4.3 Effektiv rente når lånet har gebyr

a) Hva vet vi? $K_0 = 300\,000$ kr, $v = 1{,}06$, $n = 5$.

Terminbeløpet regnes av hele lånebeløpet:

$\displaystyle T = K_0 \cdot \frac{v - 1}{1 - v^{-n}}$

$\displaystyle T = 300\,000 \cdot \frac{0{,}06}{1 - 1{,}06^{-5}}$

$T \approx 71\,218{,}92$

Utbetalt beløp er lånet minus etableringsgebyret:

$300\,000 - 2\,500 = 297\,500$

Svar: Terminbeløpet er $71\,218{,}92$ kr, og låntakeren får $297\,500$ kr utbetalt.

b) Hva må vi finne? Renten $i$ som gjør at fem innbetalinger på $71\,218{,}92$ kr er verdt nøyaktig $297\,500$ kr i dag.

Vi setter opp likningen:

$\displaystyle 297\,500 = 71\,218{,}92 \cdot \frac{1 - (1+i)^{-5}}{i}$

Her står $i$ både i eksponenten og i nevneren. Vi løser den numerisk.

Med CAS:

f(i) := 71218.92*(1 - (1 + i)^(-5))/i
f(i) = 297500

Vi trykker Løs numerisk, og får $i \approx 0{,}063084$.

Siden terminene er årlige, er $m = 1$, og den årlige effektive renten er renten per termin:

$p_{\text{eff}} = 6{,}3084\,\%$

Svar: Den årlige effektive renten er omtrent $6{,}31\,\%$.

(Føres ikke) Kontroll: setter vi $i = 0{,}06$ inn i høyresiden, får vi $300\,000$ kr — altså hele lånebeløpet, som er akkurat det vi skulle forvente når gebyret er borte. At svaret ble litt over $6\,\%$, stemmer også med retningen: låntakeren betaler for $300\,000$ kr, men fikk bare $297\,500$ kr.

NB: $2\,500$ kr av $300\,000$ kr er under én prosent av lånet, men løftet renten med over $0{,}3$ prosentpoeng. Grunnen er at gebyret betales med én gang, mens renten fordeler seg over fem år.

Hva vet vi? $K_0 = 2\,000\,000$, $p = 5{,}4$, $m = 12$, $t = 20$ år.

Vi legger forutsetningene i egne celler, så de bare står ett sted og er lette å endre:

$i \approx 0{,}00459525$

altså $0{,}4595\,\%$ per måned, mot den nominelle terminrenten på $0{,}45\,\%$.
Til slutt regner vi om til årlig effektiv rente i B15:

=((1+B12)^B5-1)*100

T := 2000000*0.0045/(1 - 1.0045^(-240))
f(i) := (T + 60)*(1 - (1 + i)^(-240))/i
f(i) = 1990000

Løs numerisk gir $i \approx 0{,}00459525$, og

((1 + 0.00459525)^12 - 1)*100

Hva må vi finne? Den årlige effektive renten for begge tilbudene — det er det eneste tallet som gjør dem sammenlignbare.

Vi gjør nøyaktig det samme regnestykket to ganger. Legg merke til at linjestrukturen er identisk; bare tallene flytter seg.

Bank A ($p = 5{,}20$, $m = 12$, $n = 180$):

$\displaystyle v = 1 + \frac{5{,}20}{1200} \approx 1{,}004333$

$\displaystyle T = 1\,000\,000 \cdot \frac{0{,}004333}{1 - 1{,}004333^{-180}} \approx 8\,012{,}51$

Betaling per termin: $8\,012{,}51 + 50 = 8\,062{,}51$

Utbetalt: $1\,000\,000 - 3\,000 = 997\,000$

Likningen $\displaystyle 997\,000 = 8\,062{,}51 \cdot \frac{1 - (1+i)^{-180}}{i}$ gir $i \approx 0{,}004451$, og

$p_{\text{eff}} \approx 5{,}4738\,\%$

Bank B ($p = 4{,}95$, $m = 12$, $n = 180$):

$\displaystyle v = 1 + \frac{4{,}95}{1200} = 1{,}004125$

$\displaystyle T = 1\,000\,000 \cdot \frac{0{,}004125}{1 - 1{,}004125^{-180}} \approx 7\,881{,}91$

Betaling per termin: $7\,881{,}91 + 75 = 7\,956{,}91$

Utbetalt: $1\,000\,000 - 12\,000 = 988\,000$

Likningen $\displaystyle 988\,000 = 7\,956{,}91 \cdot \frac{1 - (1+i)^{-180}}{i}$ gir

$p_{\text{eff}} \approx 5{,}4077\,\%$

Bank B tar mer enn dobbelt så mye i gebyrer, men har likevel lavest effektiv rente. Det er derfor gebyrene ikke kan sammenlignes for seg — de $0{,}25$ prosentpoengene lavere rente er verdt mer enn de $13\,500$ kronene ekstra.

