5.1 Lineære budsjettvilkår

Hva vet vi? Brus koster 15 kr per flaske, boller 25 kr per stykk, og til sammen har de 600 kr.

Hva må vi finne? En ulikhet som sier at samlet pris ikke overstiger 600 kr.

Prisen for brusen er $15 \cdot x$, og prisen for bollene er $25 \cdot y$. Til sammen:

$$15x + 25y \le 600$$

I tillegg er $x \ge 0$ og $y \ge 0$, for de kan ikke kjøpe et negativt antall.

Svar: $15x + 25y \le 600$, $x \ge 0$, $y \ge 0$.

b) Vi bytter ulikhetstegnet med likhetstegn og ser på linjen $15x + 25y = 600$.

Skjæring med $x$-aksen ($y = 0$):

$$15x + 25 \cdot 0 = 600$$
$$15x = 600 \qquad | \; : 15$$
$$x = 40$$

Skjæring med $y$-aksen ($x = 0$):

$$15 \cdot 0 + 25y = 600$$
$$25y = 600 \qquad | \; : 25$$
$$y = 24$$

Svar: Linjen går gjennom $(40, 0)$ og $(0, 24)$.

c) Vi tegner linjen mellom $(0, 24)$ og $(40, 0)$ og gjør origotesten:

$$15 \cdot 0 + 25 \cdot 0 = 0$$

og $0 \le 600$ er sant. Origo ligger altså i området, så vi skraverer trekanten mellom linjen og de to aksene.

Det lovlige området er trekanten mellom budsjettlinja og de to aksene. Origo ligger i området — $15 \cdot 0 + 25 \cdot 0 = 0$, og $0 \le 600$ er sant — så vi skraverer inn mot origo.

Svar: Det lovlige området er trekanten med hjørnene $(0, 0)$, $(40, 0)$ og $(0, 24)$.

d) Vi setter $x = 20$ og $y = 12$ inn i ulikheten:

$$15 \cdot 20 + 25 \cdot 12 = 300 + 300 = 600$$

og $600 \le 600$ er sant.

Svar: Ja, de kan kjøpe 20 flasker brus og 12 boller. Legg merke til at de da bruker akkurat alle pengene — punktet $(20, 12)$ ligger på selve linjen, ikke inni området.

Plassen i veksthuset. Sommerblomstene tar $0{,}5 \cdot x$ kvadratmeter og staudene $1 \cdot y$ kvadratmeter. (Vi skriver vanligvis ikke 1-tallet, så vi skriver bare $y$.) Til sammen kan de ikke ta mer enn 60 m²:

$$0{,}5x + y \le 60$$

Pengene. Sommerblomstene koster $80x$ kroner og staudene $120y$ kroner:

$$80x + 120y \le 7200$$

Svar: $0{,}5x + y \le 60$, $80x + 120y \le 7200$, $x \ge 0$, $y \ge 0$.

b) Vi setter $x = 40$ og $y = 30$ inn i begge vilkårene.

Plass:

$$0{,}5 \cdot 40 + 30 = 20 + 30 = 50$$

og $50 \le 60$ er sant.

Penger:

$$80 \cdot 40 + 120 \cdot 30 = 3200 + 3600 = 6800$$

og $6800 \le 7200$ er sant.

Svar: Ja, det er mulig. Begge vilkårene er oppfylt, og de har 10 m² og 400 kr til overs.

c) Nå er $x = 60$, og vi skal finne hvor stor $y$ kan være. Vi tar ett vilkår om gangen.

Plassvilkåret:

$$0{,}5 \cdot 60 + y \le 60$$
$$30 + y \le 60 \qquad | \; - 30$$
$$y \le 30$$

Pengevilkåret:

$$80 \cdot 60 + 120y \le 7200$$
$$4800 + 120y \le 7200 \qquad | \; - 4800$$
$$120y \le 2400 \qquad | \; : 120$$
$$y \le 20$$

Begge må gjelde samtidig. Da er det det strengeste kravet som bestemmer, og $y \le 20$ er strengere enn $y \le 30$.

Svar: Det er plass til høyst 20 kasser stauder. Det er pengene som setter grensen her, ikke plassen — veksthuset har fortsatt 10 m² ledig.

Sagelinjen $2x + 4y = 80$:

- $y = 0$: $2x = 80$, altså $x = 40$. Punktet $(40, 0)$.
- $x = 0$: $4y = 80$, altså $y = 20$. Punktet $(0, 20)$.

