge sider:

$\displaystyle \frac{p}{1200} = 0{,}0045952$

Vi gongar med $1200$ på begge sider:

$p \approx 5{,}5143$

Svar: Den gebyrfrie banken kan ha opptil $5{,}5143\,\%$ nominell rente og likevel vere like god.

NB: Gebyra i Døme 2 er altså verd $5{,}5143 - 5{,}4 = 0{,}1143$ prosentpoeng i nominell rente. Dette er ein nyttig måte å tenkje på: gebyr kan alltid omsetjast til rente. Ser du ein annonse med «låg rente» og ein annan med «ingen gebyr», er det den effektive renta som fortel kva for ein som faktisk er billigast.

(Førast ikkje) Kontroll: eit gebyrfritt lån på $2\,000\,000$ kr til $5{,}5143\,\%$ nominelt gir terminbeløp $13\,773{,}90$ kr — meir enn dei $13\,705{,}03$ kr som blir betalte på lånet med gebyr. Men på det gebyrfrie lånet får låntakaren utbetalt heile $2\,000\,000$ kr, ikkje $1\,990\,000$ kr. Effektiv rente blir $5{,}6558\,\%$ i begge tilfella — akkurat som det skal vere.