4.2 Annuitetslån og terminbeløp | Matematikk for økonomi

Terminbeløpet som geometrisk rekkje — utleiing og bruk.

45 min

6 oppgaver

AnnuitetslånTerminbeløp

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Annuitetslån og terminbeløp

Dei aller fleste bustadlån i Noreg er annuitetslån. Namnet kjem av det latinske annus, år, men det avgjerande er dette: du betaler like mykje kvar gong.

Det er praktisk. Låntakaren veit nøyaktig kor mykje som går ut av kontoen den 15. kvar månad, i tjue eller tretti år. Men bak det faste beløpet skjer det noko: i starten går nesten alt til renter, og lite til å betale ned gjelda. Mot slutten er det motsett.

Spørsmålet vi skal svare på, er: kor stort må det faste beløpet vere for at lånet skal vere nedbetalt akkurat når det skal? Svaret kjem frå sumformelen vi prova i kapittel 4.1.

Annuitetslån, terminbeløp og restlån

T

Korleis finn vi terminbeløpet?

Vi bruker same idé som i kapittel 2: beløp kan berre samanliknast når dei står på same tidspunkt.

Banken låner deg $K_0$ kroner i dag. Du betaler tilbake $T$ kroner ved slutten av kvar termin, i $n$ terminar. For at rekneskapen skal gå opp, må noverdien av alt du betaler tilbake, vere nøyaktig like stor som det du fekk utbetalt.

Det er dette kravet vi skriv som ei likning — og venstresida i likninga viser seg å vere ei geometrisk rekkje.

Utleiing av annuitetsformelen

Det vi skal kome fram til:

T = K_0 \cdot \dfrac{v - 1}{1 - v^{-n}}

1. Vi flyttar kvart terminbeløp tilbake til i dag

Terminbeløpet som blir betalt etter éin termin, har noverdien $\displaystyle \frac{T}{v}$ . Det som blir betalt etter to terminar, har noverdien $\displaystyle \frac{T}{v^{2}}$ , og så vidare. Summen av alle noverdiane skal vere lik lånet:

$K_0 = \frac{T}{v} + \frac{T}{v^{2}} + \frac{T}{v^{3}} + \ldots + \frac{T}{v^{\,n}}$

2. Vi ser at høgresida er ei geometrisk rekkje

Vi deler kvart ledd på leddet framfor:

$\frac{\frac{T}{v^{2}}}{\frac{T}{v}} = \frac{T}{v^{2}} \cdot \frac{v}{T} = \frac{1}{v}$

Forholdet er $\displaystyle \frac{1}{v}$ kvar gong. Rekkja er altså geometrisk med

$a_1 = \frac{T}{v} \qquad k = \frac{1}{v} \qquad n \text{ ledd}$

3. Vi set inn i sumformelen

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$

$K_0 = \frac{T}{v} \cdot \frac{\left(\frac{1}{v}\right)^{n} - 1}{\frac{1}{v} - 1}$

4. Vi ryddar opp i brøken

Nemnaren er ein brøk minus eit tal. Vi skriv han som éin brøk:

$\frac{1}{v} - 1 = \frac{1 - v}{v}$

No har vi brøk delt på brøk. Vi gongar med den omvende av nemnaren:

$K_0 = \frac{T}{v} \cdot \left(v^{-n} - 1\right) \cdot \frac{v}{1 - v}$

$v$ i teljaren og $v$ i nemnaren blir forkorta bort:

$K_0 = T \cdot \frac{v^{-n} - 1}{1 - v}$

Vi gongar både teljar og nemnar med $-1$ , så begge blir positive:

$K_0 = T \cdot \frac{1 - v^{-n}}{v - 1}$

5. Vi løyser ut $T$

Vi gongar med $(v-1)$ og deler på $\left(1 - v^{-n}\right)$ på begge sider:

$T = K_0 \cdot \frac{v - 1}{1 - v^{-n}}$

Dermed har vi vist det vi skulle: terminbeløpet i eit annuitetslån er lånebeløpet gonga med $\displaystyle \frac{v-1}{1-v^{-n}}$ , og formelen kjem direkte frå sumformelen for ei geometrisk rekkje.