Monteringslinjen $4x + 2y = 100$:

- $y = 0$: $4x = 100$, altså $x = 25$. Punktet $(25, 0)$.
- $x = 0$: $2y = 100$, altså $y = 50$. Punktet $(0, 50)$.

b) Nå skal begge vilkårene være oppfylt med likhet, altså begge ressursene brukt fullt ut. Vi løser likningssettet

$$2x + 4y = 80$$
$$4x + 2y = 100$$

Vi bruker addisjonsmetoden. For at leddene med $x$ skal bli like store, ganger vi den første likningen med 2:

$$2x + 4y = 80 \qquad | \; \cdot 2$$
$$4x + 8y = 160$$

Nå har begge likningene $4x$, og vi trekker den andre likningen fra den nye første. Det er lov fordi venstre side av den andre likningen er akkurat like stor som høyre side:

$$(4x + 8y) - (4x + 2y) = 160 - 100$$
$$6y = 60 \qquad | \; : 6$$
$$y = 10$$

Vi setter $y = 10$ inn i den opprinnelige første likningen:

$$2x + 4 \cdot 10 = 80$$
$$2x + 40 = 80 \qquad | \; - 40$$
$$2x = 40 \qquad | \; : 2$$
$$x = 20$$

Svar: Linjene krysser hverandre i $(20, 10)$ — altså 20 krakker og 10 bord, der både alle sagetimene og alle monteringstimene er brukt opp.

c) Vi går rundt kanten av området.

- Origo $(0, 0)$ er med.
- På $y$-aksen: sagelinjen gir $y \le 20$, monteringslinjen gir $y \le 50$. Det strengeste er 20, så hjørnet er $(0, 20)$ — ikke $(0, 50)$.
- Krysningspunktet $(20, 10)$.
- På $x$-aksen: sagelinjen gir $x \le 40$, monteringslinjen gir $x \le 25$. Det strengeste er 25, så hjørnet er $(25, 0)$ — ikke $(40, 0)$.

De fire hjørnepunktene i Eksempel 3. De to åpne ringene er skjæringspunkter som ikke er hjørner: i $(0, 50)$ er monteringstimene brukt opp, men sagelinjen er brutt, og i $(40, 0)$ er det omvendt.

Svar: Hjørnepunktene er $(0, 0)$, $(0, 20)$, $(20, 10)$ og $(25, 0)$.

NB: Punktene $(0, 50)$ og $(40, 0)$ ligger på hver sin linje, men de er ikke hjørnepunkter — det andre vilkåret er brutt der. Sjekk selv: i $(40, 0)$ er $4 \cdot 40 + 2 \cdot 0 = 160 > 100$.

$$3x + 4y = 60$$
$$5x + 2y = 50$$

Vi ganger den andre likningen med 2, slik at begge får $4y$:

$$5x + 2y = 50 \qquad | \; \cdot 2$$
$$10x + 4y = 100$$

Vi trekker den første likningen fra denne:

$$(10x + 4y) - (3x + 4y) = 100 - 60$$
$$7x = 40 \qquad | \; : 7$$
$$x = \frac{40}{7} \approx 5{,}7$$

Vi setter inn i den første likningen:

$$3 \cdot \frac{40}{7} + 4y = 60$$
$$\frac{120}{7} + 4y = 60 \qquad | \; - \frac{120}{7}$$
$$4y = \frac{420}{7} - \frac{120}{7} = \frac{300}{7} \qquad | \; : 4$$
$$y = \frac{75}{7} \approx 10{,}7$$

Svar: Linjene krysser hverandre i $\displaystyle \left(\frac{40}{7}, \frac{75}{7}\right) \approx (5{,}7,\ 10{,}7)$.

b) En kurv og en veske er ting man enten lager eller ikke lager. $5{,}7$ kurver finnes ikke.

Svar: Punktet er matematisk riktig, men praktisk umulig. Det forteller oss likevel at det beste heltallspunktet må ligge like ved.

c) Vi tester hvert punkt mot begge vilkårene.

$(5, 11)$:

$$3 \cdot 5 + 4 \cdot 11 = 15 + 44 = 59 \le 60$$
$$5 \cdot 5 + 2 \cdot 11 = 25 + 22 = 47 \le 50$$

Begge vilkårene er oppfylt, så punktet er lovlig.

$(6, 10)$:

$$3 \cdot 6 + 4 \cdot 10 = 18 + 40 = 58 \le 60$$
$$5 \cdot 6 + 2 \cdot 10 = 30 + 20 = 50 \le 50$$

Begge er oppfylt — stoffet går akkurat opp.

$(6, 11)$:

$$3 \cdot 6 + 4 \cdot 11 = 18 + 44 = 62$$

Her er $62 > 60$. Sykravet er brutt, og punktet er ulovlig.

Krysningspunktet $\displaystyle \left(\frac{40}{7}, \frac{75}{7}\right)$ er ikke et heltallspunkt. Runder vi begge koordinatene oppover, havner vi i $(6, 11)$ — utenfor området. De to grønne punktene er lovlige.

Svar: $(5, 11)$ og $(6, 10)$ er lovlige, mens $(6, 11)$ er ulovlig — syarbeidet sprekker med 2 timer.

NB: Legg merke til hva som skjedde i $(6, 11)$. Vi rundet begge koordinatene oppover fra $(5{,}7,\ 10{,}7)$ og havnet utenfor området. Avrunding er ikke en lovlig metode her; vi må teste.