Svar: Bank B har lavest effektiv rente og er det beste tilbudet, med $0{,}0662$ prosentpoeng.

Kontroll i kroner: Bank A koster $180 \cdot (T + g) - 997\,000 \approx 454\,252{,}06$ kr, Bank B koster $180 \cdot (T + g) - 988\,000 \approx 444\,244{,}65$ kr. Bank B er $10\,007{,}41$ kr billigere — samme konklusjon.

NB: Bank B har fire ganger så høyt etableringsgebyr og halvannen gang så høyt termingebyr, og vinner likevel. Grunnen er at $0{,}25$ prosentpoeng lavere rente på en million kroner i femten år er verdt langt mer enn de $13\,500$ kr Bank B tar mer i gebyrer — $9\,000$ kr mer i etableringsgebyr og $25$ kr mer i hver av de 180 terminene. Det er nettopp derfor vi regner ut den effektive renten i stedet for å sammenligne gebyrene for seg og rentene for seg.

Hva vet vi? $K_0 = 50\,000$, $p = 12$, $m = 12$, $n = 12$.

Renten per termin:

$\displaystyle \frac{12\,\%}{12} = 1\,\% \quad\Rightarrow\quad v = 1{,}01$

Terminbeløpet:

$\displaystyle T = 50\,000 \cdot \frac{0{,}01}{1 - 1{,}01^{-12}} \approx 4\,442{,}44$

Betaling per termin med gebyr:

$4\,442{,}44 + 45 = 4\,487{,}44$

Utbetalt beløp:

$50\,000 - 950 = 49\,050$

Likningen blir

$\displaystyle 49\,050 = 4\,487{,}44 \cdot \frac{1 - (1+i)^{-12}}{i}$

Løst numerisk: $i \approx 0{,}014662$, altså $1{,}4662\,\%$ per måned.

$p_{\text{eff}} = \left[(1{,}014662)^{12} - 1\right] \cdot 100\,\% \approx 19{,}0848\,\%$

Svar: Den årlige effektive renten er omtrent $19{,}08\,\%$.

NB: Avtalen sier $12\,\%$. Uten gebyrer ville den effektive renten vært $12{,}6825\,\%$ — den lille forskjellen kommer av månedlig rentetilskriving, akkurat som i kapittel 1.4. Gebyrene alene løfter renten med $6{,}40$ prosentpoeng.

Hvorfor så mye? Fordi gebyrene er de samme uansett lånets størrelse, mens renten er en andel av lånet. De samme gebyrene på et lån på $500\,000$ kr over ett år gir $13{,}30\,\%$ effektiv rente — et løft på bare $0{,}62$ prosentpoeng. Faste gebyrer rammer små og korte lån hardest. Det er hovedgrunnen til at forbrukslån kan ha effektiv rente langt over den nominelle.

Hvor mye gebyrene løfter den effektive renten. Gebyrene er de samme i begge tilfellene, men de utgjør ti ganger så mye på det lille lånet — faste gebyrer rammer små og korte lån hardest.

Hva må vi finne? Den nominelle renten $p$ som gir samme effektive rente, når det ikke er gebyrer.

Uten gebyrer er den effektive renten bare virkningen av månedlig tilskriving, slik vi så i kapittel 1.4:

$\displaystyle \left(1 + \frac{p}{1200}\right)^{12} = 1 + \frac{p_{\text{eff}}}{100}$

$\displaystyle \left(1 + \frac{p}{1200}\right)^{12} = 1{,}0565582$

Vi tar den tolvte roten på begge sider:

$\displaystyle 1 + \frac{p}{1200} = 1{,}0565582^{\frac{1}{12}} \approx 1{,}0045952$

Vi trekker fra $1$ på begge sider:

$\displaystyle \frac{p}{1200} = 0{,}0045952$

Vi ganger med $1200$ på begge sider:

$p \approx 5{,}5143$

Svar: Den gebyrfrie banken kan ha opptil $5{,}5143\,\%$ nominell rente og likevel være like god.

NB: Gebyrene i Eksempel 2 er altså verdt $5{,}5143 - 5{,}4 = 0{,}1143$ prosentpoeng i nominell rente. Dette er en nyttig måte å tenke på: gebyrer kan alltid oversettes til rente. Ser du en annonse med «lav rente» og en annen med «ingen gebyrer», er det den effektive renten som forteller hvilken som faktisk er billigst.

(Føres ikke) Kontroll: et gebyrfritt lån på $2\,000\,000$ kr til $5{,}5143\,\%$ nominelt gir terminbeløp $13\,773{,}90$ kr — mer enn de $13\,705{,}03$ kr som betales på lånet med gebyr. Men på det gebyrfrie lånet får låntakeren utbetalt hele $2\,000\,000$ kr, ikke $1\,990\,000$ kr. Effektiv rente blir $5{,}6558\,\%$ i begge tilfeller — akkurat som det skal være.