∎

📜Annuitetsformelen

Eit annuitetslån på

K_0

kroner blir betalt ned med

n

like store terminbeløp. Vekstfaktoren per termin er

\displaystyle v = 1 + \frac{p}{100}

, der

p

er renta per termin i prosent. Då er terminbeløpet

$T = K_0 \cdot \frac{v - 1}{1 - v^{-n}}$

Formelen kan også skrivast

$T = K_0 \cdot \frac{(v-1) \cdot v^{\,n}}{v^{\,n} - 1}$

Dei to formene gir alltid same svar — den andre kjem av at vi gongar teljar og nemnar med $v^{\,n}$ .

Er det $m$ terminar i året og den nominelle renta er $p$ prosent per år, er renta per termin $\displaystyle \frac{p}{m}$ prosent, og talet på terminar på $t$ år er $n = m \cdot t$ .

Avrunding: Terminbeløpet blir sjeldan eit rundt tal kroner og øre. Vi oppgir det med to desimalar, slik sensor ventar, men reknar alltid vidare med det uavrunda terminbeløpet — det kalkulatoren eller reknearket har lagra. Difor skriv vi $n \cdot T \approx \ldots$ med $\approx$ og ikkje $=$ når vi reknar ut kva lånet kostar i alt: gongar du i staden det avrunda terminbeløpet med talet på terminar, kan du få nokre få øre — og på mange terminar ei krone eller to — i avvik.

✏️Døme 1 — bustadlån med årlege terminar

Ida tek opp eit annuitetslån på $2\,000\,000$ kr. Renta er $5\,\%$ per år, og lånet skal betalast ned med årlege terminbeløp i 25 år.

a) Kor stort blir terminbeløpet?

b) Kor mykje betaler Ida til saman, og kor mykje av det er renter?

Løysing:

a) Kva veit vi? $K_0 = 2\,000\,000$ kr, $p = 5$ og dermed $v = 1{,}05$ . Årlege terminar i 25 år gir $n = 25$ .
Kva må vi finne? Terminbeløpet $T$ .

Vi skriv formelen tom først:

$\displaystyle T = K_0 \cdot \frac{v - 1}{1 - v^{-n}}$

og set så inn:

$\displaystyle T = 2\,000\,000 \cdot \frac{1{,}05 - 1}{1 - 1{,}05^{-25}}$

Vi reknar ut nemnaren for seg. Først potensen:

$1{,}05^{-25} \approx 0{,}295303$

$1 - 0{,}295303 = 0{,}704697$

$\displaystyle T = 2\,000\,000 \cdot \frac{0{,}05}{0{,}704697}$

$T \approx 141\,904{,}91$

Svar: Terminbeløpet blir omtrent $141\,905$ kr i året.

b) Ida betaler 25 like store terminbeløp. Vi reknar med det uavrunda terminbeløpet:

$25 \cdot T \approx 3\,547\,622{,}86$

Av dette er $2\,000\,000$ kr sjølve lånet. Resten er renter:

$3\,547\,622{,}86 - 2\,000\,000 = 1\,547\,622{,}86$

Svar: Ho betaler omtrent $3\,547\,623$ kr til saman, og $1\,547\,623$ kr av det er renter.

NB: Rentekostnaden er nesten like stor som lånet. Det er ikkje ein feil i reknestykket — det er kva 25 år med $5\,\%$ rente kostar. Legg merke til at rentekostnaden er langt mindre enn $25 \cdot 0{,}05 \cdot 2\,000\,000 = 2\,500\,000$ kr, nettopp fordi gjelda søkk undervegs.

📝Oppgave 1

Rekn ut terminbeløpet i annuitetslåna. Alle har årlege terminar. Rund av til to desimalar.

500\,000

kr,

6\,\%

rente, 10 år.

1\,200\,000

kr,

4{,}5\,\%

rente, 20 år.

250\,000

kr,

8\,\%

rente, 5 år.

3\,000\,000

kr,

3{,}8\,\%

rente, 30 år.

Kor mykje betaler låntakaren i d) til saman, og kor mykje av det er renter?

Løs oppgaven

✏️Døme 2 — månadlege terminar

Eit annuitetslån på $1\,500\,000$ kr har $5{,}4\,\%$ nominell rente og skal betalast ned med månadlege terminbeløp i 20 år.

a) Kva er renta per termin, og kor mange terminar er det?

b) Kor stort blir det månadlege terminbeløpet?

c) Kor mykje betaler låntakaren i renter til saman?

Løysing:

a) Kva veit vi? Nominell rente $p = 5{,}4$ per år og $m = 12$ terminar i året.

Renta per termin er den nominelle renta delt på talet på terminar:

$\displaystyle \frac{p}{m} = \frac{5{,}4\,\%}{12} = 0{,}45\,\%$

Vekstfaktoren per termin blir

$\displaystyle v = 1 + \frac{0{,}45}{100} = 1{,}0045$

Talet på terminar:

$n = m \cdot t = 12 \cdot 20 = 240$

Svar: $0{,}45\,\%$ per månad, og $240$ terminar.

b) Vi bruker same formel som før — det einaste som er nytt, er at $v$ og $n$ no gjeld månader:

$\displaystyle T = K_0 \cdot \frac{v - 1}{1 - v^{-n}}$

$\displaystyle T = 1\,500\,000 \cdot \frac{0{,}0045}{1 - 1{,}0045^{-240}}$

$1{,}0045^{-240} \approx 0{,}340419$

$1 - 0{,}340419 = 0{,}659581$

$\displaystyle T = 1\,500\,000 \cdot \frac{0{,}0045}{0{,}659581}$

$T \approx 10\,233{,}77$

Svar: Terminbeløpet er omtrent $10\,234$ kr i månaden.

c) Til saman blir det betalt $240$ terminbeløp:

$240 \cdot T \approx 2\,456\,105{,}73$

$2\,456\,105{,}73 - 1\,500\,000 = 956\,105{,}73$

Svar: Omtrent $956\,106$ kr i renter.

NB: Den nominelle renta er $5{,}4\,\%$ , men fordi renta blir rekna ut kvar månad, er den effektive renta høgare. Frå kapittel 1.4:

$p_{\text{eff}} = \left(1{,}0045^{12} - 1\right) \cdot 100\,\% \approx 5{,}5357\,\%$

Dette er den effektive renta utan gebyr. Kjem det etableringsgebyr og termingebyr i tillegg, stig ho endå meir — det er tema i kapittel 4.3.

📝Oppgave 2

Sigrid tek opp eit billån på $320\,000$ kr. Den nominelle renta er $6{,}6\,\%$ , og lånet blir betalt ned med månadlege terminbeløp i 6 år. Rund av til to desimalar.

Kva er renta per termin, og kva er vekstfaktoren per termin?

Kor stort blir terminbeløpet?

Kor mykje betaler Sigrid til saman, og kor mykje er renter?

Sigrid vurderer å forlengje nedbetalingstida til 8 år i staden. Kor mykje søkk terminbeløpet, og kor mykje meir betaler ho i renter?

Kva er den årlege effektive renta på lånet, når vi ser bort frå gebyr?

Løs oppgaven

Kor mykje står att av gjelda?

Eit lån blir ofte innfridd før tida — bustaden blir seld, låntakaren refinansierer, eller ei forsikring dekkjer resten. Då må vi vite restlånet.

Tanken er den same som før, men no flyttar vi beløpa framover til det tidspunktet vi spør om. Gjelda veks med renta, og innbetalingane trekkjer henne ned:

- Hadde du ikkje betalt noko, ville gjelda vore $K_0 \cdot v^{\,k}$ etter $k$ terminar.
- Dei $k$ terminbeløpa du faktisk har betalt, er til saman verd $T + T v + \ldots + T v^{\,k-1}$ på same tidspunkt. Det er ei geometrisk rekkje med $a_1 = T$ og kvotient $v$ .

Restlånet er differansen.

📜Restlån

Restlånet rett etter at terminbeløp nummer

k

er betalt, er

$R_k = K_0 \cdot v^{\,k} - T \cdot \frac{v^{\,k} - 1}{v - 1}$

Det første leddet er gjelda slik ho ville vakse utan innbetalingar. Det andre leddet er sumformelen for dei $k$ terminbeløpa, flytte fram til same tidspunkt.

Kontroll: Set vi $k = n$ , skal $R_n = 0$ . Set vi $k = 0$ , skal $R_0 = K_0$ .

✏️Døme 3 — restlån etter 10 år

Ida frå Døme 1 har eit annuitetslån på $2\,000\,000$ kr med $5\,\%$ rente, 25 årlege terminar og terminbeløp $141\,904{,}91$ kr.

a) Kor mykje står att av lånet rett etter det tiande terminbeløpet?

b) Kor mykje har ho betalt til saman på dei ti åra, og kor mykje av det har gått til renter?

Løysing:

a) Kva veit vi? $K_0 = 2\,000\,000$ , $v = 1{,}05$ , $T = 141\,904{,}91$ og $k = 10$ .

$\displaystyle R_k = K_0 \cdot v^{\,k} - T \cdot \frac{v^{\,k} - 1}{v - 1}$

Vi reknar ut dei to ledda kvar for seg. Mellomresultata står i kalkulatorminnet og blir avrunda først til slutt, så siste øre kan avvike frå differansen av dei avrunda tala.

Gjelda utan innbetalingar:

$2\,000\,000 \cdot 1{,}05^{10} \approx 3\,257\,789{,}25$

Verdien av dei ti terminbeløpa:

$\displaystyle 141\,904{,}91 \cdot \frac{1{,}05^{10} - 1}{0{,}05} \approx 141\,904{,}91 \cdot 12{,}577893 \approx 1\,784\,864{,}77$

Restlånet er differansen:

$R_{10} \approx 3\,257\,789{,}25 - 1\,784\,864{,}77 \approx 1\,472\,924{,}49$

Restlånet i annuitetslånet til Ida. Avstanden opp til den rette linja er gjelda som ikkje er betalt ned enno: etter 10 av 25 terminar — 40 % av tida — er berre 26 % av gjelda borte.

Svar: Det står omtrent $1\,472\,924$ kr att av lånet.

b) Ida har betalt

$10 \cdot T \approx 1\,419\,049{,}15$

Gjelda er redusert frå $2\,000\,000$ kr til $1\,472\,924{,}49$ kr, altså med

$2\,000\,000 - 1\,472\,924{,}49 \approx 527\,075{,}51$

Resten av det ho har betalt, har gått til renter:

$1\,419\,049{,}15 - 527\,075{,}51 \approx 891\,973{,}63$

Svar: Ho har betalt omtrent $1\,419\,049$ kr, og $891\,974$ kr av det er renter.

NB: Etter 40 % av nedbetalingstida er berre 26 % av gjelda borte. Dette er sjølve kjenneteiknet ved annuitetslån: rentedelen er størst i byrjinga, fordi renta blir rekna av ei gjeld som enno er stor. Til samanlikning er restlånet etter 20 av dei 25 åra nede i $614\,374$ kr — dei siste åra går det fort.

📝Oppgave 3

Eit annuitetslån på $1\,800\,000$ kr har $4{,}2\,\%$ rente og 20 årlege terminar. Rund av til to desimalar.

Kor stort er terminbeløpet?

Kor mykje står att av lånet etter 5 terminar?

Kor mykje står att etter 10 terminar?

Kor mykje av gjelda vart betalt ned dei fem første åra, og kor mykje dei fem neste?

Kor mykje har låntakaren betalt til saman etter 10 år, og kor mykje av det er renter?

Løs oppgaven

✏️Døme 4 — kor lang blir nedbetalingstida?

Ida vil betale $200\,000$ kr i året i staden for $141\,904{,}91$ kr. Lånet er framleis på $2\,000\,000$ kr med $5\,\%$ rente.

Kor lang blir nedbetalingstida då, og kor mykje sparer ho i renter?

Løysing:

Kva må vi finne? Talet på terminar $n$ , når $T$ er kjend.

Vi tek utgangspunkt i likninga frå utleiinga:

$\displaystyle K_0 = T \cdot \frac{1 - v^{-n}}{v - 1}$

$\displaystyle 2\,000\,000 = 200\,000 \cdot \frac{1 - 1{,}05^{-n}}{0{,}05}$

Vi gongar med $0{,}05$ på begge sider:

$100\,000 = 200\,000 \cdot \left(1 - 1{,}05^{-n}\right)$

Vi deler på $200\,000$ på begge sider:

$0{,}5 = 1 - 1{,}05^{-n}$

$1{,}05^{-n} = 0{,}5$

Den ukjende står i eksponenten, så vi tek den naturlege logaritmen på begge sider:

$-n \cdot \ln 1{,}05 = \ln 0{,}5$

$\displaystyle n = -\frac{\ln 0{,}5}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$

Svar: Lånet er nedbetalt i løpet av det femtande året — 14 fulle terminbeløp på $200\,000$ kr, og eit femtande og mindre beløp på slutten.

Rentekostnaden: Etter 14 terminar er restlånet

$\displaystyle R_{14} = 2\,000\,000 \cdot 1{,}05^{14} - 200\,000 \cdot \frac{1{,}05^{14} - 1}{0{,}05} \approx 40\,136{,}80$

Det siste beløpet blir betalt eitt år seinare, så det er

$40\,136{,}80 \cdot 1{,}05 \approx 42\,143{,}64$

Total innbetaling blir

$14 \cdot 200\,000 + 42\,143{,}64 = 2\,842\,143{,}64$

$2\,842\,143{,}64 - 2\,000\,000 = 842\,143{,}64$

Svar: Rentekostnaden blir omtrent $842\,144$ kr, mot $1\,547\,623$ kr ved 25 år. Ida sparer omtrent $705\,479$ kr på å betale $58\,095$ kr meir i året.

NB: Legg merke til kor kraftig dette slår ut. Å auke terminbeløpet med $41\,\%$ nesten halverte både nedbetalingstida og rentekostnaden. Grunnen er at ekstrabeløpet går rett på gjelda, og all renta den gjelda ville ha gitt i resten av perioden, forsvinn med henne.

📝Oppgave 4

Marius har eit annuitetslån på $900\,000$ kr med $5{,}5\,\%$ rente og årlege terminar.

Kor stort blir terminbeløpet dersom lånet skal betalast ned på 15 år?

Marius vel i staden å betale $100\,000$ kr i året. Kor lang blir nedbetalingstida?

Kor lang blir nedbetalingstida dersom han berre betaler $75\,000$ kr i året?

Kor stort må terminbeløpet minst vere for at lånet i det heile skal bli nedbetalt?

Kva skjer med gjelda dersom Marius betaler nøyaktig $49\,500$ kr i året?

Løs oppgaven

✏️Døme 5 — nedbetalingsplan i rekneark (Del 2)

Eit annuitetslån på $400\,000$ kr har $4\,\%$ rente og 5 årlege terminar.

Set opp ein nedbetalingsplan i rekneark som viser rente, avdrag og restlån for kvar termin, og kontroller at restlånet er null til slutt.

Løysing:

Vi legg føresetnadene øvst, så dei berre står éin stad:

celle	innhald
B1	$400000$ (lånebeløp)
B2	$1{,}04$ (vekstfaktor)
B3	$5$ (talet på terminar)

Terminbeløpet reknar vi ut med annuitetsformelen, i celle B4:

=B1*(B2-1)/(1-B2^(-B3))

Reknearket gir

T \approx 89\,850{,}85

kr.
Så byggjer vi tabellen. I rad 6 står overskriftene, og frå rad 7 og nedover:

celle	formel	tyder
A7	`1`	terminnummer
B7	`=$B$1`	restlån før terminen
C7	`=B7*($B$2-1)`	rente av restlånet
D7	`=$B$4-C7`	avdrag = terminbeløp − rente
E7	`=B7-D7`	restlån etter terminen
B8	`=E7`	restlånet blir ført vidare

Vi drar rad 8 nedover til rad 11. Dollarteikna låser føresetnadene, medan B7 og C7 flyttar seg med.

Resultatet:

Termin	Restlån før	Rente	Avdrag	Restlån etter
1	400 000,00	16 000,00	73 850,85	326 149,15
2	326 149,15	13 045,97	76 804,88	249 344,28
3	249 344,28	9 973,77	79 877,07	169 467,20
4	169 467,20	6 778,69	83 072,16	86 395,04
5	86 395,04	3 455,80	86 395,04	0,00

Annuitetslånet: totalhøgda er den same kvar termin, men dei to delane byter plass. I byrjinga går mest til renter, mot slutten går mest til avdrag.
Svar: Terminbeløpet er $89\,850{,}85$ kr. Rentene utgjer $49\,254{,}23$ kr til saman, og total innbetaling er $449\,254{,}23$ kr. Restlånet etter femte termin er null — planen går opp.
NB: Sjå på kolonnane Rente og Avdrag. Terminbeløpet er det same heile vegen, men rentedelen fell frå $16\,000$ kr til $3\,456$ kr, medan avdraget veks frå $73\,851$ kr til $86\,395$ kr. Summen av dei to er alltid $89\,850{,}85$ kr. At restlånet landar nøyaktig på null, er samtidig ein kontroll av annuitetsformelen — han er utleidd nettopp for at dette skal skje.

Prøv sjølv: terminbeløp på annuitetslån

Set inn lånebeløp, rente og talet på terminar. Legg merke til kor mykje terminbeløpet endrar seg av eitt prosentpoeng på renta — og kor lite det søkk når du forlengjer nedbetalingstida frå 25 til 30 år.

Lånebeløp K₀

Årsrente r

Løpetid n

år

\displaystyle a = K_0 \cdot \frac{r}{1-(1+r)^{-n}}

141 905 kr

Månedlig terminbeløp

11 692 kr

Totalt tilbakebetalt

3 547 623 kr

Total rentekostnad

1 547 623 kr

Oppsummering

- I eit annuitetslån er terminbeløpet $T$ det same kvar termin. Det består av renter og avdrag, og fordelinga mellom dei endrar seg: mykje rente og lite avdrag i starten, motsett til slutt.
- Kravet lånet byggjer på: noverdien av alle terminbeløpa er lik lånebeløpet. Den noverdien er ei geometrisk rekkje med $\displaystyle a_1 = \frac{T}{v}$ og $\displaystyle k = \frac{1}{v}$ .
- Annuitetsformelen: $T = K_0 \cdot \dfrac{v-1}{1-v^{-n}}$ , der $v$ er vekstfaktoren per termin.
- Fleire terminar i året: renta per termin er $\displaystyle \frac{p}{m}$ prosent, og $n = m \cdot t$ .
- Restlån: $R_k = K_0 v^{\,k} - T \cdot \dfrac{v^{\,k}-1}{v-1}$
- Nedbetalingstid: løys $v^{-n} = 1 - \dfrac{K_0(v-1)}{T}$ og ta logaritmen. Er $T$ mindre enn renta av heile lånet, blir lånet aldri nedbetalt.
- I rekneark blir nedbetalingsplanen bygd rad for rad: rente $=$ restlån $\cdot (v-1)$ , avdrag $=T-$ rente, nytt restlån $=$ gammalt restlån $-$ avdrag.

📝Oppgave 5

Samleoppgåve, Del 2 — rekneark. Familien Haugen tek opp eit annuitetslån på

2\,400\,000

kr med

4{,}8\,\%

rente og 25 årlege terminar. Etter 5 år vil dei pusse opp og utvide lånet med

600\,000

kr. Renta er den same. Rund av til to desimalar.

Kor stort er terminbeløpet dei fem første åra?

Kor mykje står att av lånet rett etter det femte terminbeløpet?

Dei vil framleis vere ferdige med lånet 25 år etter at det vart teke opp. Kor stort blir det nye terminbeløpet?

Alternativt beheld dei det gamle terminbeløpet. Kor mange terminar tek nedbetalinga då, rekna frå utvidinga?

Kor mykje betaler familien i renter i alt etter alternativ c), og kor mykje etter alternativ d)? Kva alternativ vil du tilrå, og kvifor?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Samleoppgåve — drøfting. Vi samanliknar to måtar å betale ned eit lån på

2\,000\,000

kr med

5\,\%

rente over 25 år:

- Annuitetslån: like store terminbeløp.
- Serielån: like store avdrag, altså $\displaystyle \frac{2\,000\,000}{25} = 80\,000$ kr i avdrag kvar termin, pluss renter av restgjelda.

Kva er terminbeløpet på annuitetslånet, og kor mykje blir betalt i renter til saman?

Kva er første og siste terminbeløp på serielånet?

Kor mykje blir betalt i renter til saman på serielånet? (Restgjeldene dannar ei aritmetisk følgje.)

Gå tilbake til annuitetslånet. Kor mykje endrar terminbeløpet seg dersom renta er $4\,\%$ eller $6\,\%$ i staden for $5\,\%$ ?

Drøft: serielånet er billigast totalt, men dei fleste vel likevel annuitetslån. Kvifor?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.